第三章 流体动力学基础 4流体动力学基础.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第三章 流体动力学基础 4流体动力学基础.精品文档.3 流体运动学基础一、学习目的和任务1.理解拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法的基本思想。2.掌握流体动力学中的若干基本概念。3.掌握流体运动的连续性方程的积分形式及其应用。4.了解连续性方程的微分形式和圆柱坐标系、球面坐标系中的连续性方程。5.了解流体微元的运动分析的基本方法，理解亥姆霍兹速度分解定理。6. 理解流体微元运动的四种形式。二、重点、难点1.重点欧拉(Euler)方法、连续性方程的积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动的四种形式。2.难点连续性方程、亥姆

2、霍兹速度分解定理。流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。3.1 描述流体运动的二种方法为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数

3、学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t=t0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c）各不相同，所以可以据

4、此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过t时间后，t= t0+t，初始位置为a,b,c）的某质点到达了新的位置(x,y,z)，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是： （31）式中，初始坐标（a,b,c）与时间变量t无关，（a,b,c,t）称为拉格朗日变数。类似地，对任一物理量N，都可以描述为： （32）显然，对于流体使用拉格朗日方法困难较大，不太合适。3.1.2欧拉(Euler)方法欧拉方法描述适应流体的运动特点，在流体力学上获得广泛的应用。欧拉方法利用了流场的概念。所谓流场，

5、是指流动的空间充满了连续的流体质点，而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间，形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中不同的空间位置(x,y,z)设立许多“观察点”，对流体的流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(x,y,z,t)，(x,y,z,t)称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中位置的数学描述是： （33）类似地，对任一物理量N，都可以描述为： （34）需要注意的是，“观察点”的空间位置(x,y,z)是固定的，当质点从一个观察点运动到另一个观察点，质点的位移是时间t函数（同样地，其他物理量也是），只不过这种函

6、数是用观察点和时间t为变量，即欧拉变数(x,y,z,t)表示出来的。因此，欧拉变数(x,y,z,t)中的x、y、z不是独立变量，它们也是t的函数，即有： （35）欧拉方法对流场的表达式举例如下：描述速度场的表达式： ，或写成分量形式： （36） （37）压强场的表达式： （38）密度场的表达式： （39）温度场的表达式： （310）可以用河流上的水文站来理解欧拉方法。为测绘河流的水情，需要在河流沿线设立许多水文站，即水情观察点，综合各水文站的数据，即可知道整个河流的水文情况（如水位分布、流速分布等）。如果将观察点的区域适当扩大，这样的观察点又称为控制体。与观察点一样，控制体的空间坐标和形状一经

7、确定，即固定不变。控制体的表面称为控制面，流体质点经过控制面进出控制体。控制体是研究流体运动的常用方法。3.1.3拉格朗日方法与欧拉方法的等价关系上述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。如果编号为（a,b,c）的质点，在t时刻正好到达空间位置(x,y,z)，则根据（31）和（33）有： （311）因此，用一种方式描述的质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中的描述主要是用欧拉方法。3.2 流体动力学中的基本概念为后面叙述方便，本节集中介绍流体动力学中经常使用的几个概念。3.2.1定常场与非定常场如果流场中的各物理量的分布与时间t无关，即： （312）则称为定常场或定常流动。定常场

8、各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布不具有时间不变性，则称为非定常场或非定常流动。3.2.2均匀场与非均匀场如果流场中的各物理量的分布与空间无关，即： （313） 则称为均匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一个物理量分布不具有空间不变性，则称为非均匀场或非均匀流动。3.2.3质点导数将式（34）对时间t求导，因其中的变量x、y、z又是t的复合函数，见式（35），故有： （314）我们称上式为质点导数。考虑到位移对时间的导数就是速度，即： （315）所以质点导数又可写成： （316）若令： （317）则（316）又可写成： （318）式中，称为哈密顿（Ham

9、ilton）算子，是按照式（317）进行微分的记号。分析式（318），知质点导数由二部分组成：（1） ：称为当地导数，反映是物理量随时间的变化率。在定常场中，各物理量均不随时间变化，故当地导数必为零。（2）或：称为迁移导数，反映是物理量随空间的变化率。在均匀场中，各物理量均不随空间变化，故迁移导数必为零。下面以物理量速度为例，进一步说明质点导数的物理意义。由式（318），速度的质点导数为： （319）直角坐标系中，也可写成： （320）式（320）中，速度的质点导数就是质点的加速度，它同样由当地导数（当地加速度）和迁移导数（迁移加速度）组成。例如，在x向，当地导数 表示vx随时间t的变化率，即

