2022年条件概率、乘法公式 .pdf

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1、1 / 38 1.4 条件概率、乘法公式一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页2 / 38 A HH , HT ,TH , B HH ,TT , P( B . S HH , TH , . 一、条件概率1. 引例将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况 ,设事件 A为 “ 至少有一次为正面 ”,事件B为“ 两次掷出同一面 ”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率 . 分析 设 H 为正面 , HT为反面TT . 2 1 4 2 事件A

2、已经发生的条件下事件B 发生的概率 ,记为P(B A, 则 P( B A1 3 1 4 3 4 P( AB P( A P( B.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页3 / 38 2. 定义设 A, B 是两个事件 ,且 P( A 0,称P( B AP( AB P( A 为在事件 A 发生的条件下事件 B发生的条件概率 . 同理可得P( A BP( AB P( B 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共

3、 38 页4 / 38 (5可列可加性 : 设 B1 2 , L是两两不相容的事1 1 1 P U Bi A P ( Bi A. 3. 性质(1 非负性 : P ( B A 0。(2 规范性 : P ( S B 1, P( B 0。(3 P(A U A2 B P(A B P(A2 B P(A A2 B。(4 P ( A B 1 P( A B. , B 件 , 则有 i1 i1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页5 / 38 二、 乘法定理设 P( A 0, 则有P( AB P( B AP( A. 设 A, B, C

4、 为事件 ,且 P( AB 0, 则有P( ABC P (C ABP( B AP( A. 推广 设 A1 , A2 ,L, An为 n 个事件 , n 2, 且 P( A1 A2 L An 1 0, 则有P( A1 A2 L An P ( An A1 A2 L An 1 P( An 1 A1 A2 L An 2 L P ( A2 A1 P( A1 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页6 / 38 例1 一盒子装有 4 只产品 , 其中有 3 只一等品、 1只二等品 . 从中取产品两次 , 每次任取一只 , 作不放回

5、抽样. 设事件 A为“ 第一次取到的是一等品”、事件 B 为“ 第二次取到的是一等品” 试求条件概率 P(B|A. 解将产品编号 , 1, 2, 3为一等品 。 4 号为二等品 . 以 (i , j 表示第一次、第二次分别取到第 i 号、第j 号产品 , 则实验的样本空间为S (1,2, (1,3, (1,4, (2,1, (2,3, (2,4 , L, (4,1, (4,2, (4,3,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页7 / 38 . A (1,2, (1,3, (1,4, (2,1, (2,3, (2,4,

6、(3,1, (3,2, (3,4, AB (1,2, (1,3, (2,1, (2,3, (3,1, (3,2, 由条件概率的公式得P( B AP( AB P( A 6 12 9 12 2 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页 . 例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为 0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物 , 问它能活到 25岁以上的概率是多少? 解设 A 表示 “能活 20 岁以上 ”的事件，B 表示 “能活 25 岁以上 ” 的事件 , 则有P( B AP( AB P

7、( A . 因为 P( A 0.8, P( B 0.4, P( AB P ( B, 所以 P( B AP( AB P( A 0.4 1 0.8 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页则有 P ( A1 ,2 2 1 1抓阄是否与次序有关? 例3 五个阄 , 其中两个阄内写着“ 有”字， 三个阄内不写字，五人依次抓取 , 问各人抓到 “ 有” 字阄的概率是否相同? 解设 Ai表示“ 第 i 人抓到有字阄 ” 的事件 , i 1,2,3,4,5. 2 5 P( A P( A S P( A2 I ( A U A 精选学习资

8、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页1 2 1 2 , P( A A U A A P( A1 A2 P( A1 A2 P ( A1 P ( A2 A1 P ( A1 P( A2 A1 2 1 3 2 5 4 5 4 2 5 P ( A3 P ( A3 S P ( A3 ( A1 A2 U A1 A2 U A1 A2 P( A1 A2 A3 P( A1 A2 A3 P( A1 A2 A3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页1 1 1 1 1 1 ,

9、 依此类推 P( A4 P( A5 . P( A P( A2 A P( A3 A A2 P( A P( A2 A P( A3 A A2 P( A1 P( A2 A1 P( A3 A1 A2 2 3 1 3 2 1 3 2 2 5 4 3 5 4 3 5 4 3 故抓阄与次序无关 . 2 5 2 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页摸球实验例4设袋中装有 r 只红球、 t 只白球 .每次自袋中任取一只球 , 观察其颜色然后放回 , 并再放入 a只与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球四次, 试求第一、二次取到

10、红球且第三、四次取到白球的概率 . 解设 Ai (i 1,2,3,4 为事件 “ 第 i 次取到红球 ”则 A3、 A4为事件第三、四次取到白球 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页因此所求概率为P ( A1 A2 A3 A4 P( A4 A1 A2 A3 P ( A3 A1 A2 P( A2 A1 P( A1 t a t r a r r t 3a r t 2a r t a r t . 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

11、- -第 13 页，共 38 页14 / 38 例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为 7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率 . 解 以Ai (i 1,2,3表示事件透镜第 i次落下打破, 以B 表示事件 “ 透镜落下三次而未打破”.因为 B A1 A2 A3 , 所以 P( B P( A1 A2 A3 P( A3 A1 A2 P( A2A1 P( A1 (1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页

12、，共 38 页(1 9 10 (17 10 1 2 3 200 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页16 / 38 定义 设 S 为实验 E的样本空间 , B1 2 ,L, Bn为则称 B1 2 ,L, Bn为样本空间 S 的一个划分 . 三、全概率公式与贝叶斯公式1. 样本空间的划分, B E 的一组事件 ,若(i Bi B j, i j, i , j 1, 2,L, n。(ii B1 U B2 U L U Bn S . , B B 3 B 2 B 1 L B n 1 B n精选学习资料 - - - - - -

13、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页2. 全概率公式定理设实验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 ,L , Bn为 S 的一个划分 ,且 P ( Bi 0(i1, 2,L , n, 则P ( A P ( A B1 P ( B1 P ( A B2 P ( B2 L P ( A Bn P ( Bn 全概率公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页18 / 38 1 1 证明A AS A I ( B1 U B2 U L U Bn AB1 U AB2

14、 U L U ABn . 由 Bi B j ( ABi ( AB j P( A P( AB1 P( AB2 L P( ABn P(AB P(B P(AB2P(B2L P(ABnP(Bn. 图示B2 B3 A L Bn 1 B1 Bn 化整为零各个击破精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. B2 A B1 B3 L Bn 1 Bn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

15、归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页20 / 38 例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1% ，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解设事件 A 为“ 任取一件为次品 ”,事件 Bi为“任取一件为 i厂的产品” , i 1, 2, 3. B1 U B2 U B3 S , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页Bi B j, i , j 1,2,3.精选学习资料 - -

16、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页22 / 38 30% 2% 1% 1% 50% 20% S 由全概率公式得P(A P(AB P(B P(AB2P(B2 P(AB3P(B3. P ( B1 0.3, P ( B2 0.5, P ( B3 0.2, P( A B1 0.02, P( A B2 0.01, P( A B3 0.01, 故 P(A P(AB P(B P(AB2P(B2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页23 / 38 1 1 1 1 P(AB

17、3P(B3 0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页j1 P ( A B j j 3. 贝叶斯公式定理设实验 E 的样本空间为 S . A为 E的事件 , B1 B2 ,L, Bn为 S 的一个划分 ,且 P ( A 0, P ( Bi 0, (i 1,2,L, n, 则P ( Bi An P( A Bi P ( Bi P ( B , i 1,2,L, n. 称此为 贝叶斯公式 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

