圆心角、弦、弧关系...doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date圆心角、弦、弧关系.【课前预习】圆心角、弦、弧之间的关系回顾1.圆是 对称图形，它的对称中心是 2._叫做圆心角3、垂径定理：圆心 弧 弦 弦心距之间的关系知识要点归纳 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆

2、中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 距也不相切。 （2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。下面举四个错例：这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，CEA、BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。 （3）同一条弦对应两

3、条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 （4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1的弧。 一般地，N的圆心角对着N的弧，N的弧对着N的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度

4、数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 （2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： （1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可

5、利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。【学海导航】1. 如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？相等的弦： ；相等的弧： 理由： 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 表达式： 同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的弦也 表达式： 在同圆或等圆中，如果两

6、条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的 也相等表达式： 注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB、AC、BC都是O的弦，AOC=BOCABC与BAC相等吗？为什么？例题2、已知：如图，AB是O的直径，点C、D在O上，CEAB于E，DFAB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？BDAC如图,在O中, = ,1=30,则2=_一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为_。

7、4. O中，直径ABCD弦，则BOD=_。5. 在O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 6.如图，AB是直径，BC()CD()DE()，BOC40，AOE的度数是 。典型例题：例1如图，在O中，AB=AC，AOB=60 ，求证AOB=BOC=AOC 例2. 如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB于点E，OFCD于点F，（1） 如果AOB=COD,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2） 如果OE=OF，那么的大小有什么关系？为什么？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？归纳： 。 【演练反馈】1.如果两个圆心角相等，那么（ ） A这两个圆心角所对的弦相等

8、; B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对2下列说法中，正确的是（ ）A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等3.如图，AB是O的直径， COD=35，求AOE的度数。二、探究新知（1）探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。（可以出题让学生判断）将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能证明吗？BABB(B)OOA(A)AA 得出：（2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？做一做：在纸上画两个等圆，画AOB=AOB，连结AB和AB，则弦AB与弦AB，弧AB与弧AB还

9、相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。（3）说一说尝试将上述结论用数学语言表达出来。（4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？学生小组讨论，归纳得出：三、例题讲解例：如图，在O中，弧AB=弧AC，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC。四、巩固练习1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图所示：因为AOB=AOB，所以=. （2）在O和O中，如果弦AB=AB，那么=。2. 已知：如图所示，AD=BC。求证：AB=CD。变式练习1：已知：如图所示，AB=CD。求证：AD=BC

10、。变式练习2：已知：如图所示，=。求证：AB=CD。变式练习3：已知：如图所示，AB=CD。求证：=。3.在圆O中，AC=DB，求证：。4.D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CDOA、CEOB，CD=CE，则与的关系是？变式练习：已知AB为圆O直径，M、N分别为OA、OB中点，CMAB，DNAB。求证：。5.小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在如图中已知AOB=2 COD,则有 弧AB=2弧CD ,AB=2CD,你同意他的说法吗?【典型例题】 例1. 已知：如图，在O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分APC。 求证：（1）ABCD；（2）PAPC 分析：要证明两弦相

11、等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线PO过圆心，利用弦心距相等可以解决。 证明：（1）过O点作OMAB于M，ONCD于N PO平分APC OMON ABCD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等） 此题还有几种变式图形，道理是一样的。 弦AB、DC的交点在圆上，即B、P、D三点重合。 若PO平分APC，求证：PAPC。 弦AB、CD交于P点（P点在圆内） PO平分APC，求证：ABCD。 此题还可将题设与结论交换一下，即已知ABCD，求证：PO平分APC，证法与上面一样，利用弦心距等。 （2）在RTPOM和RTPON中， 即PAPC例2. 如图，在O中，AB2CD，那

12、么（ ） 分析： 解法一： 故选A。 解法二： 例3. 求证：OEOF 证法一：连结OC、OD 证法二：过O点作OMCD于N交O于M 例4. 如图，O中AB是直径，COAB，D是CD的中点，DEAB。 分析：度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出COE、AOE的度数。 证明：连结OE 例5. 交AB于M、N。 求证：AMMNNB 解析一： 证法一：连结OE、AE，设等边ABC的边长为2a 解析二： 证法二： 如图，连结OE，设AC2a，则ACAB2OE2a 解析三： 要证AMMNNB，即证AM：MO2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M是ACG的重心，问题得证。（三角形的重心即为

13、三角形三条中线的交点到顶点的距离等于交点到对边中点距离的2倍）证明三： 连结AE，并延长交CO的延长线于G 设AC2a，则有AEOAa（证法一中已证明AOE为等边三角形） ACBC，AOOB AOCG，CABGAO60，AOAO AOCAOG OCOG，且AGAC2a AEa，AEEGa 即E为AG中点，O为CG中点 M为ACG的重心 圆心角、弦、弧之间的关系2013-9-1 15008620708（李老师） 姓名： 【课后作业】1、下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦； 相等的圆心角所对的弧相等在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。其中真命题的是（ ）

14、AB C D 2如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对3如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）ACE=DE B弧BC=弧BD CBAC=BAD DACAD4在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB与CD关系是（ ） A弧AB=2弧CD B弧AB2弧CD C弧AB2弧CD D不能确定5题 6题 7题 9题5、如图,已知O中,弧AB=弧BC,且弧AB：弧AMC=3:4,则AOC=_.6、如图，已知AB,CD是O的直径，CE是弦，且ABCE,C=，则弧

15、BE的度数为 7如图，AB为O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_8、P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_9如图，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）10.在O中，圆心角AOB=90，点O到弦AB的距离为4，则O的直径的长为（ ）A4 B8 C24 D1611.如图，在中，是互相垂直的两条弦，于点，于点，且，那么的半径长_12.如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且ABCD，已知CE=1，ED=3则的半径是 13. 半径为4cm，120的圆心角所对的弦长为（ ）

16、A. B. C. D. 14. 在O中，圆心角AOB90，点O到弦AB的距离为4，则O的直径的长为（ ） A. B. C. 24D. 1615. 如图，AB为O的直径，C、D是O上的两点，BAC=20，弧AD=弧CD，则DAC的度数是（ ）A. 70B. 45C. 35D. 3016. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为_。17. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为_。18. 在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于_。19. 在O中，弦CD与直径AB相交于E，且AEC30，AE1cm，BE5cm，那么弦CD的弦心距OF_cm，弦CD的长为_cm。22. 已知A、

17、B、C为O上三点，若弧AB、弧BC、弧CA度数之比为1：2：3，则AOB_，BOC_，COA_。21. 已知O中，直径为10cm，弧AB是O的，则弦AB_，AB的弦心距_。22. 已知：如图，在O中，弦ABCD，且ABCD于E，BE7，AE3，OGAB于G，求：OG的长？23. 如图，C是O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CDCO，使AD弧的度数为40，求BE弧的度数。24、如图6，AB是半圆O的直径，C、D是半径OA、OB的中点且OACE、OBDE，求证=.25、如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交O于G，求证：弧GE=弧EF26、如图，已知AB和CD是O的两条弦，弧AD=弧BC，求证：AB=CD.27、如图,在O中，AB=AC，ACB=60，求证AOB=BOC=AOC.28.如图，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD29. 如图：已知，OA为O的半径，AC是弦，OBOA并交AC延长线于B点，OA6，OB8，求AC的长。30. 如图，ABC中，A=70，O在ABC的三边上所截得的弦长都相等，求BOC的度数。31. 如图：已知，O中，弧AB=弧BC=弧CD，OB、OC分别交AC、DB于M、N。 求证：OMN是等腰三角形。-