10、由时间引起的加速度。迁移导数是三项之和，其中的表示由x方向位移引起的加速度， 表示由y方向位移引起的加速度，表示由z方向位移引起的加速度。由此可见，在用欧拉方法描述流体运动时，质点加速度不再是简单的速度对时间求导，还要包含位移引起加速度。图31所示装置可以说明质点加速度的概念。装在水箱中的水经过水箱底部的一段等径管路a及变径喷嘴段b，由喷嘴喷出。除速度和加速度外不考虑其他物理量，也不考虑管路截面上的流动，则流动方向只有沿管路s方向，v是经过管路的平均速度。在水位高h维持不变的条件下，管路a段的速度是匀速运动，即速度与时间t和空间位置s无关，形成的流场是定常场和均匀场，因空间位置s改变引起的迁移

11、加速度和因时间t引起的当地加速度都是零。管路b段的速度沿s逐渐加快，但不随时间t改变，因此形成的流场是定常场和非均匀场，因空间位置s改变引起的迁移加速度不为零，因时间t引起的当地加速度是零。依此，读者可以分析在水位高h持续下降的情况下，二段的迁移加速度和当地加速度的情况。 图31 当地加速度与迁移加速度3.2.4迹线与流线3.2.4.1 迹线与流线的定义迹线是流体质点运动轨迹线，是拉格朗日方法描述的几何基础，用此方法描述时，表达式就是式（31）。流线是流场中假想的这样一条曲线：某一时刻，位于该曲线上的所有流体质点的运动方向都与这条曲线相切。可见，流线是欧拉方法描述的几何基础。同一时刻，流场中会

12、有无数多条流线（流线簇）构成流动图景，称为流线谱或流谱。图32流线谱中显示的流线形状虽然流线是假想的，但采用流场可视化技术仍然可以观察到流线的存在。比如，在流场中均匀投入适量的轻金属粉末，用合适的曝光时间拍摄照片，则许多依次首尾相连的短线就组成流场中的流线谱。如图32，流体通过二种不同的管中窄口处出现的流现形状。3.2.4.2 流线的作法在流场中任取一点（如图3-3），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量v1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量v2，如此继续下去，得一折线1234 n，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。图34流线微分方程式图33流线的作法3.2

13、.4.3 流线微分方程式参见图34，设流线上某质点A的瞬时速度为 （321）流线上微小线段长度的矢量为 （322）根据流线定义，速度矢量v与流线矢量ds方向一致，矢量的积为零，于是有 （323）写成投影形式，得 （324）这就是最常用的流线微分方程式。例题31 已知流场中质点的速度为试求流场中质点的加速度及流线方程。解： 从和知，流体运动只限于Oxy平面的上半部分，质点速度为由（320）可以得质点加速度为从流线方程 消去k，积分得即 图35双曲线型流线作流线方程的曲线如图35所示，是一族双曲线，质点离原点越近，即r越小，其加速度与加速度均越小，在r0点处，速度与加速度均为零。流体力学上称速度为

14、零的点为驻点（或滞止点），如图中O点即是。在r的无穷远处，质点速度与加速度均趋于无穷。流体力学上称速度趋于无穷的点为奇点。 驻点和奇点是流场中的两种极端情况，一般流场中不一定存在。3.2.4.3 流线的性质流线具有以下性质：（1） 定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。定常流动时，质点经过空间各点的速度不随时间变化，因而形成的流线簇图景必然固定不变。现在解释迹线与流线重合的理由：见图33，如果有一质点在初始时刻的位置处于1点，因流线的切线方向是其运动的方向，在经过t时间后，这个质点必然运动到相邻点2点。依次类推，质点必然沿流线运动，也就是说，迹线和流线场合。但是在非定常

