2022年《线性代数》答案及课件 .pdf

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1、1求下列齐次线性方程组的通解. （ 1）12342350 ,xxxx1234123412343270 ,4360 ,2470 ,xxxxxxxxxxxx解: 对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到：1424342315079192312707101434136091934412471247rrArrrr12001507101420919341247rr01501076471014710640912991934919129A由克莱姆法则可知，方程组只有零解。（2）12345430 ,xxxxx12345123451234523550 ,320,35670 .xxxxxxxxxxxxxxx解: 对方

2、程组的系数矩阵A作初等行变换得到：213141111431114322135501131113210226233156702262rrArrrr1231411021201131200000200000rrrrrr, 原方程组的同解方程组：134522xxxx23453xxxx，方程的通解：112322xkkk，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 21233142533,.xkkkxkxkxk其中1

3、23,kkk为任意实数。2. 求下列非齐次线性方程组的通解. （1）1234527,xxxx123412342421,3650.xxxxxxxx解: 对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：13235121701432247521421071612121365013650rrArr12000052071612113650rrB. 矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程：05，方程组无解。（ 2）3425,xyzw52311,92515,5361.xyzwxyzwxyzw解: 对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：12324231425014272831523111523111925150402455

4、361102841456rrArrrr21113241112322134014272800201414190417100820101901010000000000rrrrrrrrr1211212001071008010100000r. 原方程组的同解方程组：128,xw121 ,7.ywz取2wk，得到方程组的通解：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 8,1 ,7,2.xkykzwk其中为任意常数

5、。（ 3）123452321,xxxxx123451234512345236,2222,23517105 .xxxxxxxxxxxxxxx解: 对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：21314112132112132122111360317741122220115412235171050171163rrArrrr1342514412324433103763103763220048510012301154101154100816102000000rrrrrrrrrr9154451124451132441001300120103000000rrrr. 同解方程组：91514544,xxx51124

6、544513454444553,2,xxxxxxxxxx取1122,xk xk，得到方程组的通解：151124521241312441529,311,25,4.xkkxkkxkkxkxk3. 讨论：当,a b为何值时，下列方程组：123451,xxxxx12345234512345323,2263 ,5433.xxxxxaxxxxxxxxxb名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 有解，在有解的情况下

7、，求它的通解. 解: 对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：3141111111111111332113012263012263012263554331012265rraaArrbb234310115201226300000000002rrrrab. 显然，当0,2ab时，方程组有解；此时，方程组的同解方程组为：134552,xxxx23452263,xxxx得到方程组的通解：1123212331425352,2263 ,.xkkkxkkkxkxkxk其中123,kkk为任意实数。4. 求, , ,x y z w使得：643123xyxxyzwwzw解：由334633123xyxxyzwzww得

8、到：34,36,31,323.xxyxyzzwww解得：2 ,4 ,1 ,3.xyzw5. （1）已知2112510,34034AB，求2ABBA和；（2）设327201104 ,517680421AB，求23TABAA B及. 解： （1）21125221034034AB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 181021620212524109221518443021125152110.34010

9、334BA（2）327201327232 1045173 104680421680ABA1212496211518292 148530122516228862182403840124；316201231316208517361667404216435TA B. （3）设Al是k矩阵，Bmn是矩阵，如果ACB有意义，则C应为lm矩阵 . 6计算：（1）111213112321222323132333aaaxxxxaaaxaaax11 1122133123211222233311322333a xa xa xxxxa xaxa xa xa xa x11111221332211222233331 1

10、322333()()()x a xa xa xx a xa xa xx a xa xa x3,1ijiji ja x x；（2）4013252573；（3）11221224336；（4）311111111001100111111110011007举例说明下列命题是错误的：（1）若20A，则0A；（2）若2AA，则0,AAE或 ; 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - （3）若,0AXAYAXY且，则

11、. 解： （1）取2110,011AA而（ 2）取210,0,00AAAEAA则而（ 3）取101010,000001AXy，则,0,XY AAXAY而. 8已知n阶方阵,A B可交换，即ABBA，证明：（1）222()2ABAABB（2）22()()ABABAB（3）()mmmABA B，m为正整数。证： （1）222()()()ABABABAABBAB222AABB；（2）2222()()ABABAABBABAABABB22AB；（3）归纳法：当1m时，显然ABAB；设：111()mmmABAB，则1111()()()mmmmmmABABABABBAAB A注意到mmmB ABB AAB个

12、，故1()mmmmmABAABA B9设010001000A，求所有与A交换的矩阵B. 解：设111213212223313233bbbBbbbbbb111213111213212223212223313233010001000000bbbbbbABbbbbbbbbb，111213111221222321223132333132010000100000bbbbbBAbbbbbbbbbb，由ABBA得到：2131320bbb，2211bb，2312bb，3221332211,bbbbb因此：111213111211000bbbBbbb. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

