实验一-曲柄滑块机构的运动规律.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date实验一-曲柄滑块机构的运动规律M文件：上海应用技术学院数学实验报告 题目： 曲柄滑块机构的运动规律 姓名： 周 玲 院系： 理学院数学与应用数学系 学号： 1112211115 指导老师： 许建强 2015年3月30日目录一、 实验目的3二、 实际问题3三、 数学模型3四、 数值积分方法2五、 实验任务4任务一4任务二5任务三7任务四7一、 实验目的本实验主要涉及微积

2、分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法, Taylor公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近视似模型并进行数值计算来研究讨论函数的方法。二、 实际问题-曲柄滑块机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动,是气压机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。右图为其示意图。记曲柄的长为,连杆的长为, 当曲柄绕固定点以角速度旋转时, 由连杆带动滑块在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点位于水平线段上, 曲柄从初始位置起转动的角度为,而连杆与的锐夹角为(称为摆角) 。在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律, 确切的说,要研究滑块的位移,速度和加速度关于的函数

3、关系,摆角及其角速度和角加速度关于的函数关系, 进而（1）求出滑块的行程(即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离);（2）求出滑块的最大和最小加速度(绝对值), 以了解滑块在水平方向上的作用力;（3）求出的最大和最小角加速度(绝对值), 以了解连杆的转动惯量对滑块的影响;在求解上述问题时,我们假定:符号说明:曲柄OQ的长; 连杆PQ的长度; 摆角(连杆PQ与OP的锐夹角); 角速度; 滑块; 滑块的位移; 滑块的加速度。三、 数学模型取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。利用三角关系，立即得到 （1.1）由于 ，故有 （1.2）而 （1.3）于

4、是滑块的速度 （1.4）进而，可以得到滑块的加速度为 （1.5）同样，基于关系式 （1.6）我们有摆角的表达式 （1.7）式（1.6）对t求导， 可得 （1.8）由此再得 （1.9）利用（1.6），不难由上两式导出 （1.10）和 （1.11）至此，我们得到了滑块位移和连杆摆角运动规律中有关变量依赖的表达式。四、 数值积分方法将位移的表达式（1.1）改写为一般而言，是远比1小的数，于是利用 （1.12）得到滑块位移的近似模型为 （1.13）从而有相应的近似速度 （1.14）和近似加速度 （1.15）这里的速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来的，而不是对和的精确表达式（1.4）和（1.5）的

5、近似。当然我们也可以直接从滑块速度的解析式（1.4）进行近似。仍利用公式（1.12）有把上式代入（1.4），就得到滑块速度的近似模型 （1.16）从（1.16）出发，又可得近似加速度 （1.17）对摆角可以利用幂级数展开的Maclaurin公式 （1.18）得到摆角的近似模型。粗略一些，可以取 （1.19）（当较小时可用此式）。而必要时可以取 （1.20）相应的近似角速度为 （1.21）或 （1.22）近似角加速度为 （1.23）或 （1.24）五、 实验任务任务一试用摆角的角加速度的三种表达式, 即式（1.11）、（1.23）和（1.24），取步长为，的值如前，计算当变化时角加速度的值,并列

6、表加以比较。实验程序：function m1_2(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;a0=-r*w2*sin(t)*(l2-r2)./(l2-r2*sin(t).2).(3/2)a1=-w2*r*sin(t)/la2=-w2*(r*sin(t)/l+r3*(sin(t).3-sin(2*t).*cos(t)/(2*l3) m1_1(0:pi/12:pi)运行结果如下：t/rada0/(rad/s2)a1/(rad/s2)a2/(rad/s2)0000pi/12-48.9857-54.4948-48.04822*pi/12-97.6175-105.2758-97.9653p

7、i/12-144.1871-148.8824-144.74684pi/12-184.6798-182.343-184.87555pi/12-213.0328-203.3772-212.4053pi/2-223.3237-210.5516-222.24897pi/12-213.0328-203.3772-212.40538pi/12-184.6798-182.343-184.87559pi/12-144.1871-148.8824-144.746810pi/12-97.6175-105.2758-97.96511pi/12-48.9857-54.4948-49.0482pi000从结果中可以看出

8、误差的大小,取决于近似表达式的精度,在利用泰勒公式求近似模型时,如果展开的精度越高,则误差就越小,在数据表中也可以看出, 取得精度比高,所以结果与真实值相差的更小。任务二利用（1.12）式，对角摆角的角速度（1.10）式和角速度（1.11）式进行简化，将结果与（1.21）(1.24)式进行比较，并与上题的计算结果相比较。解析： 由式 （1.12） (1.10)可以化简为 (1.11)可以化简为 将化简结果与（1.21）(1.24)式进行比较，可以发现有类似的项。实验程序：function m2_1(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;b0=r*w*cos(t)./sqrt(

9、l2-r2*sin(t).2)b1=w*r*cos(t)/lb2=w*(r*cos(t)/l+r3*sin(t).2.*cos(t)/(2*l3)b3=r*w/l*(cos(t)+r2*sin(2*t).*sin(t)/(4*l2)a0=-r*w2*sin(t)*(l2-r2)./(l2-r2*sin(t).2).(3/2)a1=-w2*r*sin(t)/la2=-w2*(r*sin(t)/l+r3*(sin(t).3-sin(2*t).*cos(t)/(2*l3)a3=-r*w2*(l2-r2)/l3*(sin(t)+3*r2*sin(t).3/(2*l2) m2_1(0:pi/12:pi)

