动态平衡问题专题——平衡物体的临界、极值问题分析.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date动态平衡问题专题平衡物体的临界、极值问题分析101网校2013-2014微课程理科体例（常规同步课）动态平衡问题专题临界、极值问题平衡物体的临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未破坏的状态。涉及临界状态的问题叫做临界问题，解

2、答临界问题的基本思维方法是假设推理法。平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或极小值的问题。研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法。1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为的斜面上，如图。已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为(tan)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。 解析：先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力FT的作用，根据平衡条件有：FTmBg 再选物体A为研究对象，它受到重力mg、

3、斜面支持力FN、轻绳拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：FNmgcos0 FTFfmmgsin0 由摩擦力公式知：FfmFN 联立四式解得mBm(sincos )再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：FNmgcos0 FTFfmmgsin0 联立 四式解得mBm(sincos)故，物体B的质量的取值范围是：m(sincos) mB m(sincos )2如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60，轻杆BC与竖直墙夹角为30，

4、杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？解析：将物体对B点的拉力F进行分解，显然F=G假设绳与轻杆均被不拉断当细绳承受的拉力F1最大时，轻杆所受的压力F2=F1cot30=200 N300N；当轻杆承受的压力F2最大时，细绳所受的拉力F1=F2 tan30=100 N200N由此可以当物体的重力逐渐增加时，轻杆承受的压力先达到最大此时物体的重力达到最大 当F2 =300N时，Fmax=200N所以在B端所挂物体的最大重力为200N答：在B端最多能挂200N的物体3半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G

5、的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，OA绳和OB绳所受的力大小如何变化？解析：OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行四边形进行分析对结点O受力分析如图：结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的所以OA绳受力大小变化情况：逐渐变小；OB绳受力大小变化情况是：先变小后变大4如图，一倾角为的固定斜面上有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间夹一个重为G的光滑球，试分析挡板P由图示位置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板的

6、压力如何变化？解析：受力分析如图，将F1与F2合成，其合力与重力等大反向如图：挡板转动时，挡板给球的弹力F1与斜面给球的弹力F2合力大小方向不变，其中F2的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，F1的方向变化如图中a、b、c的规律变化，为满足平行四边形定则，其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小与此对应，F2的大小为一直减小根据牛顿第三定律，球对挡板的压力是先减小后增加，对斜面的压力是不断减小。【同类题】在倾角为30的斜面上，固定一挡板，在挡板和斜面之间放置一重为G=20N的光滑圆球，如图甲和乙所示（1）试求出两种情况下，斜面和挡板对球的作用力分别为多大？（画出正确的受力分

7、析示意图）（2）若挡板可绕其下端逆时针从甲图的位置缓慢转到水平的过程中，试通过作图分析说明斜面和挡板对小球的作用力大小如何变化？解析：（1）对球受力分析如图所示：由于光滑圆球受共点力处于静止状态，所以光滑圆球的合力为0将N1在水平方向和竖直方向分解，由共点力平衡的条件得出：甲，斜面对球的作用力：=N；挡板对球的作用力：=N；乙，斜面对球的作用力：=10N；挡板对球的作用力：=10N（2）受力分析如图，将N1与N2合成，其合力与重力等大反向，挡板转动时，挡板给球的弹力N1与斜面给球的弹力N2合力大小方向不变，其中N2的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，N1的方向变化如图中a、b、c的规律变

8、化，为满足平行四边形定则，其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小；故N1先减小后增大，N2一直减小；根据牛顿第三定律，知球对斜面的压力一直减小，对挡板的压力先减小后增大答：（1）甲图斜面对球的作用力是N，挡板对球的作用力是N；乙图斜面对球的作用力是10N，挡板对球的作用力是10 N（2）斜面对小球的作用力逐渐减小；挡板对小球的作用力先减小后增大；5：拉力F作用于重为G的物体上使物体沿水平面匀速前进。如图，若物体与地面间的动摩擦因数为，当拉力最小时，拉力F与地面间的夹角为多大？ 解析：对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，如图所示：根据平衡条件，有：水平方向：Fcos-

9、f=0竖直方向：N+Fsin-mg=0其中：f=N故：Fcos-(mg-Fsin) =0 解得：F=令 ，则 F=当 ，即 时，拉力F最小F最小=答：拉力F最小时，6如图，将质量为M的木块，分成质量为m1、m2两部分，并用细线连接，m1置于光滑水平桌面上，m2通过定滑轮竖直悬挂，m1和m2有何种关系才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大?拉力的最大值是多少？解析：绳子的拉力T,两部分的加速度相等，则；得 ；故，当时，T最大，值为（根据均值定理，两个正数的和一定，当这两个数相等时，积最大）7 有三个质量相等，半径为r的圆柱体，同置于一块圆弧曲面上，为了使下面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大

10、是多少？（所有摩擦均不计） 解析：设圆弧曲面对小球支持力的方向与竖直方向夹角为，对整体受力分析，有：2Ncos=3mg，得： 对最上面一个小球进行受力分析，有：2Fcos30=mg ，对下面的其中一个小球受力分析，有：Ncos=Fcos30+mg cos= 联立得：R=答：圆弧曲面的半径R最大是8 如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成60的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。 解析：物体A的受力如图所示，由平衡条件有FsinF1sinmg0FcosF2F1cos0由式得 FF1F 要使两绳都能伸直，

11、则有F10F20由式得F的最大值Fmaxmg/sin40 N由式得F的最小值Fminmg/2sin20 N综合得F的取值范围为20 NF40 N此题根据绳伸直且拉力分别为零的条件求出绳的拉力范围。9 如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为，劈的斜面与竖直墙面是光滑的。问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大?(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 解析：对球A进行受力分析，根据受力平衡有：N=mg对三角劈进行受力分析，根据受力平衡有：f=Ncos45又：FN=(G+Ncos45）f=FN解得：mg=答：欲使三角劈静止不动球的重力不

12、能超过10 如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30和60，AC绳能承受的最大拉力为150N，而BC绳能承受的最大的拉力为100N，求物体最大重力不能超过多少？ 解析：装置受力图如右图所示AC和BC两段绳子方向不变，要保持平衡，二力的拉力方向不变，二力合成的平行四边形如上图所以有 而 N，N所以AC更容易被拉断（2分）此时，N所以 kg=17.3kg（2分）11 一光滑球重力为G，半径为R，靠着墙角静止在水平地面上，一厚度为h（hR）的木块塞在球的左下方，如图所示，现用水平力F推木块，忽略各接触处的摩擦力，则当F的值至少为多少时，才能将球从地面推起来？ 解析： 恰将球推离

13、地面时，球受力如图所示，由平衡条件是：，由几何知识对木块和球整体由平衡条件得：12 拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为。 (1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。 (2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为。已知存在一临界角0若0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tan0。解析：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有 Fcos+ mg=N Fsin=f 式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有 f=N 联立得 F= (2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有 FsinN 这时式仍满足，联立得 sin-cos 现考察使上式成立的角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有 sin-cos0 使上式成立的角满足0，这里0是题中所定义的临界角，即当0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为 tan0= -