13、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 10设：221( )35,33f xExxA，证明：()0fA. 证：2()35f AEAA301057500.03151515120011计算：101n解： （归纳法）当2n时，21010101011121；设：110101(1)1nn；则1101010101010111(1)111nnnn. 12.设A是反对称矩阵，B是对称矩阵，试证：1）2A是对称矩阵；2）ABBA是对称矩阵；3）AB是反对称矩阵的充分必要条件是

14、.ABBA证： 1）因22,()()()()TTTTTAAAAAA AAAA，故2A为对称矩阵。2）因：,()()()TTTTTAA BBABBAABBA()(),TTTTB AA BBAA BABBAABBA是对称矩阵。3）必要性：若AB是反对称矩阵，即()TABAB，由此得到：(),TTB ABABAABBAAB充分性：若.ABBA，则()()TTTABB ABABAAB即AB为反对称矩阵。13若n阶方阵A满足：2240AAE，试证，AE是可逆矩阵，并求1()AE. 证： 由2240AAE， 得到：225AAEE， 即2()5A EE，15()()AEAEE，所以AE可逆，且115()()

15、AEAE. 14. 设n阶方阵A满足：32430AAAE，试证：A可逆，并求1A. 证 ：由32430AAAE， 得 到2(43)AAAEE故A可 逆 ，且1243AAAE. 15.设：1(),1,Tijm nAaAAA且又，试证：AE不可逆 . 证：因11()()TTAAEEAEAAE，两边取行列式得到：11()()()TAAEAAEAEAE， 因111AA， 代 入 上 式 得 到 ：0AE，故AE不可逆 . 16 （1）设矩阵301110014A满足2AXAX，求矩阵X. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

16、 - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）设矩阵101020101A满足2AXEAX，其中E为 3 阶单位阵，求矩阵X. 解： （1）由2AXAX得到1(2 ),(2 )AE XA XAEA211011001011002010010011110012001012001AEErr1323232101100100211011110010221001111001111rrrrrrr，1211(2)221111AE，1211301522(2)221110432111014223XAEA. （2）由22()()()AXE

17、AXAE XAEAEAE得到00101010100AE，AE可逆，因此201030102XAE. 17设A为n阶方阵，证明：（1） 若2320AAE，则112(3 )AAE；（2） 若0KA，则121()KEAEAAA证明： （ 1）由2320AAE得到(3 )2A AEE，12(3 )AAEE故112(3 )AAE（3） 因21()()KEA EAAA2121KKKEAAAAAAAE，故121()KEAEAAA18 设A为n阶可逆方阵，证明：（1）2()(2)nAAAn；（2）11()()AA. 证： （1）因A可逆，11111,AAAAAAAA AAAE，所以11()AAA，又因为1AAA

18、，因此1*()AAA，因名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 111nnAAA AAA，故：2111()()()nnAAAAAAAA（2）因1*1111()()AAAAA，故 : *1 *111()AAAAAAA AA AE，11()()AA. 19 求下列矩阵方程的解：（1）213224325331X. 解：11212432212432323153323153X147146（2）223121101

19、110117X. 解：13232231000251022110010110010101001101001rrrr12477711127320071240012011011011011101001101001rrrrr124124777777215353111377777731312124777777001100010010001001rrrrrr1223123111015371011241231202103111531171412771241772814X（3）111111022110110211X. 解：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精

20、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 31111100111100022010022010110001021101rr1132221111222211113332210210102100110001100003111001rrrrr11236323111363131113331000102001rrrr1111214102221261102221112142281111021242266211222458X（4）010100143100001201001010120X解：1101014

21、3100100201001001120010X01014310021010020100113400112001010220 填空：（1 ）设,A B是两个3阶方阵，1,2AB， 则：22222123111142()2888 12TTTBA BA BABA（ 2 ） 设,A B是 两 个4阶 方 阵 ，11116,2(2 )ABAA， 则 ：41111338 18 111222161621681ABAAAA（3）设A是 4 阶数量矩阵，且16A，则：121211212AE. （4）设,A B是n阶可逆方阵，若5A，则：1115KKKKBA BBB ABB A（5）设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充

22、分必要条件是0k. 21 求下列矩阵的逆阵. （1）1000120021301214（2）3200210000830052名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - （3）0032004541006200（4）121000000000000nnaaaa（5）1357012300120001（6）2100320057181316（7）120000350000001230002210003430000005

23、解：将p分块成：10001200021301214ApCB，111110APB CAB112024040801111,11121213262241224AB1140212012411131211352424B CA12400012412120011,351248024243526P（2）将p分块成：320021000000830052ApB，11100APB11121223,232358AB，11200230000230058P名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

