圆锥曲线的综合经典例题(有答案解析).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date圆锥曲线的综合经典例题(有答案解析)经典例题精析经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以 解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方

2、程 ,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以 又 故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, 椭圆标准方程为2根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为=1 由题意易求 又双曲线过点， 又， 故所求双曲线

3、的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、及准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴

4、长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为， 点在双曲线上， ，解得， 所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则() 依题意，解得. 双曲线方程为或.3求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点； （2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）点在第二象限，抛物线开口方向上或者向左 当抛物线开口方向左时， 设所求的抛物线方程为（）， 过点， ， 当抛物线开口方向上时， 设所求的抛物线方程

5、为（）， 过点， ， 所求的抛物线的方程为或， 对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得， 抛物线的焦点为或 当焦点为时， 此时抛物线方程； 焦点为时， 此时抛物线方程为 所求的抛物线的方程为或， 对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为 ；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上

6、.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=4x或x2=4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为 由，解得两交点坐标, ，解得. 抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积. 思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设, 依题意有(1)

7、2-(2)得，即.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C D【答案】依据双曲线的定义有， 由得、， 又，则，即， 所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ， 两式左、右分别相加 得(. 即 . 故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线. 求椭圆的方程； 设点P在椭圆上,且,求.【答案】 . 设则 ，又 .【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大

8、小【答案】（1）由得， ，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2）， 【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程， 则，解得 , , . 故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、. 由椭圆、双曲线的定义有: 解得 由余弦定理有.类型三：离心率5已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率. 思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题

9、得以解决.解析：设椭圆方程为（），则，即.，即，.又，.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，即，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：, ,又,，代入上式，得

10、，利用代入，消得,即由，解得, ,.法二：在ABF中，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为, 则直线l的方程为:,由，消去得, 设点、,则, C点坐标为.C点在椭圆上,. 又 【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_.【答案】如图，点满足，且.在中，有：， ,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有 , 又 ， ，即.6已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,

11、则在中，由正弦定理 ，令此椭圆方程为 (),则, 即 （）， , ,且为三角形内角， , , .即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120又|PF1|+|PF2|=2a 联立 得4c2=4a2-|PF1|PF2|，【变式2】椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（） 【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆

12、中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OPOQ，求其离心率e的取值范围【答案】 e,1)【变式4】双曲线 (a1,b0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和sc求双曲线的离心率e的取值范围【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线的距离同理得到点(-1,0)到直线的距离=由sc,得c,即5a2c2于是得52e2即4e4-25e2+250解不等式,得e25由于e1,所以e的取值范围是类型五：轨迹方程7已知中，,为动点，若、边上两中线长的和为定值1

13、5.求动点的轨迹方程. 思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且, 则、边上两中点、的坐标分别为,. , , 即. 从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30， 故动点的轨迹是以,为焦点且,的椭圆， 挖去点. 动点的轨迹方程是 ().解法二：设的重心 ，,动点,且， 则. 点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点）， 且,. 其方程为(). 又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的

14、动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，（2） 动圆与圆内切时，由（1）、（2）有. 动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点. 依题意点在直线的左侧，故 , . 化简得, 即为所求.法二：设,作直线：. 过作于，交于， 依题意有, , 由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点， 为焦点，：为准线的抛物线. 故为所求.-