复数的三角形式的运算(一)-教案示例.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date复数的三角形式的运算(一)-教案示例复数的三角形式的运算(一)教案示例复数的三角形式的运算(一)教案示例 目的要求1掌握复数三角形式的乘法运算法则2理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用内容分析1在代数形式下，两个复数的乘积(abi)(cdi)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos1isin1)r2(cos2isin

2、2)仍可按代数形式(r1cos1ir1sin1)(r2cos2ir2sin2)来计算但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系2三角形式下两个复数z1r1(cos1isin1)与z2r2(cos2isin2)的乘法公式及法则：r1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r1r2cos(12)isin(12)即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于

3、原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主arg(z1z2)与argz1、argz2的关系是arg(z1z2)argz1argz22k(k取某一整数)其中整数k使argz1argz22k0，2)3根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下：在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角2(若20，则按顺时针方向旋转一个角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示积z1z2也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短

4、及其倍数取决于另一复数的模的大小4将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为r1(cos1isin1)r2(cos2isin2)rn(cosnisinn)r1r2rncos(12n)isin(12n)(n2)可以用数学归纳法说明：1当n2时，乘法公式成立2假设nk(k2)时，乘法公式成立，即r1(cos1isin1)r2(cos2isin1)rk(coskisink)r1r2rkcos(12k)isin(12k)则nk1时，有r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)rk(coskisink)rk+1(cosk+1isink+1)r1r2rkcos(12k)isin(12k)rk

5、+1(cosk+1isink+1)r1r2rk+1cos(12k+1)isin(12k+1)即复数的乘法公式也成立由1、2可知，复数乘法公式对一切不小于2的正整数都成立相应地，此时积的辐角主值与各复数辐角主值的关系是arg(z1z2zn)argz1argz2argzn2k(k取某一整数)其中整数k使argz1argz2argzn2k0，2)5本课时的重点是两个复数的乘法法则、复数乘法的几何意义，难点是乘法的几何意义及其应用教学过程1复习引入(1)复数的三角形式、模、辐角(2)复数代数形式的乘法法则2提出问题(1)三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数形式的乘法法则得出？(2)三角形式表示的两

6、个复数的乘法，是否有用r1、r2和1、2表示的简单公式？乘积的模与r1、r2有何关系？乘积的辐角与1、2有何关系？3讲解新课(1)(学生计算得出)三角形式下两复数的乘法公式和乘法法则，解决前面提出的问题(2)提出新的问题：法则中的“辐角”能否换成“辐角主值”？给出两个三角形式的复数，如何求积的辐角主值？(在学生讨论后加以解决)(3)讲解复数乘法的几何意义(4)两个复数相乘的公式推广到有限个复数相乘，指出其证明方法，证明过程留给学生课后去完成4应用举例(1)补充例题：求arg(3i)arg(2i)的值解法一：设arg(3i)，arg(2i)，则有0点评：解法二利用复数乘积的辐角(主值)与原来两个复数辐角(主值)的关系求解这种方法用在三个以上复数的乘积中，效果则会更加明显(2)讲评例2指出与复数对应的向量旋转，即是两个复数的乘法问题，这是复数乘法几何意义的逆用(3)讲评例3这是复数乘法几何意义的具体应用5课堂练习教科书第217页练习第1题补充练习：设复数z112i、z21i、z313i的辐角主值分别是、，求的值6课堂小结(1)复数三角形式的乘法法则(2)复数乘法的几何意义布置作业教科书习题56第1、2、4(1)题-