圆锥曲线典型例题.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date圆锥曲线典型例题圆锥曲线典型例题圆锥曲线典型例题1 （广东省崇雅中学2007-2008学年度第一学期高二期中(理)）已知线段AB=6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程【解析】：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立如图坐标系则A（-3，0），B（3，0），设点M的坐标为，则直线AM的斜率直线BM的斜率 由已知有 化简，整理得点M的轨

2、迹方程为2 求到两个定点的距离之比等于2的点的轨迹方程 【解析】：设为所求轨迹上任一点，则有3 （2009届宁夏省银川一中高三一模理）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;(2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点（）AB,且AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线的斜率的取值范围【解析】解法一:(1)易知,所以,设P,则因为,故当,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值-2;当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1解法二:(1)易知,所以,设P,则(以下同解法一)(2)显然直线不满足题设条件可设直线:,A(),B()联立,消去,整理得:,由得

3、:或又又,即,故由得或4 （陕西西安市铁一中2010高三文科期末）设椭圆的焦点为，是椭圆上任一点，若的最大值为.(I)求椭圆的离心率；(II)设直线与椭圆交于两点，且与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切。已知的最大值为4，求椭圆的方程和直线的方程。【解析】：5 （湖南省长沙市一中09-10学年高二上学期第一次月考（文）一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点.(1)求以、为焦点且过点的椭圆的方程;(2)从椭圆上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为AB,直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q. 求的最小值【解析】：设点关于直线的对称点, 则,解得, ,根据椭圆的定义,得=, ,.

4、 椭圆的方程为. (2)设, 则,切线AM、BM方程分别为, 切线AM、BM都经过点,. 直线AB方程为, 、, , 当且仅当时,上式等号成立. 的最小值为. 6 （2009高考(天津理)）以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且(1)求椭圆的离心率; (2)求直线AB的斜率; (3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值 【解析】：(I)解:由/且,得,从而 整理,得,故离心率 (II)解:由(I)得,所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为,即. 由已知设,则它们的坐标满足方程组 消去y整理,得. 依题意, 而 由题设知,点B为线段AE的中点,所以

5、联立解得, 将代入中,解得. (III)解法一:由(II)可知 当时,得,由已知得. 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心,因此外接圆的方程为. 直线的方程为,于是点H(m,n)的坐标满足方程组 , 由解得故 当时,同理可得. 解法二:由(II)可知 当时,得,由已知得 由椭圆的对称性可知B,C三点共线,因为点H(m,n)在的外接圆上, 且,所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点H的坐标为. 因为,所以,解得m=c(舍),或. 则,所以. 当时同理可得 7 （2009高考(广东文)）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到

6、和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】：（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )点的坐标为（3）若，由可知点（6，0）在圆外，若，由可知点（-6，0）在圆外；不论K为何值圆都不能包围椭圆G.8 （广东省广州市2009年普通高中毕业班综合测试(二模)文）已知椭圆:的离心率,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆的左焦点,判断以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(1)椭圆的离心率为,且经过点

7、, 即解得椭圆的方程为. (2),.椭圆的左焦点坐标为. 以椭圆的长轴为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为2.以为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为. OxyF2F1M两圆心之间的距离为,故以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切. 9 （江苏南京市2009届高三第一次调研测试（3月）已知圆，定点.动圆M过点F2，且与圆F1相内切.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A,B两点，且ABF1的面积为，求直线l的方程.【解析】：（1）设圆M的半径为rOxyF2F1M因为圆M与圆F1相内切，所以MF14r因为圆M过点F2，所以MF2r所以MF14MF2，即MF1

8、MF24所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆且此椭圆的方程形式为1(ab0)其中2a4，c1，所以a2，b所以曲线C的方程1 （2）（方法一）当直线l的斜率不存在时， A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，)，此时SABF，不合题意 设直线l的方程为ykx (k0)，代入椭圆方程1，得y1，y2所以SABFSAOFSBOFOF1y1OF1y2OF1(y1y2)因为SABF，所以解得k故所求直线l的方程为x2y0 （方法二）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，SABF2SAOF因为SABF，所以SAOF 不妨设点A(x1，y1)在x轴上方，则SAOFOF1y1所以y1，x1，即点A

9、的坐标为(，)或(，) 所以直线l的斜率为故所求的直线l的方程为x2y0 （方法三）当直线l的斜率不存在时， A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，)，此时SABF，不合题意 设直线l的方程为ykx (k0)，代入椭圆方程1，得，所以，到直线AB的距离d=,所以SABF=2 所以解得k 故所求直线l的方程为x2y0 10（浙江省温州市上塘中学高三2009年三月月考(文)）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的两个焦点与短轴的两个端点组成一个边长为的正方形(1) 求椭圆的方程；(2) 直线过点且与椭圆相交于AB两点，当AOB面积取得最大值时，求直线的方程【解析】：（），所求椭圆方程为.（

