第一章 积分方程的来源及基本概念.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第一章 积分方程的来源及基本概念.精品文档.第一篇 积分方程 第一章 方程的导出和基本概念 1.1 方程的导出许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述，而求解常微分方程和偏微分方程的定解问题常常可转化为求解积分方程的问题。下面举几个典型的问题作为例子，扼要地阐明导出积分方程的方法以及微分方程与积分方程之间的联系。例1：弹性弦负荷问题 一根轻且软的弹性弦,长为,两端固定,如图所示,静止时与轴重合,弦内张力为.今在其上加以强度为的负荷.设在任一点(横坐标为)弦的位移已知.试确定,且设.图1.1 解：在任一点处取微小的一段弦,则作用于

2、其上的重力为,记之为,则这一重力必引起弦的形变,记处位移为,则：因为,所以所以, 得记引起的处位移为,则时,由得当 ,记：则 ,对从求积分,这就是负荷满足的方程,是一个积分方程.例2 商场库存配送问题. 商场销售某商品时,必须保持一定的库存总量,商场进货进入该商品后所进货物在时刻尚未售出概率为.问商场应以什么样的速度进货以保持稳定的库存量.解 开始营业时,库存为,随后以速度进货,考虑时刻时的库存在任一小区间时刻内进货为到时刻为止,这些货还剩.所以时刻时,商品还剩：故例3 Abel问题(等时线问题)一质点在重力作用下,在铅直平面自由地沿某曲线光滑地下滑,定此曲线的形状,以使此点从任一高度开始下滑

3、到达轴所用的时间为已知值. hyO图1.2解 设此点落到任一高度，记为过点的曲线的切线与轴夹角.记.积分显然,定出曲线上任一点切线与x轴的夹角即相当于定出曲线.上式可看成求曲线方程的积分方程.例4 人口问题.设初始时人口总数为.为生存函数,表示时出生的人到时刻时的生存率,如图1.3所示.由于小孩出生,人口增加,设小孩出生率为.此出生率与当时总人口数成正比,即.取任一微元区间.则在此时段出生小孩为到时刻时,还存在的为.故由于出生,到时为止增加的人口为：时人口到时刻还存在的为,得O图1.3例5 偏微分方程的边值问题 在寻求偏微分方程定解问题的解时，常常也可将方程和边界条件包含在积分方程内，把解边值

4、问题化为求解积分方程问题。例如，偏微分方程及其边界条件可以转化为等价的积分方程其中为体积微元，是Green函数。1.2.基本概念.积分方程的分类定义1.1 在积分号下出现未知函数的方程称为积分方程.（或者含有未知函数的积分的等式，称为积分方程）通常,含未知函数的积分方程一般形式为： ， (1.1)其中为已知函数,为未知函数,为积分上、下限,称为自由项,称为积分核,为参数,为的已知函数. 若为线性的,称(1.1)为线性积分方程,否则称为非线性方程.本课程主要研究线性方程,其一般形式为：, , (1.2)按方程形式分,可分为第一类和第二类.如未知函数仅出现在积分号内,称为第一类方程,例如否则称为第

5、二类积分方程，例如如积分上、下限均为常数,称为Fredholm方程,否则称之为Volterra方程，例如，当式（1.1）中的时,称为齐次方程.1.3 常微分方程转化成积分方程通常,常微分方程的初值问题可以转化为Volterra方程,边值问题可以转化成为Fredholm方程.例 一阶常微分方程 (1.3.1) 对(1.3.1)两边积分,得若关于为线性,则为线性Volterra方程,否则为非线性Volterra方程.类似地,阶常微分方程可化为等价的Volterra方程.下面我们具体来将阶线性常微分方程化为Volterra方程. (1.3.2)首先证明公式：用归纳法,当时，显然成立；设时，成立；则时

6、,积分区域如图所示,交换积分顺序,得右边证毕.利用分部积分法利用分部积分法，可得定理 1 设且则有特别地定理2 设则有事实上，令 ，利用定理1 ，得或直接利用泰勒公式的积分余项表示公式即得.利用上述公式,我们来具体将两个常微分方程转化成积分方程.例1.3.1 解：设 ,再积分之得，代回方程容易得到等价的Volterra方程.其中，例1.3.2 解：记常微分方程的边值问题可以转化成Fredholm方程.例1.3.3 解：对方程两端从积分两次得到其中是任意常数，它们可由初始条件或其它条件确定，现在由初始条件，可得。故得积分方程例1.3.4 解：令 ,所以令例1.3.5 弦受迫振动方程解 记 所以 由 所以,得所以 习题11.验证：是方程之解.2.验证：方程除零解外,具有解.3.化下列方程为积分方程.其中.