24、 - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - （3）将p分块成：003200450041006200ApB，11100BPA. 5217721134775221111,43643272AB1215277347700100320000P（4）将p分块成：121000000000000000000nnaaApaBa，1111111211000000000000000nnaaBPaAa（5）将p分块成：13570123000120001ACpB，111110AA CBPB111312,0101AB1113571211801230127A CB11311801270012000

25、1P（6）将p分块成：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 21003200057181316ApCB，111110APB CAB1111223421681,32112AB1111223457211192113322232B CA111222100320057,57342222P（7）将p分块成：123120000350000000012300000221000003430000005APAA，1

26、111111213513005200,3100ApAAAA2123112310012310022210100252103343001026301rrAErr1312322310210010013220252100203655001111001111rrrrrrrr122352231001320103001111rr, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 113522235221552000031

27、00001320013203,003011100111000000Ap22求下列矩阵的逆阵。（ 1）122212221，（2）1111111111111111（3）012114210，（4）132301111解： （1）131222123()221AA，111133()AA，13A为正交矩阵，1111333()()TTAAA，11199122212221TAA（2 ）12111111112()11111111AA，111122()AA，12A为正 交矩阵 ，1111222()()TTAAA，111441111111111111111TAA（3）3201210001210011401021140

28、10210001038021rr2113231312201210001210010211010211030023210011rrrrr131223331122220104211002112100211010421200110011rrrrrr，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 131222114211A（4）2131132100132100_ 2301010097310111001043101

29、rrrr11331273731112999999932314999132100100030100104043101001rrrrr233133149991001131001137010237 90102373001001349rrrrr，1113237349A23已知线性变换：113212331232,23,48.yxxyxxxyxxx求由变量123,yyy到变量123,x xx的线性变 . 解：记112233102,213 ,418yxYyAXxyx，则上述线性变换可写为YA X.123110210010210022130100112104418001010401rrrr2323102100

30、102100011210011210001611001611rrrr132310011222010401001611rrrr，11122401.611A1XA Y，即：112321331231122,4,6.xyyyxyyxyyy24求下列矩阵的秩（1）2131121211212122412300361336265005122rrArr111232333131212112121001250012,( )30051220002rrrR A名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

31、 - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）313241421312131213122011530115301153253101153000044115011530000rrrrArrrr( )2R A（3）1111111,(31)11111111aaaaaaaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaaaaaaaaaaa310100(31)(31)(1)00100001aaaaaaaaa（i）当13,1aa时，0,( )4AR A；（ii ）当13a时，11333111131111311113AB211431424111131113111313110404

32、04041131004400443311104480044rrB rrrrrrrr4311130404,( )( )300440000rrR AR B（iii ）当1a时：213141111 11111111 10000,( )1111 10000111 10000rrArrR Arr25.设A是n阶方阵，如果A的秩()1R An试证：*()0R A，其中*A是A的伴随方阵 . 证明：记()im njAa， 则1 12 111 2222*12nnnnnnAAAAAAAAAA， 其中ijA为ija的代数余子式，,1,i jn.由()1R An得到，A中所有的1n阶子式全为0，故0 ,1 ,ijA

33、i jn，于是*0n nA，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 故*()0R A. 26.设1100213401100213,0011002100010002BC，求A，使A满足1()TTA ECBCE. 解：11()()()TTTTA EC BCA C EC BA CBE，11() () TTACBCB. 而：12312340123000120001AACBA,1111111231121312

34、12(),01010AAA ACBAAA111231234121001230121AA A11210100001212100(),0012121000010121CBA27.设 4阶方阵A和B按列分块成：123231,AB，其中：123,均为 4 维列向量，且2,3AB，计算AB. 解：AB122331122331122331122331123312233112323124A; 类似地，122331123312233112323126；4610AB. 28 设A为 3 阶方阵1111121113A，求*1()A.其中*A是A的伴随方阵 . 解：1*1*1111,()AAAAAA AAAAA.名

35、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 21131111100111100121010010110113001002101rrAErr1123211221012101012100101100101100021010010rrr5511222213111122221001101011011000100rrA，1*115212 ,()220101AAAA29设A为n阶非零方阵，如果*TAA，证明：0A.

36、证：*0000000AAAAA EA，而21122121*njjnjTjnnjjaaAAa， 如 果*TAA， 则*TA AA A，故21,1,nijjAain， 如果0A，则0,1,ijai jn，即A为零阵，与题设矛盾，故0A。30设100220 ,345A求*1()A解：*AAA E，而100A，A可逆，*1AA A，*11110()AAAA. 31设131417000000A，B为 3 阶方阵，并且16A BAABA，求B. 解 ：0A，A可 逆 ， 由1(6)A BAEB A得 到 ：16A BEB， 从 而名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1()6AE BE.1300040007A, 1200030006AE, 121111131600300()00 ,6()02000001AEBAE. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -