2022年《数系的扩充与复数的概念》参考教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i ；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、 情感、态度与价值观： 理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。三、教学方法： 阅读理解，探析归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面解决实际问题的需要由于计数的需

2、要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数； 由于测量等需要产生了分数； 为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数 )解方程的需要 为了使方程40 x有解，就引进了负数， 数系扩充到了整数集；为了使方程320 x有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集引进无理数以后，我们已经能使方程2xa(0)a永远有解但是，这并没有彻底解决问题，当0a时，方程2xa在实数范围内无解为了使方程2xa(0)a有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数（可以以分解因式：44x为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？

3、（二） 、新课探析1、为了使方程2xa(0)a有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1的“ 新数” 开始为此，我们引入一个新数i，叫做虚名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载数单位（imaginaryunit） 并作如下规定：21i；实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时， 原有的加法、 乘法运算律仍然成立 在这种规定下，i可以与实数b相乘，再同实数a相加得i

4、 ba 由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成abi(,a bR)的形式2、复数概念及复数集C形如abi(,a bR)的数叫做复数。 全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C来表示，即, ,Cz zabi a bR显然有 N*NZQRC3、复数的有关概念： 1) 复数的表示：通常用字母z表示，即zabi(,a bR)，其中,a b分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：复数zabi(,a bR)， 当0b时，z就是实数a 复数zabi(,a bR)，当0b时，z叫做虚数。特别的，当0a，0b时，zbi叫做纯虚数4、复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一根据上述

5、原则，复数集的分类如下：5、两复数相等如果两个复数abi与cdi（, , ,a b c dR）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等即acabicdibd， （复数相等的充要条件） ，特别地：000aabib（复数为0的充要条件）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径6、两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两

6、个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小。7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。(三)、知识运用，能力提高1、例题： 例 1写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数144,23 ,0,52 ,623iiii解：144,23 ,0,52 ,623iiii的实部分别是14,2,0,5,02；虚部分别是40, 3,0,2,634,0是实数；1423 ,52 ,623iiii是虚数，其中6i是纯虚数例 2、实数m取什么值时，复数(1)(1)zm mmi是（1）实数？（

7、2）虚数？（ 3）纯虚数？分析：由mR可知1m，(1)m m都是实数，根据复数abi是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定m的值。解： （1）当10m，即1m时，复数z是实数； （2）当10m，即1m时，复数z是虚数； （3）当(1 )0m m，且10m，即0m时复数z是纯虚数。（变式引申）：已知mR，复数2(2)(21)1m mzmmim，当m为何值时：（1）zR； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数解： （1）当2210mm且10m，即12m时，z是实数；（2）当2210mm且10m，即12m且1m时，z是虚数；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

8、 - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（3）当(2)01m mm且2210mm，即0m或2时，z为纯虚数思考：0a是复数zabi为纯虚数的充分条件吗？答：不是，因为当0a且0b时，zabi才是纯虚数，所以0a是复数zabi为纯虚数的必要而非充分条件例 3、已知()(2 )(25)(3)xyxy ixxy i，求实数, x y的值解：根据两个复数相等的充要条件， 可得：2523xyxxyxy， 解得：32xy（变式引申）：已知1244aaii，求复数a解：设( ,

9、)axyix yR，则12()44xyixyi ii，(21)(2)44xyxy ii， 由复数相等的条件214,24,xyxy1,2,12xyai2练习： （1）已知复数223(56)()zkkkkikR，且0z，则k解：0z，则zR故虚部2560,(2)(3)0kkkk2k或3但3k时，0z，不合题意，故舍去，故2k四回顾小结：1、能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数；2、复数相等的充要条件。（三）小结： 复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。（四） 、巩固练习：1指出下列复数哪些是实数、 虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。23,84

10、,80 ,6, ,2921 ,7 ,03iiiiii名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2判断 两复数，若虚部都是 3，则实部大的那个复数较大。复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。3 若(32 )(5)172xyxy ii，则,x y的值是。4 已知i是虚数单位，复数2(1)(23 )4(2)Zmimii，当m取何实数时，z是：（1）实数（2） 虚数（3）纯虚数（4）零（五） 、课外练习：（六） 、课后作业：五、教后反思：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -