四种命题、充要条件知识梳理.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date四种命题、充要条件知识梳理（）高考总复习样例设计（一轮）数学高考总复习：四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【知识网络】四种命题、充要条件充要条件四种命题及其关系互为逆否关系的命题等价充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点

2、梳理】一、命题：可以判断真假的语句。二、四种命题原命题：若则； 原命题的逆命题：若则；原命题的否命题：若，则； 原命题的逆否命题：若，则三、四种命题的相互关系及其等价性1、四种命题的相互关系 2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。四、充分条件、必要条件和充要条件1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。如：命题是命题成立的条件，则命题是条件，命题是结论。又如：命题成立的条件是命题，则命题是条

3、件，命题是结论。又如：记条件对应的集合分别为A,B则,则是的充分不必要条件；,则是的必要不充分条件。2、“”读作“推出”、“等价于”。，即成立，则一定成立。3、充要条件已知命题是条件，命题是结论（1）充分条件：若，则是充分条件.所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。如：是的充分条件。（2）必要条件：若，则是必要条件.所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须

4、满足才是偶函数，满足是奇函数。（3）充要条件：若，且，则是充要条件.【典型例题】类型一：四种命题及其关系例1. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。解析：逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知是实数，若ab0，则a0且b0，真命题； 逆否命题：已知是实数，若a0且b0，则ab0，真命题。点评：1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：【变式】写出下列命题的否定，并判断真假.(1)xR，x2x10；(2)xQ

5、， x2x1是有理数；(3)、R，使sin()sinsin；(4)x，yZ，使3x2y10.【解析】(1)的否定是“xR，x2x10”.假命题.(2)的否定是“xQ，x2x1不是有理数”.假命题.(3)的否定是“，R，使sin()sinsin”.假命题.(4)的否定是“x，yZ，使3x2y10”.假命题.类型二：充要条件的判断2.(2015 湖北高考)设a1，a2，anR，n3.若p：a1，a2，an成等比数列；，则（ ）Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件 Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A解析：试题分析：对命题

6、p：a1，a2，an成等比数列，则公比且an0；对命题q，当an=0时，成立；当an0时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以a1，a2，an成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件. 故选A点评：1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换.举一反三：【变式】（2015 天津高考）设 ，则“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A解析：的解集为（1，3），的解集为，故 是的充分不必要条件。故选：A.类型三：求参数的取值范围例4.已知mR，设P：

7、x1和x2是方程x2ax20的两个根，不等式|m5|x1x2|对任意实数a1,2恒成立；Q：函数f(x)3x22mxm有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围.解析：由题设x1x2a，x1x22，|x1x2|. 当a1,2时，的最小值为3.要使|m5|x1x2|对任意实数a1,2恒成立，只须|m5|3，即2m8.由已知，得f(x)3x22mxm0的判别式4m212(m)4m212m160，得m4.综上，要使“PQ”为真命题，只需P真Q真，即解得实数m的取值范围是(4,8.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。举一反三：【变式】设命题；命题，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.【答案】由题意知：命题：若是的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：是的充分不必要条件.；即，所以是的充分不必要条件，即，如图：，则，. 即的取值范围是.-