高考文科数学二轮专题复习讲义点、直线、平面之间的位置关系.doc

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1、第2讲点、直线、平面之间的位置关系 考点1点、线、面的位置关系判断空间点、线、面位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了如要否定一个结论，只需找到一个反例就可以例1(1)2019全国卷设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面(2)2019全国卷如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN

2、是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线【解析】(1)本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象对于A，内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确综上可知选B.(2)本题主要考查空间线线位置关系

3、，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算取CD的中点O，连接ON，EO，因为ECD为正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP，CP，所以BM2MP2BP222227，得BM，所以BMEN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.【答案】(1)B(2)B判断空间位置关系的两种方法(1)借助空间线面

4、平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.对接训练12019浙江绍兴一中模拟对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中为真命题的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mn D若m，n，则mn解析：对于A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对于B，直线m，n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，m与n垂直而非平行，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确答案：D2.2019陕西西北工大附中调考如图，四边形EFGH为四面体AB

5、CD的一个截面，若，则与平面EFGH平行的直线有()A0条 B1条C2条 D3条解析：，EFAB.又EF平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH.同理，由，可证CD平面EFGH.与平面EFGH平行的直线有2条故选C.答案：C 考点2空间中平行、垂直关系1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂

6、直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.例22019全国卷如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离【解析】本题考查了线面平行、垂直的判定和点到平面的距离，通过平行、垂直的证明，考查了学生的空间想象力，体现了直观想象的核心素养(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形

7、MNDE为平行四边形，MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.从而CH平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.从而点C到平面C1DE的距离为.1证明线线平行的4种常用方法(1)利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行平行转换；(3)利用三角形的中位线定理证线线平行；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换2证明线线垂直的3种常用方法(1)利用等腰三角形底边中线即高线的性质；(2)勾股定

8、理；(3)线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.对接训练32019全国卷如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解析：本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积，考查了空间想象能力，主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题

9、设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以，四棱锥EBB1C1C的体积V36318. 考点3平面图形的折叠问题1画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图2把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体的结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础3准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础例32018全国卷如图，

10、在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥Q ABP的体积【解析】(1)证明：由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解：由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥Q ABP的体积为VQ ABPSABPQE

11、32sin 4511.平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.对接训练42019湖南省湘东六校联考如图，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABD平面ABC.(1)求证：AD平面BCD；(2)当AB，AD1时，求点B到平面ADC的距离解析：(1)BCAB，平面ABD平面ABC，平面ABD平面ABCAB，BC平面ABD，AD平面ABD，BCAD，又ADDC，BCDCC，

12、AD平面BCD.(2)由(1)知AD平面BCD，又BD平面BCD，ADBD，从而BD，设点B到平面ADC的距离为h，由V三棱锥BADCV三棱锥CADB，得SADChSADBBC，即1h11，得h，即点B到平面ADC的距离为. 考点4空间线面关系的探究性问题例42018全国卷如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由解析：(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直

13、径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立(2)探索线段上是否存在满足题意的点时，注意三点共线条件的应用对接

14、训练52019河南名校压轴第二次考试如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE平面ABCD，点M在线段EF上(1)求证：BC平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论解析：(1)证明：在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCBa，ABC60，所以四边形ABCD是等腰梯形，且DCADAC30，DCB120，所以ACBDCBDCA90，所以ACBC.又平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，所以BC平面ACFE.(2)当EMa时，AM平面BDF，理由如下：在梯形ABCD中，设ACBDN

15、，连接FN.由(1)知四边形ABCD为等腰梯形，且ABC60，所以AB2BC2DC，则CNNA12.易知EFACa，因为EMa，所以MFEFa，又易知ANa，所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AMNF，又NF平面BDF，AM平面BDF，所以AM平面BDF.课时作业12点、直线、平面之间的位置关系1.2019四省八校联考如图，平面PAD平面ABCD，ABCBCD90，PAPDADAB2CD2，H为PB的中点(1)求证：CH平面PAD；(2)求点C到平面PAB的距离解析：(1)证明：取PA的中点E，连接HE，DE，则EH綊AB.又CD綊AB，EH綊CD，四边形CDEH为平行四边形

16、，CHDE，又DE平面PAD，CH平面PAD，CH平面PAD.(2)取AD的中点F，连接PF，FB，AH，则PFB90，PF，BF，PB，AH，SPAB，连接AC，则V三棱锥CPABV三棱锥PABC，设点C到平面PAB的距离为h，h2，h.点C的平面PAB的距离为.2.2019兰州市诊断考试如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PCD为正三角形，BAD30，AD4，AB2，平面PCD平面ABCD，E为PC的中点(1)证明：BEPC；(2)求多面体PABED的体积解析：(1)证明：BD2AB2AD22ABADcosBAD4，BD2，AB2BD2AD2，ABBD，BDCD.平面P

17、CD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，BD平面PCD，BDPC.PCD为正三角形，E为PC的中点，DEPC，PC平面BDE，BE平面BDE，BEPC.(2)如图，作PFCD，EGCD，F，G为垂足，平面PCD平面ABCD，PF平面ABCD，EG平面ABCD，PCD为正三角形，CD2，PF3，EG，V四棱锥PABCD2234，V三棱锥EBCD22，多面体PABED的体积V43.3.2018江苏卷在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明：本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置

18、关系，考查空间想象能力和推理论证能力(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1A1B.因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC，又因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.42019东北四市联合体模拟(一)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，

19、E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离解析：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O.ABCE，ABCE，四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.OPO

20、B，PB，APAB1，SPAB ，连接AC，则VPABCOPSABC，设点C到平面PAB的距离为d，VPABCVCPABSPABd，d.52019郑州市第二次质量预测如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB；(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：连接PF，PAD是等边三角形，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD，BFAD.又PFBFF，AD平面BFP，又PB平面BFP，ADPB.(2)

21、能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，PF平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于G，GH平面ABCD.又GH平面DEG，平面DEG平面ABCD.ADBC，DFHECH，GHPF，VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsinGH.62019北京卷如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点()求证：BD平面PAC；()若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；()棱PB上是否存在点F，

22、使得CF平面PAE？说明理由解析：()因为PA平面ABCD，所以PABD.又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.所以BD平面PAC.()因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.()棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.