线性代数作业.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流线性代数作业.精品文档.线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设D=M0，则D1= (B )A.2M B.2M C.6M D.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B

2、|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B ) A. B. C. D.5.设两个向量组与，则下列说法正确的是( B )A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C

3、 ) A. r与s未必相等 B. r + s = mC. r = s D. r + s m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )A. |A|0 B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（

4、本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -15 12.若方阵A满足A2 = A，且AE，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵，且 ，则|2A|= 4 14.设矩阵的秩为2，则t = -3 15.设向量(6，8，0)，=(4，3，5)，则(,)= 0 16.设n元齐次线性方程组Ax = o，r(A)= r n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个.17.设(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此

5、基下的坐标为 (1,1,2) .18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为 1,1,4 .19.二次型的矩阵 A= 20.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.解：= =x2y2. 22.解矩阵方程：.解：令A=, B=.因为(AE)=，所以.由AX=B，得：X=A-1B=.23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并

6、对其进行行变换：所以，极大无关组为 24.a取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：若方程组有解，则，故a=5.当a=5时，继续施以初等行变换得：，原方程组的同解方程组为：为自由未知量，令x3=x4=0,得原方程组的一个特解：.与导出组同解的方程组为：为自由未知量，令分别取，得到导出组的基础解系：，所以，方程组的全部解为：，其中，c1 ，c2为任意常数.25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P 1AP =（对角形矩阵）解：矩阵A的特征多项式为：所以，A的特征值为：.对于，求齐次线

7、性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： .因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以， A相似于对角矩阵，且. 26.用配方法将下列二次型化为标准形： 解： 令，即，得二次型的标准形为：.四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.证：因为，所以线性无关（方法多样），所以向量组是R3空间中的一个基. 线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个

8、是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).A1 B0 C-1 D-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).AA可逆 BB可逆 C|A|=|B| DAB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则 ( A ).A BC D4.矩阵的秩为2，则 = (B ).A2 B1 C0 D5.设34矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( D ).A B C D6.向量线性相关,则( C ).Ak =-4 Bk = 4 Ck =-3 Dk = 3

9、7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有 ( B ).Ac1+c2 =1 Bc1= c2 Cc1+ c2 = 0 Dc1= 2c2 8.设A为n(n2)阶方阵，且A2=E，则必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩阵等于EDA的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1， 则A-1的特征值为 ( D ).A1, 2 B2, 1, 1 C, 1 D, 1, 110.二次型是 (A ).A正定的 B半正定的 C负定的 D不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均

10、无分。11.= 5_12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|= _32 13.设A=, B =, 则ATB= 14.设A =,则A-1=15.向量表示为向量组的线性组合式为16.如果方程组有非零解, 则k =_-1_17.设向量与正交，则a =_2_18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型19.已知矩阵A与对角矩阵=相似，则A2= E _20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式的值.解：原式= 22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B .解：得：. 所以， 23.设矩阵，求k的值，使

11、A的秩r(A)分别等于1，2，3.解：对矩阵A施行初等变换：当k=1时，A，矩阵A的秩r(A)=1；当k= -2时，A，矩阵A的秩r(A)=2；当k1且k-2时，A，矩阵A的秩r(A)=3. 24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换：所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为：，且有.25.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：与原方程组同解的方程组为：，其中x3, x4为自由未知量.令分别取得基础解系：.方程组的通解为：. （c1 , c2为任意常

12、数） 26.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵，使P-1AP=.解：矩阵A的特征多项式为：得矩阵A的所有特征值为：.对于，求方程组的基础解系.，得基础解系为，将此线性无关的特征向量正交化，得：.再标准化，得：对于解方程组.，方程组的基础解系为， 将其单位化，得：.令P=，=，则P是正交矩阵，且P-1AP=.四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关.证：令整理得：因为线性无关，所以 ，解得：， 故线性无关. 线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请

13、将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是 ( B ).A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E 3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1 C. (AB)T=ATBT D. 4.下列矩阵不是初等矩阵的是 ( B ). A. B. C.

14、D.5.设是4维向量组，则 (D ).A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为mn矩阵，且m0 B. A的每一个元素都大于零C. D. A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( C ). A. A与B相似 B. A与B合同C. A与B等价 D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 24 .12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|= 6 .13.已

15、知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则 X=.14.已知向量组的秩为2，则k = -2 .15.向量的长度=.16.向量在基下的坐标为 (3，-4，3) .17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 .18.设是三阶矩阵A的特征值，则a = 1 .19.若是正定二次型，则满足 . 20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).解：(1) A-2E=| A-2E |= -1；(2)22.已知向量

16、组求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换：所以，向量组的秩；(2)向量组的一个极大无关组为：，且有.23.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：若方程组有解，则，从而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为： ，为自由未知量.令，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T.导出组的同解方程组为：，为自由未知量.令分别取得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T.所以，方程组的通

17、解为：(0, 1, 0, 0)T+c1(0, 1, 1, 0)T+c2(-4, 1, 0, 1)T，其中，c1，c2为任意常数.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.解：因为.当a=2或a=-6时，向量组相性相关；当a2且a-6时，向量组线性无关. 25.已知矩阵A=，(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵. 解：矩阵A的特征多项式为：所以，A的特征值为：.对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：，(c0).对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： .因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以， A不能相似于对角矩阵. 26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.解：(1) 利用配方法，将二次型化为标准形： 令，即，得二次型的标准形为：.(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2.四、证明题（本大题共6分）27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求证：由，得： A2+2A= -E，从而 A(A +2E)= -E, A(-A -2E)= E所以A可逆，且.