2022年有理数的乘除法 .pdf

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1、1.4 有理数的乘除法新知链接1、约分：利用分数的基本性质，把分子分母中的最大公约数约去，叫做约分。2、分数乘法法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分数乘分数，用分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。3、乘法运算律：乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表示为： ab=ba。乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。用字母表示为： abc=abc 。乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为：ab+c=ab+ac . 4、绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本

2、身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。目标导航 1、理解有理数的乘法法则，能熟练地进行有理数的乘法运算，并能运用乘法运算律简化计算。 2、会将有理数的除法转化成乘法，正确进行有理数除法的运算。3、会进行有理数的乘除混合运算。考点一：有理数的乘法必考考点深度解析1、有理数乘法法则有理数乘法法则： 1两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2任何数同0 相乘，都得0。【特别提醒】乘法法则中的“同号得正，异号得负”是专指两个数相乘。有理数乘法的运算步骤为两步：先确定积的符号，再确定积的绝对值。乘法算式中的第一个负因数可以不带括号，但是后面的负因数必须带括号，例如 40 5不能写成4

3、0 5。在进行乘法运算时，带分数要化成假分数，以便于约分。2、倒数的概念倒数的概念：乘积是1 的两个数互为倒数。0 没有倒数；假设a0，那么 a 的倒数是a1。即 a 与a1互为倒数。例如：3 与13，78与87互为倒数。【归纳拓展】假设 ab=1，则 a、b 互为倒数；假设ab=-1，则a、 b 互为负倒数 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页倒数是它本身的数是1；0 没有倒数。求带分数的倒数时，要先把带分数化成假分数；求一个小数的倒数要先把小数化为分数。检验所求倒数的正确性的方法：原数与其倒数符号相同，并且二者

4、乘积为1. 3、有理数乘法法则的推广几个不是0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数是奇数时，积是负数。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积就是0. 【典型例题】例题 1 从化月考计算：1 1013 0.1 6 ；2 356 145 0.25 ；3 5 8.1 0. 解析： 几个不是 0 的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分。几个数相乘，有一个因数为0，积就是 0. 解： 1 1013 0.1 6 =10131106 =2；2 356 145 0.25 =3569514 =

5、98；3 5 8.1 0. =0. 答案： 1 2； 298； 30. 4、有理数的乘法运算律有理数乘法的运算律：乘法的交换律：一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表示为： ab=ba。乘法的结合律：一般的，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。用字母表示为：abc=abc 。乘法的分配律：一般的，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为：ab+c=ab+ac . 【特别提醒】在用交换律交换因数的位置时，要连同符号一起交换。例如：1013 0.1 精选学习资料 - - - -

6、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页6=613 0.1 10 。利用分配律计算时，不要漏乘，不要弄错符号。例如：157+-26 1236=157-+-2612（ 36）（ 36）（ 36），不要写成157-+-2612（ 36）（ 36）。【典型例题】例题 2 汕头月考计算： 0.3 8133 ；2 157+-26 12 36 ；3 457 4 43；42092142. 解析：在做有理数的乘法时，要先观察算式的特点，灵活运用乘法的运算律，可以使复杂的问题简单化。 其中第 3 小题可以逆用乘法的分配律把已知算式变成4 5743 . 解： 0.3 8

7、1338133=101 =10；2 157+-26 12 36=157-+-2612（ 36）（ 36）（ 36） = 18 30 21 = 183021 = 27；3 457 4 43 = 4 57 43 = 4 100 = 400；42092142= 10121 42 = 104212142= 4202=418。答案： 1 10； 2 27； 3 400；4 418。考点二： 有理数的除法必考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页考点深度解析1、有理数除法法则有理数除法法则：法则除以一个不等于0 的数， 等于乘以这

8、个数的倒数。用字母表示为： ab=a1bb（0）。法则两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得 0。【方法点拨】如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则进行计算，先确定商的符号，再将两数的绝对值相除。如果被除数和除数都是整数且不能整除，或者被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则进行计算。【典型例题】例题 3 南阳期中计算：1123116 ；2 12112 100. 解析：在进行有理数的除法运算时，首先确定商的符号，然后将其绝对值相除；对于2 ，属于多个有理数相除，可以按照从左到右的顺序依次计算，也可以转化为乘法后计算。解： 1123116 =

9、7367 = 2；2 12112 100 = 12112100 = 144100 =1.44. 另解 2 ： 12112 100 = 12121100 =1.44. 答案： 1 2； 2 1.44. 2、有理数的乘除混合运算有理数的乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。【典型例题】例题 4 铜仁月考计算：1 35132114 3 ； 2112 313。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页解析： 进行乘除混合运算时，先将除法化成乘法，把算式化为连乘积的形式。再利用负因数的个数确定乘积的符号，

10、同时将小数化成分数，把带分数化为假分数进行计算。解： 1 35132114 3 =35724513 =35724513 =1425。2112 313 =321313 =321313 =16。答案： 11425；216。【易混辨识】有理数的乘除混合运算是同级运算，在运算过程中， 应按照从左到右的顺序逐一进行，但是部分同学经常会忘记这一点，错误地认为哪两个数比较容易计算就先算哪两个数，或错误的约分导致运算结果错误。例如： 计算112 313时，会出现如下错误：112 313=112313=112 1=112。因此在有理数的混合运算中，一定要注意运算顺序。分配律的运用使运算简便、准确，但是分配律对于