18、- - - - -第 24 页，共 38 页25 / 38 j1 P ( A B j j 证明P( Bi AP( Bi A P( A n P ( A Bi P ( Bi P ( B ,i1,2,L, n.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页26 / 38 例7 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的 .根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂1 2 3 次品率0.02 0.01 0.03 提供元件的份额0.15 0.80 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的 ,且无区别的标志 . (1 在

19、仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的概率。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 38 页27 / 38 (2 在仓库中随机地取一只元件 , 若已知取到的是次品 , 为分析此次品出自何厂 , 需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少 . 试求这些概率 . 解 设 A 表示 “ 取到的是一只次品 ” , Bi (i 1,2,3 表示“ 所取到的产品是由第 i 家工厂提供的 ” . 则B1 , B2 , B3是样本空间 S 的一个划分 , 且P ( B1 0.15, P( B2 0.80, P( B3 0.05,精选学习资料

20、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 38 页28 / 38 P ( A B1 0.02, P( A B2 0.01, P ( A B3 0.03. (1 由全概率公式得P( A P( A B1 P(B1 P( A B2 P(B2 P( A B3 P(B3 0.0125. (2 由贝叶斯公式得P( B1 AP( A B1 P( B1 P( A 0. 02 0. 15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 38 页29 / 38 0.0125 0.24.精选学习资料 -

21、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 38 页30 / 38 P( B2 AP( B3 AP ( A B2 P( B2 P( A P ( A B3 P( B3 P( A 0.64, 0.12. 故这只次品来自第 2 家工厂的可能性最大 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 38 页例8 对以往数据分析结果表明 , 当机器调整得良好时 , 产品的合格率为 98% , 而当机器发生某种故障时 ,其合格率为 55% . 每天早上机器开动时 , 机器调整良好的概率为 95%.试求

22、已知某日早上第一件产品是合格品时 , 机器调整得良好的概率是多少 ? 解 设 A 为事件 “ 产品合格 ” , B 为事件 “ 机器调整良好 ” . 则有P ( A B 0.98, P ( A B 0.55,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 38 页32 / 38 P( B 0.95, P( B 0.05, 由贝叶斯公式得所求概率为P( B AP( A BP( B P( A BP( B P( A BP( B 0.98 0.95 0.98 0.95 0.55 0.05 0.97. 即当生产出第一件产品是合格品时 ,此时机器

23、调整良好的概率为 0.97.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 38 页先验概率与后验概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率 . 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 38 页例9 根据以往的临床记录 ,某种诊断癌症的试验具有如下的效果 :若以 A表示事件 “ 实验反应为阳性 ”,以 C表示事件 “ 被诊断者患 有癌症 ”,则有 P( A C 0.95, P( A

24、 C 0.95.现在对自然人群进行普查,设被实验的人患有癌症的概率为0.005, 即 P(C 0.005,试求 P(C A. 解因为P( A C 0.95, P( A C 1 P( A C 0.05, P(C 0.005, P(C 0.995,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 38 页35 / 38 由贝叶斯公式得所求概率为P(C AP( A C P(C P( A C P(C P( A C P(C 0.087. 即平均 1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症 !精选学习资料 - - - - - - - - -

25、 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 38 页1.条件概率 P( B A1 1 P ( Bi A n 四、小结P( AB P( A 全概率公式乘法定理P( AB P( B AP( A P(A P(AB P(B P(AB2P(B2L P(ABnP(Bn 贝叶斯公式P ( A Bi P ( Bi P ( A B j P ( B j j1 , i 1, 2,L, n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 38 页2. 条件概率 P( A B 与积事件概率 P( AB的区别 . P( AB 表示在样本空间 S 中, AB 发生的概率,而 P ( B A表示在缩小的样本空间 S A中, B 发生的概率 . 用古典概率公式 , 则P ( B AP ( ABAB中基本事件数S A中基本事件数AB 中基本事件数S 中基本事件数, , 一般来说 , P ( B A比 P ( AB 大 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 38 页作业 习题一 13 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 *精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 38 页