2022年李庆扬数值分析第五版第5章习题测验答案 .pdf

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1、第 5 章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散， 最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、 高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？ A 要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分

2、解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。用 LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2， ，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此， 是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范

3、数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53，符合 3 个运算法则。正定性齐次性三角不等式设x为向量，则三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）11|niixx12221|()niixx1|max |ii nxx7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (ai j )的三种范数 | A|1，| A|2，| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页A|，| A|1与 | A|2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的

4、算子范数有1|A |2|A|A |从定义可知，1|A |更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数1(A)AAvvvcond（1,2,v）为矩阵A 的条件数当(A)1cond?时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1） 、 （2）注：矩阵的条件数小说明A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1）只要矩阵A 非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性

5、方程组Ax = b的解。答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果 A 非奇异，则Ax = b 的解的个数是由右端向量b 的决定的。答：正确。解释：若A|b 与 A的秩相同，则A 有唯一解。若不同，则A无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数一定是零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页答：错误，?可以不为 0。

6、（8）如果矩阵对称，则| A|1 = | A|。答：根据范数的定义，正确。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11）| A |1 = | AT|。答：根据范数的定义，正确。（12）若 A 是 n n 的非奇异矩阵，则)(cond)(cond1AA。答：正确。 A 是 n n 的非奇异矩阵，则A 存在逆矩阵。根据条件数的定义有：1111111cond()cond()()AAAAAAAAAA?精选学习资

7、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页习题1、设 A是对称阵且011a，经过高斯消去法一步后，A约化为21110AaaT，证明2A是对称矩阵。证明：设对称矩阵111211222212.nnnnnnaaaaaaAaaa，则经过 1 次高斯校区法后，有1112111222122121111(1)1121212111111121121222122111111121211111.0.0.0.0.nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa所以1122.Tnaaa1212

8、221221111121121211111.nnnnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为()ijnAa，其中()ijnAa，(2)21()ijnAa；证明： （1）A的对角元素0(1,2, )iiainL； （2）2A是对称正定矩阵；（1）依次取nixTii, 2, 1,)0,0, 1, 0, 0, 0(，则因为 A是对称正定矩阵，所以有0AxxaTii。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页（2）2A 中的元素满足), 3, 2

9、,(,1111)2(njiaaaaajiijij，又因为 A是对称正定矩阵，满足njiaajiij,2, 1,，所以)2(11111111)2(jijijijiijijaaaaaaaaaa，即2A 是对称矩阵。3、 设kL为指标为k的初等下三角矩阵 （除第k列对角元以下元素外，kL和单位阵I相同），即1,1.11.1kkkn kLmm求证当, i jk时，kijkijLI L I也是一个指标为k 的初等下三角矩阵，其中ijI为初等置换矩阵。4、试推导矩阵A的 Crout 分解 A=LU的计算公式，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设Uxd，

10、其中U为三角矩阵。（1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数（3）设U为非奇异矩阵，试推导求1U的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开始， 逐步计算 n-1, 1时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果A是对称正定矩阵，则1A也是对称正定矩阵（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成TAL L，其中L是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页1

11、23123123123315183156xxxxxxxxx并求出系数矩阵A 的行列式的值12331831111A123315|1831151116A b使用列主元消去法，有123315|1831151116A b18311512331511161831157015371731061861831157173106186701531831157173106186666600217A 的行列式为 -66精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle 分解）

12、求线性方程组的解123123123111945611183451282xxxxxxxxx本题考查LU分解。解：1114561113451122A10011031112L11145611130609095700540U9、用追赶法解三对角方程组bAx，其中2100012100012100012100012A，00001b。解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U 为、单位上三角矩阵。有（1）计算i的递推公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页111/1/ 20.5cb22221/ ()1/ (2( 1)( 0.5)2