11、除法运算并不完全适用。例如：计算151513时，正确解答是：151513=153-515=15215=2252。此题不能使用分配律。但是当被除数是和的形式时，可以使用。例如：151315=15 151315=175145=2225。3、有理数的四则混合运算1、有理数的四则混合运算：是指有理数加减、乘除运算的综合运用。在运算时注意按照“先算乘除，再做加减”的顺序进行；如果有括号指出先做什么运算，则先做括号里面的运算。同级运算按照从左到右的顺序进行。2、计算器的使用不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应当按照计算器的使用说明进行。另外注意以下几点：计算器要放置平稳，以免按键时发生晃动

12、和滑动；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页计算开始时，要先按开启键ON；停止使用时，要注意按关闭键OFF；每次运算时，要按一下清零键ON；注意负数的输入方式。【典型例题】例题 5遵义月考计算：1 1512 2 ； 281313162713166361316；3115131231154。解析：有理数的加减乘除混合运算中，如果有括号，通常先算括号里面的；如果无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行；同级运算按照从左到右的顺序进行。解： 1 1512 2 =15 22 =19；281313162713166361316

13、 =8131362713 663613 6 =81313271363613 6 = 30 6 =180；3115131231154 =1151631145 =225。答案： 119； 2 180； 3225。教材答案详解课本第 30 页练习答案：1、 1 54； 2 24； 36；40；532；6112。2、解： 560=300元答：销售额降低了300 元。3、解：各数的倒数分别为：1； 1；3； 3；15；15；32；32。课本第 32 页练习答案：1、解：1 24； 2 120； 316；481. 2、解：1 5 8 7 0.25 = 57 80.25 =352=70. 精选学习资料 -

14、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页2 512812-1523（）=5128121523=227。3 15483-1522（） 0 （ 1）3=0. 课本第 33 页练习答案：解： 1 85 25 4= 85 254=8500. 2 91-10 15 30=9130-301015=27-2=25. 3 78 15117=7887 15=15. 4 652365173=6523173=65 5=6. 课本第 35 页练习答案：解： 1 3； 29； 31-9；4 0 ； 5 50； 63. 课本第 36 页练习答案：1、解：1 8； 2

15、23； 30. 2、解：145-11； 252； 36415。课本第 36 页练习答案：解：1 2 ； 2 16； 3 156；4 25. 课本第 37 页练习答案：解： 1 17 ； 2 6.68 ； 3 471；4 1816.354985. 课本第 37 页习题 1.4 答案：1、解：1 8 7=56； 2 12 0.2= 6.1 ；5100 1.25 =6. 2、解：129； 214； 31703； 437。3、解：1115； 295； 3 4；410017；5417；6527。4、解：1 9113=7； 2 56 14=4； 316 3=163； 4 48 16=3；545 1=45；

16、38=23。5、解：11-5 -4,6,5-6, 4.55， ，6、解：1-21=-37；231=-3612；3-5427=-84；4-6=20.-0.37、解： 123 4=234=24； 26 5 7=657=210；3 825 8=825854=165； 0.001 1=11010001=100；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页5 34112124= 343249=21；6 6 0.25 1114=6141114=3328； 7 7 56 0 13=0；8 9 11 3 3 =9111313= 11。8、解

17、：1 23 5 33128=11531283=115128=13；2 7 3 0.5 12 2.6 =730.5 12=10.5 31.2 = 20.7；3 3771-48 1278 +783771-48 12=777-48 1287+78724=72487 3=133。43221321 1-3 4 3 =32131123=49.129、解：1 36 128 74 0.25 940=23424.80 ； 5.315 0.49 ；4 180.65 32 15.5 81.97. 10、解：17500； 2 140； 3 200；4 120. 11、解： 450+20 6012120=210m 。答

18、：这时直升机所在高度是210m 。12、 1，2， 3，4=，= 13、解： 2，1， 2， 1. 一个非零有理数不一定小于它的2 倍，因为一个负数比它的2倍大。14、解： 2+3 a。15、解： 2， 2，2. 1 2均成立，从它们可以总结出：分子、分母以及分数这三者的符号，改变其中两个，分数的值不变。1.5 有理数的乘方新知链接 1 、平方、立方的定义：两个相同的因数相乘叫做这个数的平方。三个相同的因数相乘叫做这个数的立方。 2、小学已经学过的运算顺序：先算乘除，再做加减，同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。目标导航 1、理解乘方的意义，探

19、究有理数乘方的符号法则，会进行乘方的运算。 2、能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算。3、会用科学记数法表示绝对值大于10 的数，并能按要求取近似数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页考点一：有理数的乘方必考考点深度解析1、有理数的乘方求 n 个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。 一般地，naa a aa个记作na，读作 a 的 n 次方，当na看作是 a 的 n 次方的结果时，也可以读作a 的 n 次幂。在na中， a叫做底数， n 叫做指数。【特别提醒】一个数可以看做是这个数本身的一次方，例