10、运行结果如下：角速度：t/radb/(rad/s)b1/(rad/s)b2/(rad/s)b3/(rad/s)0 8.3776 8.3776 8.3776 8.3776 pi/128.1224 8.0921 8.1222 8.12222*pi/127.3581 7.2552 7.3560 7.3560 3pi/126.0956 5.9238 6.0884 6.08844pi/124.3750 4.1888 4.36334.36335pi/122.2902 2.1683 2.28072.2807pi/20.0000 0.0000 0.00000.00007pi/12-2.2902-2.1683-

11、2.2807-2.28078pi/12 -4.3750 -4.1888 -4.3633 -4.3633 9pi/12-6.0956 -5.9238 -6.0884-6.0884 10pi/12-7.3581 -7.2552 -7.3560-7.356011pi/12-8.1224 -8.0921 -8.1222 -8.1222pi-8.3776-8.3776-8.3776-8.3776角加速度：t/rada0/(rad/s2)a1/(rad/s2)a2/(rad/s2)a3/(rad/s2)00 0 0 0 pi/12-48.9857-54.4948-49.0482 -48.98062*pi/

12、12-97.6175-105.2758-97.9650 -97.47763pi/12-144.1871-148.8824-144.7468-143.36834pi/12-184.6798-182.3430-184.8755-182.34305pi/12-213.0328-203.3772-212.4053-208.8914pi/2-223.3237-210.5516-222.2489 -218.34987pi/12-213.0328-203.3772-212.4053-208.89148pi/12 -184.6798 -182.3430-184.8755 -182.34309pi/12 -14

13、4.1871 -148.8824-144.7468-143.3683 10pi/12-97.6175-105.2758 -97.9650-97.477611pi/12 -48.9857 -54.4948-49.0482-48.9806 pi-0.0000 -0.0000-0.0000-0.0000从上表中可看出与最接近真值，最接近真值。由此看来，方案三最优。任务三给定一机构如右图所示。设连杆QP长度l=300mm，曲柄OQ的长为r=100mm，距离e=20mm，曲柄的角速度w=240转/min。对在一个周期（即）中计算滑块的位移、行程、速度、加速度和摆角及其最值。解析：这个机构的特点是:滑块的

14、运动轨迹仍然在原来的平面上,且与轴线平行,但运动轨迹与有距离(称为偏心距)。这样进程时间将与退程时间不同。由于P点始终在直线上,所以我们只需要考虑滑块在方向上的位移,不需要再考虑在轴上的位移。取O点为坐标原点，沿x轴向右方向为正，P在x轴上的坐标为x,用x表示滑块的位移，利用三角关系有： （2.1）由于，故有 （2.2） 求导程序： syms r l e t x=r*cos(t)+sqrt(l2-(r*sin(t)-e).2); diff(x,t)得 即 （2.3）于是滑块的速度 (2.4)从而，得到滑块的加速度为(2.5)由关系式 (2.6）得摆角的表达式为 (2.7)滑块的行程： 实验程序

15、：（1）滑块的位移：function m3_1(t)r=100;l=300;e=20;x=r*cos(t)+sqrt(l2-(r*sin(t)-e).2)m3_1(0:pi/12:2*pi)（2）滑块的速度：function m3_2(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;e=20;v=-w*r*sin(t)-(w*r*cos(t).*(r*sin(t)-e)/sqrt(l2-(r*sin(t)-e).2)m3_2(0:pi/12:2*pi)（3）滑块的加速度：function m3_3(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;e=20;a=w2*(-r*co

16、s(t)-(r2*cos(2*t)+r*e*sin(t).*(l2-(r*sin(t)-e).2)+r2*cos(t).2.*(r*sin(t)-e).2)./(l2-(r*sin(t)-e).2).(3/2) m3_3(0:pi/12:2*pi)（4）摆角及其最值：function m3_4(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;e=20;b=asin(r*sin(t)-e)/l) m3_4(0:pi/12:2*pi)运行结果如下：t/radx/mmv/(mm/s)1.0e+003 *a/(mm/s2)1.0e+004 *b/rad0399.3326 0.0071 -8.4

17、362-0.0667pi/12396.5349-0.6434-8.03490.01962pi/12385.0988-1.2495 -6.75600.10023pi/12366.3937-1.7701-4.80000.16994pi/12342.5134 -2.1695-2.48060.22395pi/12315.9398 -2.4205-0.17980.2582pi/2289.1366-2.50621.74770.2699 7pi/12264.1760-2.42053.08990.25828pi/12242.5134-2.1695 3.83600.22399pi/12224.9723 -1.7

18、701 4.13290.169910pi/12211.8937-1.24954.18460.1002 11pi/12203.3498-0.64344.16780.0196 pi199.33260.0071 4.1969 -0.0667 13pi/12199.87810.65764.3189-0.153514pi/12205.1165 1.26374.5107-0.235515pi/12215.24661.78434.6677-0.307216pi/12 230.4209 2.18374.5933-0.363317pi/12250.5348 2.43474.0281-0.39923pi/2274

19、.95452.52042.7568-0.411519pi/12302.29862.43470.7584 -0.399220pi/12330.42092.1837-1.7232-0.3633 21pi/12356.66801.7843-4.2652 -0.3072 22pi/12378.3216 1.2637-6.4299-0.2355 23pi/12393.06320.6576-7.8838-0.15352pi399.3326 0.0071-8.4362-0.0667由上表可看出，摆角，在处取得最小值0.0667；在处取得最大值0.4115。任务四设T1和T2分别为滑块进程和退程所需时间，试根据任务二中的数据求出T1和T2，两者是否相等？在l和r不变的前提下，令k=T1/T2。如果要求k=1.2，试求偏心距e的值。答：。 由 ，实验程序及结果： x=fzero(x) 0.2*pi+2.2*asin(x./200),2)x = -56.3465