10、）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程： 解得原点到直线的距离解法1：对两边平方整理得（*）， 得又，从而的最大值为，此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为： 解法2：令，则当且仅当即时，此时.所求直线方程为 解法二：设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知解法1：=.下同解法一.解法2：=下同解法一.11（福建省宁化二中2008-2009学年下学期高三模拟卷（一） 文）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值【解析】：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方

11、程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值12（广西省桂林中学2009届2月高三月考理）椭圆的中心原点，焦点在轴上，离心率，过的直线与椭圆交于、两点，且，求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程【解析】：设椭圆的方程为直线的方程为， ，则椭圆方程可化为即， 联立得 （*） 有而由已知有，代入得 所以， 当且仅当时取等号 由得，将代入（*）式得 所以面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为 13（江苏省东海高级中学2009届高三第四次月考理）已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，

12、过三点作圆，其中圆心的坐标为（1）当时，椭圆的离心率的取值范围（2）直线能否和圆相切？证明你的结论【解析】：（1）由题意的中垂线方程分别为，于是圆心坐标为 =，即 即所以 ， 于是 即 ，所以 即 （2）假设相切， 则， ， 这与矛盾. 故直线不能与圆相切 14（河北省衡水中学08-09学年高二上学期期中（理）设为直角坐标系内轴正方向的单位向量，且。（1）求点的轨迹的方程；（2）过点做直线交轨迹于两点，设，当四边形为矩形时，求出直线的方程.【解析】：（1）由知，点到两定点的距离之和为定值8，又84所以的轨迹为以 为焦点椭圆，故方程为 （2）当为轴时，重合，不合题意，故设直线的斜率为，方程为联立

13、方程组： 得 则， (*) 因为，四边形为矩形，所以 即 (*) 式代入得 故当四边形为矩形时，直线: 15（江苏省姜堰市张甸中学高二（文）第二次月考）在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线，直线与曲线交于、两点.（1）求出的方程；（2）若=1，求的面积；（3）若，求实数的值。【解析】：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为 （2）设，由解得， ， （3）设，其坐标满足消去y并整理得，故 若，即而，于是，化简得，所以16（2010届福建省南安市侨光中学高二第二次阶段考必修5+选1-2)）已知椭圆E的焦点在

14、轴上，长轴长为4，离心率为。（1）求此椭圆E的标准方程；（2）已知点和直线：，线段AB是椭圆E的一条弦且直线垂直平分弦AB，求实数的值。【解析】：（1）设椭圆的标准方程由条件知：，故所求的椭圆方程为：。（2）由条件可得AB所在直线的方程为，代入椭圆方程得：即，解得，。设AB的中点为M，则，由点M在直线上，解得：。17（09北京东城二模文）位于函数的图象上的一系列点,这一系列点的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列.()求点的坐标;()设抛物线中的每一条的对称轴都垂直于轴,对于第条抛物线的顶点为,抛物线过点,且在该点处的切线的斜率为,求证:. 【解析】: ()由于的横坐标构成以为首项,为公差的等

15、差数列, 故 又位于函数的图象上, 所以 所求点的坐标为( ()证明:由题意可设抛物线的方程为,即. 由抛物线过点,于是有. 由此可得 故. 所以, 于是 . 故 18（广东省惠州市2009届高三4月模拟考试理）如图,已知直线l:与抛物线C:交于A,B两点,为坐标原点,()求直线l和抛物线C的方程;()抛物线上一动点P从A到B运动时,求ABP面积最大值.【解析】:()由得, 设则因为= 所以解得 所以直线的方程为抛物线C的方程为 ()方法1:设依题意,抛物线过P的切线与平行时,APB面积最大,所以 所以此时到直线的距离 由得, ABP的面积最大值为 ()方法2:由得, 设 ,因为为定值,当到直

16、线的距离最大时,ABP的面积最大, 因为,所以当时,max=,此时 ABP的面积最大值为 19已知平面上一个定点C（1，0）和一条定直线L：x=4，P为该平面上一动点，作PQL，垂足为，（1）求点P的轨迹方程；（2）求 的取值范围【解析】：（）由， 设P（x，y），得， 点P的轨迹方程为 （）设P（x，y）， 由，故有 20（2009高考(海南宁夏文)）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1(I)求椭圆的方程(II)若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线【解析】:()设椭圆长半轴长