20、如：3 就是13，a 就是1a，指数1 通常省略不写。乘方的意义：na=naa a aa个。 乘方与幂不同， 乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系一样。例如：43 =3333=81，这种运算叫做乘方，运算的结果81 叫做 3 的 4次幂。在书写乘方时，如果底数是负数或分数时，应将底数用括号括起来。例如： 3 3 3 = 33；32323232=423（）. 2、有理数乘方运算的性质有理数的乘方运算是利用有理数的乘法运算进行的，根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0。【特别提醒】先确定

21、幂的符号，然后再计算幂的绝对值。a2是重要的非负数，即a20；假设 a2+|b|=0 a=0,b=0 ；据规律2220.10.011110100可得：底数的小数点向右 左移动一位， 平方数的小数点向右 左移动两位 . 【典型例题】例题 1 滨州中考32等于A6B6 C 8 D8 解析：32表示32的相反数。na底数指数幂精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页解答：328答案： C练习： 威海月考改编计算：13-（ 4）； 24-2（）； 34-2； 432-3（）； 52014-1（）。解析： 有理数的乘方运算可以转化

22、为有理数的乘法运算，再按照有理数的乘法法则，求出结果。解： 13-（ 4）= -（ 4）-（ 4）-（ 4）=-64； 24-2（）=-2（）-2（）-2（）-2（）=16；34-2 =- 2 222=-16； 432-3（） =2-3（）2-3（）2-3（）=8-27；52014-1（）=-2014个（ 1）（ 1） （ 1） （1）（ 1）=1. 【易混辨识】注意4-2（）与4-2的区别，4-2（）表示 4 个-2 相乘，而4-2表示42的相反数，底数是2 而不是 -2，两者意义不同。3、有理数的混合运算考点深度解析做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1先乘方，再乘除，最后加减；2同

23、级运算，从左到右进行；3如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。【方法点拨】通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方以后会学到。运算顺序的规定是：先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按照从左到右的顺序计算。在进行有理数的混合运算时，除了遵守以上原则外，还要注意灵活运用运算律，使运算准确而便捷。【典型例题】例题 2 清远期中计算：1315-32- -2-21（）；22233321()2 () .4323（-3 ）解析：做有理数的混合运算时，应当按照运算顺序逐级进行计算，同时还可以使用运算律，使计算简便。解： 1

24、31532221（-）2 =315822（-2 ） =35+164精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页31=212044；2233321()2 ()4323（-3 ）=341(8)()498-27 =1156213824-27。答案： 11204； 252124。练习：珠海期中计算： 1222172( 3)( 6)()3； 2311( 3)30.4 ( 1 )( 2)2。解析：含有分数、小数的乘除混合运算，通常把小数化为分数，把带分数化为假分数。当把除法都化为乘积的形式时，应当先确定积的符号。含有多重括号时， 一般

25、应当由内向外，即依次去掉小括号、中括号、大括号，计算时严格按照运算顺序进行计算。解： 1222172( 3)( 6)()3 =4929( 6)9 =491854=85。2311( 3)30.4 ( 1 )( 2)2=2311273()()522=31127(3)()52=121127()52=6127+5（）=4245。答案： 1 85；24245。【方法点拨】做有理数的混合运算，严格按照运算顺序：先乘方，再乘除，最后做加减；同级运算，从左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。括号内的运算同样按照上述运算顺序进行。如果能使用运算律， 则可利用运算律使计算简

26、便。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页注意：不省过程，不跳步骤。考点二： 科学计数法必考考点深度解析把一个大于10 的数表示成a10n的形式其中a 是整数数位只有一位的数，即1|a|10，n 是正整数，使用的是科学记数法。例108106。【归纳拓展】科学计数法的形式10na中， a 和 n 确实定方法：将原数的小数点移到第一个不是0 的数字的后面即可得到a 的取值；确定n 的方法有以下两种： 一是数小数点移动的位数，小数点移动几位， n 就是几； 二是数原数的整数位数，原数的整数位数减1 就是 n 的值。用科学记

27、数法表示一个n 位整数，其中10 的指数是n1。【典型例题】例题 3 珠海中考经专家估算，整个南海属我国传统海疆线的油气资源约合15000 亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示15000 亿美元是 美元10410510121013解析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10， n为整数确定n的值是易错点，由于15000 亿有 13 位，所以可以确定n=131=121012答案： C练习 1： 泰安月考用科学计数法表示以下各数：201400000, 380000， 1606000，9600，98. 解析：用科学计数法表示数时，主要是按照标准形式10na找出

28、a 和 n 即可。解： 4810, 380000=3.8510， 1606000=610，9600=9.6310，98=9.8 10. 答案： 4810, 3.8510， 610， 9.6310， 9.810. 练习 2： 新乡月考改编以下用科学计数法表示的数，原数各是什么？1 104910610710. 解析：此题是对科学计数法的逆向运用。只看10 的指数是多少，就将小数点向右移动多少位。解： 1 104=15200910610710=20150000. 答案： 115200 ； 26450000000； 3 2506000；4 20150000. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页