13、/ 3cba33332/ ()1/ (2( 1)( 2 /3)3/ 4cba44443/ ()1/ (2( 1)( 3 / 4)4 /5cba（2）解 Ly=f111/1/ 2yfb2221221() / ()(0( 1)(1/ 2) / (2( 1)( 0.5)1/ 3yfa yba3332332() / ()(0( 1)(1/ 3) / (2( 1)( 2 / 3)1/ 4yfa yba4443443() /()(0( 1)(1/ 4) / (2( 1)( 3 / 4)1/ 5yfa yba5554554() /()(0( 1)(1/ 5) / (2( 1)( 4 / 5)1/ 6yfa

14、yba（3）解 UX=y551/ 6xy44451/ 5( 4 / 5)1/ 61/ 3xyx33341/ 4( 3/ 4)1/ 31/ 2xyx22231/ 3( 2 / 3)1/ 22 / 3xyx11122( 1/ 2)2 / 35/ 6xyx10、用改进的平方根法解方程组654131321112321xxx。本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见 P157 923,97,910321xxx。11、下列矩阵能否分解为LU（其中 L 为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。764142321A，133122111B，461561552621C。精选学

15、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k 的矩阵的前k 个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。解：因为 A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以 A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所

16、以 B不能分解为三角阵的乘积。因为 C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以 C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设3.01 .05 .06 .0A，计算 A的行范数，列范数，2- 范数及 F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1 列范数 0.5+0.3=0.8 2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。TA A的最大特征值为0.3690 所以 2- 范数为 0.6074 F-范数 0.842613、求证：（a）xnxx1；（b）FFAAAn21。根据定义求证。xnxnxxxxininiiini1111m

17、axmax。22,111nijFi jAann2max2()TAA A14、设nnRP且非奇异，又设x为nR上一向量范数，定义Pxxp。试证明px是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页nR上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然0Pxxp，ppxcPxcPcxcx、pppxxPxPxPxPxxxPxx2121212121)(，从而px是nR上向量的一种范数。15、设nnRA为对称正定，定义21),(xAxxA，试证明Ax是nR上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明

18、：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然12(, )0TAxAx xx Ax，11222(,c )()(, )TAAcxAcxxcx Axc Ax xc x121212121212112212( (),()()()TATTAAxxA xxxxxxA xxx AxxAxxx16、设 A为非奇异矩阵，求证101minyAyyA。因为yAyAyyxAAxAxxAAyxAyxx00110101min1maxmaxmax1，所以得证101minyAyyA17、矩阵第一行乘以一数，成为211A，证明当23时，( )cond A有最小值。本题考查条件数的计算1()cond AAA首先计算A的逆阵精选

19、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11112A2|3 |2|3|3 |2A，当23，取得最小值为2112|A，当|取值越大，则最小值为2 从而11( )(2) max 3,2cond AAA，又当32时，72)223(2,3max)21()(Acond。当32时，7633)21(2,3max)21()(Acond。综上所述，7)(Acond时最小，这时32，即32。18、设989999100A，计算 A的条件数),2()(vAcondv由989999100A可知，1009999981A，从而1980119602196

20、0219405100999998100999998)()(11AAT，由013920619801196021960219405)()(211AAIT，19405196021960219801989999100989999100AAT，由0139206194051960219602198012AAIT，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页可得38427760819603212AA，从而3920638427760819603)(2212AAAcond。1991A，199A，从而39601199199)(1AAAcond

21、。19、证明：如果A是正交矩阵，则2(A)1cond若A 是 正 交 阵 ， 则TAA1， 从 而IAAT，IAAAAT111)(， 故1212AA，1)(2212AAAcond。20、设,n nA BR，且?为n nR上矩阵的算子范数，证明：()()()cond ABcond A cond B)()()()()(1111111BcondAcondBBAABAABABABABABABcond21、设Axb，其中A为非奇异矩阵，证明：（1）TA A为对称正定矩阵；（2）22()() )Tcond A Acond A2()()0TTx A A xAxAxb，所以TA A为对称正定矩阵。22max(

22、)() )min()TTA Acond AAA由于TA A为对称正定矩阵，所以TTA AAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页则12222222()()max() ()min()() )max() ()min()() )max()min()max()min()max()min()( ) )TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTcond A AA AA AA AA AA AA AAAA AAAA AA AA AAA AAA AAAA AAAcond A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页