15、流动的情况下，流线的形状随时间而改变，迹线也没有固定的形状，两者不会重合。（2） 在实际流场中，除了驻点和奇点以外，流线既不能相交，也不能突然转折。 如图36，若某时刻流场中存在两条相交流线l1和l2，则流经交点A处的质点此时刻有两种速度，一是l1的切线方向，另一是l2的切线方向，但是在牛顿力学中，在某一时刻，一个质点只可能以一种速度运动，故流线不可能相交。若流线在B点突然转折，因B点不存在切线，故流经B点的质点速度方向可以是任意方向，这显然也是不可能的。图37飞行的子弹图36流线不能相交或转折图38流管与流束如果流场中存在着奇点或驻点，则流线可以相交，这是一种例外。如图37，子弹在大气中飞行

16、，在前缘尖处A，空气被子弹推动一起运动，形成驻点，此处流线相交。可解释为，驻点处的空气不可能被无限推动下去（这将导致空气被无限压缩），在某个时刻将发生流动，但向上还是向下（仅从平面上看），由偶然因素确定，这样就形成了相交的二条流线。在子弹的尾部，流线不能转折，因此形成涡流，涡流旋转的能量消耗了子弹运行的部分能量，即增大了子弹运行的阻力。为了减少流体对运动物体的阻力，需要把物体表面做成所谓的“流线型”，使其表面曲线符合流线的性质。3.2.5 流管与流束在流场中任意取出一个有流线从中通过的封闭曲线，如图38中的l，l上的所有流线围成一个封闭管状曲面，称为流管。流管内所包含的所有流体称为流束。当流管

17、的横断面积无穷小时，所包含的流束称为元流，最小的元流就退化为一条流线。如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是管道内部的全部流体，这种情况称为总流。3.2.5过流断面、流量和净通量3.2.5.1 过流截面流管内与流线处处垂直的截面称为过流截面（或过流断面），过流截面可以是平面或曲面，如图39所示。3.2.5.2 流量 单位时间内流过某过流截面的流体体积称为体积流量，也简单称为流量，如果流过的流体按质量计量，则称为质量流量。图310流量与净通量图39过流截面选择用来计算流量的截面称为控制面。当控制面为过流截面时（不论是平面还是曲面），由于速度方向与面积垂直，所以流量的计算式如下：在微元面积dA

18、 上质点速度大小为v，则dA上流量为 （325）在当控制面是平面时 （326）在当控制面是曲面时 （327）如果控制面不是过流截面时，需要将面积向过流截面上投影再计算流量。见图310，设面积矢量的法矢与质点速度方向的夹角为，则有dA上流量为 （328）在当控制面是平面时 （329）在当控制面是曲面时 （330）3.2.5.3 净通量如果控制面取为封闭曲面，如图310所示，这时整个控制面上，有的面积是流体流入，同时，也有面积是流出。矢量的法矢与质点速度方向的夹角为，则dA上流量dqv可用式（328）表示。可见，当流出时，dqv 0，流入时，dqv 0，表示流出大于流入，控制体内流体减少；qv 0

19、，所以 （335）利用分部积分和式（334），有 （336）式（334）、（335）和（336）在下面的动能修正系数和动量修正系数一节中将要用到。3.2.7动能修正系数和动量修正系数3.2.7.1 动能修正系数单位时间内，若dA上通过的质点动能为,则通过通流截面A的流体质点总动能E （337）式中，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动能时所乘的一个系数，称为动能修正系数。3.2.7.2 动量修正系数单位时间内，若dA上通过的质点动量为,则通过通流截面A的流体质点总动M （338）式中，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动量时所乘的一个系数，称为动量修正系数。动能修正系数和动量修正系数在后面章节中的

20、伯努利方程和动量方程将要用到。具体取值与流态（流态的概念见第五章管中流动）有关：管中层流时取，；管中湍流时取，。3.2.8三元流、二元流和一元流除时间t外，如果流场中的流动参数依赖与空间的三个坐标，则称这样的流动为三元流动。流动参数依赖与空间的二个坐标，称为二元流动。流动参数依赖与空间的一个坐标（可以是曲线坐标），称为一元流动。比较而言，一元流动的情形最为简单。因此，工程实际中，常常将流动问题简化为一元流动来解决。3.3 流体运动的连续性方程3.3.1积分形式的连续性方程如图312，在流场中取任意形状的控制体，则有流线穿入或穿出该控制体。如前所述，控制体一经取定，其形状、大小和空间位置就不得再

21、行改变。图312流场中的控制体现设控制体体积V，表面积A，控制体内含有的流体质量m用体积积分表示为m随时间t的变化率记为 （339）根据质量守恒定律，m的变化必有原因。当控制体不变时，影响其内部流体质量增减的唯一因素就是通过表面A流入、流出的质量多少。在单位时间内，当流出大于流入时，m必减小，反之，则增加，且m增加或减少的质量就是流出与流入的质量之差。利用质量净通量概念可得等式 （340）或者写成 （341）根据质量净通量的意义，表示A上流出质量大于流入质量，控制体V内质量减少，故，二者符号相反，反之亦然。 式（341）就是质量守恒定律在运动流体中的数学表示，称为积分形式的连续性方程，简称连续

22、性方程或连续方程式。实际应用需要使用其简化形式，常用的简化形式有（1）定常流动在定常流动中，流场任何空间点处的密度不随时间改变，故微元的质量也不改变，进而整个控制体内的质量也不变，即，因此，式（341）简化为 （342）上式的意义是：当定常流动时，在单位时间内，从控制体的表面A流出的质量与流入的质量相等。该式对可压缩的和不可压缩的流体都适用。（2）不可压缩的流体流动当流体是不可压缩时，流场中密度处处相等且为恒量，又考虑到控制体V不变，故因此，式（341）简化为 （343）上式的意义是：当流体是不可压缩时，在单位时间内，从控制体的表面A流出的体积与流入的体积相等。值得注意的是，该式对定常流动和非

23、定常流动都适用。（3）一元流动 如图313，当流体在流管l（工程实际中的管道可以视为流管）内流动，流体只能从过流断面A1流入，A2流出。在断面上取微元dA1dA2，则微元内流动就是一元流动，在定常场中，其极限情形是流体沿流线流动。若将整个流管都视为一元流动，则式（342）可以写成 （344）这就是一元流动时的连续性方程。在定常流场中，用平均流速代替真实流速，平均密度代替真实密度，上式简化成图313一元流动 或 （345）对既是定常场又不可压缩的流动，故式（346）可以更简单地表示为 （346）在工程实际中，被直接使用的公式多是式（346）。*3.3.2微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程可

24、以用二种方法导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法，下面分别介绍。3.3.2.1 微元控制体分析法采用微元控制体分析法的前提是要求流场中流体物理量时时处处连续可微，对于不同的坐标系，还要求选定相适应的控制体形状。当采用直角坐标系时，选取控制体形状为立方体。如图314，在t时刻的流场中，任选一点A(x, y, z)，以A为角点作一个立方体，各面都与相应的坐标面平行，三个边长分别为dx、dy和dz。设该时刻A点的速度为v = (vx, vy, xz)，密度为，由于dx、dy和dz很小，可以认为交于A点的三个面上的速度和密度都和A点相同，而其他三个面上的速度和密度则由多元函数的泰勒展开式取一阶小量

25、得到。例如，在x 方向上，平面ABCD上的速度为vx，平面EFGH上的速度则为。现在分析立方控制体内的质量的变化。先考察在x 方向，在t时刻，从平面ABCD流入控制体的质量为，平面EFGH上流出的质量则为。这样我们得到：单位时间内，在x 方向从控制体的净流出质量为图314 立方型微元控制体同理，可以得到y、z 方向从控制体的净流出质量为和三者之和为 （347） 与此同时，因为控制体的体积是不变的，控制体内流体质量的流失必然造成控制体密度的减少，在单位时间内，由于密度减少使控制体内的质量减少了 （348）负号表示增量的变化方向与式（347）相反，即流出质量为正号时，控制体内的质量增量为负。根据质

26、量守恒定律，式（347）与式（348）应该相等，即化简得 （349）上式即为直角坐标系中微分形式的连续性方程，适用于可压缩流体的三元流动和非定常流动。若是定常流动，流场中各点的密度不随时间而变化，故（349）简化为 （350）若是不可压缩流体，密度为常数，故（349）又简化为 （351）3.3.2.2 有限控制体分析法利用高等数学中的基础知识对式（341）中的两项改写。（1）将对面积的曲面积分化为对坐标的曲面积分，利用奥高公式再化为三重积分，过程如下： （352）（2）利用控制体与时间无关的特性，将中的积分、微分顺序颠倒，即有如下变化过程： （353）由式（341、（352）和（353）得因为

27、控制体V是在流场中任取的，且被积函数处处连续，故要使上式成立，必然有被积函数为零，即 （354）上式与式（349）完全相同。*3.3.3 圆柱坐标系和球面坐标系中的连续性方程在许多实际的流动问题中，运动物体可能是一种轴对称或球体，流场的边界可能是曲面或曲线，此时利用曲线坐标系更为方便，而圆柱坐标系和球坐标系是最常用的坐标系。为避免繁琐的推导，这里直接给出圆柱坐标系和球坐标系中的连续性方程。3.3.3.1 圆柱坐标系圆柱坐标系通常用坐标来表示，参见图315，易得它与直角坐标系的关系 或者 （355）连续性方程为 （356）图315 圆柱坐标系图316 球坐标系3.3.3.1 圆柱坐标系圆柱坐标系

28、通常用坐标来表示，参见图316，易得它与直角坐标系的关系 或者 （357）连续性方程为 （358）3.4 流体微元的运动分析由理论力学知，刚体的运动只有两种基本运动形式：平移和旋转运动。对于流体，由于没有一定的形状，且不能承受剪切力，其运动要比刚体复杂的多。可以想像，除了具有平移和旋转二种运动形式之外，流体在运动过程中还要发生变形运动。本小节通过分析流体微元的运动，导出亥姆霍兹速度分解定理，分析流体的运动形式。3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理 为推导亥姆霍兹速度分解定理，仍采用流体微元法。如图317，在t时刻，从流场中任取取一个流体的微元A。设点A的空间坐标为r = (x, y, z)，运动速

29、度为VA= V (x, y, z, t)vx(x, y, z, t)i+ vy(x, y, z, t)j+ vz(x, y, z, t)k同一时刻，在A的邻近处再取微元B，B点的坐标点矢径为r + r = (x+x, y+y, z+z)，运动速度为VB= VB (x, y, z, t)V (x+x, y+y, z+z, t) 图317 球坐标系当绝对值 |r| 很小时，VB 取VA的一阶增量，即取A点速度的多元函数泰勒级数一阶展开式 （359）其中 （360）或 （361）写成矩阵形式 （362）显然，V表示的是在t时刻，点B相对于点A的相对运动速度。 根据矩阵运算法则,可以把上式中的九个偏导

30、数组成的的方阵分解为一个对称方阵和一个反对称方阵 （363）为使上式简明，定义以下一些符号和量，令上述各式代入（363）和（362），得： (3-64)写成矢量式： (3-65)代入(3-59)： (3-66)其中 (3-67) (3-68)这就是流体力学中的亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。关于定理的意义在下一节将进行分析。3.4.2 流体微元运动的四种形式 现在考察式(3-64)各项的意义。我们无需分析复杂的空间运动情况，而仅需分析一下平面流动就足以说明式(3-64)各项的意义。图318 流体微元的平面运动 如图318，设流体ABCD只在xoy平面运动，若A点的速度为(,)，根据

31、式（359），可得其他三点的速度并分别标在图上。 由于在t时刻A、B、C、D各点的速度不同，故经过t时刻后，ABCD矩形将变形为近似矩形ABCD。这个变形可以分解为四种单一运动的合成，即为平移、线变形、旋转和角变形运动的综合结果，这四种运动如图319所示。事实上，亥姆霍兹速度分解定理正是将流体的运动分解为这四种运动。图319 流体微元的四种运动形式因为，故(3-64)可以简化为： (3-69)当A(x,y)点运动到A (x+x, y+y)点后，A的速度可以表示为 (3-70)此式包含了(3-64)中所涉及的各种符号，所以完全可以分析亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理中各项的含义，下面分

32、析其中包含的四种运动。3.4.2.1 平移运动 当式（370）中 (3-71)则有 (3-72)上式表明，微元运动从A运动到C时，包含有平移运动。若流体对象ABCD做平移运动，则保持形状不变，如图319所示，ABCD做平移运动到ABCD。 、称为平移速度。3.4.2.2线变形运动 若在流动中，只有x方向的速度以及，则在时间经过t后，运动的流体微元只有AB边在x方向发生了相对变化，如图320，其相对变化率就是线变形率，为图320 线变形运动分析 (3-73)上式表明：表示的是运动流体沿x方向的线变形率。同理可知，表示的是运动流体沿y方向的线变形率，表示的是运动流体沿z方向的线变形率。可以推论，微

33、元在空间的体膨胀率应为 (3-74)当流体是不可压缩时，上式显然为0，即 (3-75)3.4.2.3角变形运动 若在流动中只有x、y方向上的速度、且、，则在xoy平面上流体微元将发生如图321的角变形，在t时刻，A点处为直角，到t+t时刻，A点移动到A点，角度变成了锐角，角减少量为，在t很小时，图321 角变形与旋转运动分析和也很小，因而有定义单位时间内在xoy平面上角度的平均减小量为运动流体在xoy平面上的角变形速率，即剪切应变率： (3-76)同理可得 表示流体在xoz平面上的剪切应变率，表示流体在yoz平面上的剪切应变率。这就是说，式(3-68)的E中，对角线上以外的其他6个分量分别表示

34、了在各坐标平面上的剪切应变率。3.4.2.4旋转运动分析当流动中只有x、y方向上的速度、且、，流体微元除发生上述的角变形外，还将发生旋转运动。参见图321，在t时刻的对角线AC，到t+t时刻旋转到了AC位置。以逆时针方向为正，则流体微元在t时间的转角为：，由于，ABCD近似为菱形，则有 ，从而有定义转动角速度分量为可知角速度分量表示了流体微元以为瞬心，绕平行于z轴旋转的平均角速度。同理，角速度分量表示了流体微元以为瞬心，绕平行于y轴旋转的平均角速度, 表示了流体微元以为瞬心，绕平行于x轴旋转的平均角速度。当流场中处处有 (3-77)时，我们称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动，反之，称为

35、有旋流动。综上所述可知，流体微元上任一点的运动可以表示为平移、线变形、角变形和旋转四种运动的叠加。亥姆霍兹定理的主要贡献正是在于找出了这几种运动的数学表达式，而且物理清晰明确。第三章 小 结1.描述流体运动有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。但是，欧拉方法更适合于描述流体运动。2.流体动力学中经

36、常使用的几个概念：定常场与非定常场、均匀场与非均匀场、质点导数、迹线与流线、流管与流束、过流断面、流量、净通量、平均速度、动能修正系数、动量修正系数、三元流、二元流和一元流。3. 积分形式的连续性方程就是质量守恒定律在运动流体中的数学表示。定常场、不可压缩的一元流动连续性方程在工程实际中被直接使用。4. 微分形式的连续性方程可以用二种方法导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法。5.圆柱坐标系和球坐标系中的连续性方程有时在工程实际中也能被用到。6.亥姆霍兹速度分解定理将复杂的流体运动分解为四种运动：即平移、线变形、旋转和角变形运动，给出了这几种运动的数学表达式，而且物理意义清晰明确。思考与练习

37、3-1 什么是描述流体运动的拉格朗日方法和欧拉方法？3-2 为什么说拉格朗日方法和欧拉方法是等价的？3-3 什么是定常场？什么是均匀场？3-4 质点导数的当地导数和迁移导数各有什么物理意义？3-5 迹线与流线有何区别与联系？迹线有哪些性质？3-6 如果控制面不是过流截面，怎样计算流量？3-7 流量与净通量有何区别与联系？3-8 什么是平均速度？管道内是否存在着以平均速度流动的流体质点？3-9 为什么需要动能修正系数和动量修正系数？3-10既是定常场又是均匀场的一元流动连续性方程如何表示？3-11亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理的物理意义是什么？3-12流体运动可以分解为哪四种运动？3

38、-13什么是有旋运动？什么是无旋运动3-14 已知流体的速度分布为；，求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。3-15 给出流速场为，求空间点（3,0,2）在t=1时的加速度。3-16 已知流场的速度为，式中k为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。3-17已知流场的速度为，试确定t=to时通过（xo,yo）点的流线方程。A为常数。3-18 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？（1），。（2），。（3）（是不为零的常数），。（4），（是不为零的常数）。3-19 已知，试求此流场中在，点处的线变率、角变率和角转速。3-20 三元不可压缩流场中，已知且已知z=0，处 ，试求