17、及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为 ()设M(x,y),P(x,),其中由已知得而,故 由点P在椭圆C上得 代入式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. 21（吉林省东北师大附中2009届高三第四次摸底（文）已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线：与相切，并且与椭圆交于不同的两点（I）求椭圆的标准方程；（II）当，且满足时，求弦长的取值范围【解析】:（I）依题意，可知， ，解得椭圆的方程为（II）直线：与相切，则，即，由，得，直线与椭圆交于不同的两点设， ，设，则，在上单调递增 22（山东省济宁市2008-2009

18、学年第一学期高三期末质量检测理）设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程【解析】：（1）由题设知由于，则有，所以点A的坐标为，故所在直线方程为， 所以坐标原点O到直线的距离为，又，所以，解得，所求椭圆的方程为 （2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，设，由于，解得 又Q在椭圆C上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或 23（广东省惠州一中2010届高二第一学期第三次月考理(必5+选2-1)）已知椭圆C的中心在原点，焦点、在x轴上，点P为

19、椭圆上的一个动点，且的最大值为90，直线l过左焦点与椭圆交于AB两点，的面积最大值为12（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程。【解析】：（1）设, 对 由余弦定理, 得，解出 （2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为由 得 于是椭圆方程可转化为将代入，消去得,整理为的一元二次方程，得.则、是上述方程的两根且，AB边上的高 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当面积最大时椭圆的方程为： 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为： （这样设直线方程的好处是什么？还请读

20、者进一步反思反思.）椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得： 于是是上述方程的两根., AB边上的高,从而 当且仅当取等号，即由题意知, 于是.故当面积最大时椭圆的方程为： 24（河北省冀州中学09-10学年高二上学期第一次月考）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知,若存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 且(O为坐标原点),求该圆的方程.【解析】:(1)因为, 所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆

21、; 当时,方程表示的是双曲线. (2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 25（2008-2009学年北京市崇文区高三年级第一学期期末练习（理）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）（）

22、求椭圆的方程；（）当时，求直线PQ的方程；（）判断能否成为等边三角形，并说明理由【解析】：（）设椭圆方程为 (ab0) ，由已知 椭圆方程为 （）解法一 椭圆右焦点 设直线方程为（R） 由 得 显然，方程的设，则有 ， 解得直线PQ 方程为，即或 解法二： 椭圆右焦点当直线的斜率不存在时，不合题意 设直线方程为， 由 得 显然，方程的设，则 =，解得直线的方程为，即或 （）不可能是等边三角形 如果是等边三角形，必有，或（无解）而当时，不能构成等边三角形不可能是等边三角形 xAxBD26（2009高考(广东理)）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）

23、为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程（2）若曲线与有公共点，试求的最小值【解析】：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.27（2009高考(安徽理)）点在椭圆上,直线与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点;(II)证明:构成等比数列

24、【解析】:(I)(方法一)由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与的交点,若Q是椭圆与的交点,代入的方程,得即故P与Q重合(方法三)在第一象限内,由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即因此,就是椭圆在点P处的切线根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线的唯一交点(II)的斜率为的斜率为由此得构成等比数列28（山东省青岛市2009年高三教学统一质量检测（文）设椭圆的右焦点为,直线与轴交于点,若(其中为坐标原点).()求椭圆的方程;()设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.【解析】:()由题设知:由得: 解得，椭圆的方程为

25、 ()从而将求的最大值转化为求的最大值 是椭圆上的任一点，设，则有即 又， 当时，取最大值的最大值为 29（2009高考(福建文)）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点(I)求椭圆的方程;()求线段MN的长度的最小值;()当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由【解析】：解法一: (I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为 ()直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而 由得0 设则得,从而 即又 由得 故 又 当且仅当,即时等号成立 时,

26、线段的长度取最小值 ()由()可知,当取最小值时, 此时的方程为 要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上 设直线 则由解得或 当由 由于故直线与椭圆C有两个不同的交点 当由 由于与椭圆C没有交点 综上所述,当线段MN的长度最小时,椭圆上仅存在两个不同的点T,使得的面积等于 解法二: ()同解法一 ()设 设 故 当且仅当时等号成立 即M,N的长度的最小值为 ()由()知,当M,N取最小值时, 此时BS的方程为 设与直线BS平行的直线方程为 由 当直线与椭圆C有唯一公共点时,有解得 当时,两平行直线BS:与:间的距离, 当时,两平行直线BS:与:间的距离, 故在BS边上的高 椭圆C上存在两个不同的点T,使得的面积等于 即线段MN的长度最小时,椭圆C上仅存在两个不同的点T,使得的面积等于 30（山东省莱州一中09年高三第二次质量检测）已知直线与椭圆相交于AB两点.(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长；(2)若向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆长轴长的最大值.【解析】：,由,得:, ,整理得:. 将代入上式得,.,适合条件.由此得,故长轴长的最大值为.-