2022年有理数运算-因式分解知识点总结 .pdf

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1、名师精编优秀资料期末复习第三次课一选择题（共6 小题）1下列说法不正确的是（）A0 既不是正数，也不是负数B绝对值最小的数是0 C绝对值等于自身的数只有0 和 1 D平方等于自身的数只有0 和 1 2设 y=| x1|+| x+1| ，则下面四个结论中正确的是（）Ay 没有最小值B只有一个x 使 y 取最小值C有限个x（不止一个） y 取最小值D有无穷多个x 使 y 取最小值3点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和 b对于以下结论：甲： ba0 乙： a+b0 丙： | a| | b|丁：0 其中正确的是（）A甲乙 B丙丁 C甲丙 D 乙丁4如图所示，a，b 是有理数，则式

2、子| a|+| b|+| a+b|+| ba| 化简的结果为（）A3a+b B3ab C3b+a D3b a 5数轴上 A、B、C 三点所代表的数分别是a、1、c，且| c1| | a1| =| ac| 若下列选项中，有一个表示A、B、C 三点在数轴上的位置关系，则此选项为（）ABC. D. 6现规定一种运算：ab=ab+ab，其中 a、b 为常数，若23+m1=6，则不等式m 的解集是（）Ax 2 Bx 1 Cx0 D x2 二填空题（共6 小题）7已知+=0，则的值为8若 | x|+ 3=| x3| ，则 x 的取值范围是9已知 | x| =4，| y| =2，且 xy0，则 xy 的值等

3、于10一件服装的标价为300 元，打八折销售后可获利60 元，则该件服装的成本价是元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师精编优秀资料11在甲处劳动的有27 人，在乙处劳动的有19 人，现在另调20 人去支援，使在甲处总人数为在乙处总人数的2 倍，则应调到甲处人三解答题（共8 小题）13有理数a、b、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“ ” 或“ ” 填空： b c0，a+b0， ca0（2）化简： | bc|+| a+b| | ca| 14去括号，合并同类项（1） 3（2s5）+6s；（2）3x 5x（x

4、4） ；（3）6a24ab 4（2a2+ab） ；（ 4） 3（2x2xy）+4（x2+xy6）15有理数a、b、c 在数轴上的位置如图，（1）判断正负，用“ ” 或“ ” 填空： cb0，a+b0，ac0（2）化简： | cb|+| a+b| | ac| 16化简（1）3（2x2 y2） 2（ 3y22x2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师精编优秀资料（2）2（3x2y+5xy2） 9x2y（ 6x2y+2xy2 12x2y）17世界读书日， 某书店举办 “ 书香 ” 图书展， 已知汉语成语大词典和中华上下

5、五千年两本书的标价总和为150 元， 汉语成语大词典按标价的50%出售，中华上下五千年按标价的60%出售，小明花80 元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元18某超市用6800 元购进 A、B 两种计算器共120 只，这两种计算器的进价、标价如表价格 类型A 型B 型进价（元 /只）30 70 标价（元 /只）50 100 （1）这两种计算器各购进多少只？（2）若 A 型计算器按标价的9 折出售， B 型计算器按标价的8 折出售，那么这批计算器全部售出后，超市共获利多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师精

6、编优秀资料19 （1）数学实验室：若点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，则 A、B 两点之间的距离表示为AB ，即 AB= | ab| 利用数轴回答下列问题： 数轴上表示2 和 5 两点之间的距离是， 数轴上表示x 和 2 的两点之间的距离表示为 若 x 表示一个有理数，且3x1，则 | x1|+| x+3| = 若 x 表示一个有理数，且| x1|+| x+3| 4，则有理数x 的取值范围（2）三个数a、b、c 的积为负数，和为正数，且x=+，则 ax3+bx2+cx5 的值是（3）定义一种对正整数n 的“ F 运算 ” ： 当 n 为奇数时，结果为3n+5； 当 n 为偶数时，结果为

7、（其中 k 是使为奇数的正整数） ，并且运算重复进行例如，取n=26，则：若 n=449，则第 2016 次“ F 运算 ” 的结果是20计算：（1） 3（ 4）+2；（2） （ 6） 2（） ；（3） （+）（ 24） ；（4） 147 2（ 3）2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师精编优秀资料薛富成期末前总结复习参考答案与试题解析一选择题（共6 小题）1 （ 2016 秋?马鞍山期中）下列说法不正确的是（）A0 既不是正数，也不是负数B绝对值最小的数是0 C绝对值等于自身的数只有0 和 1 D平方等于自身

8、的数只有0 和 1 【分析】 根据正负数的定义，绝对值的性质、平方的性质即可判断【解答】 解： A、B、D 均正确，绝对值等于它自身的数是所有非负数，所以C 错误，故选 C【点评】 本题考查了正负数的定义，绝对值的性质、平方的性质，熟练掌握性质是解答此题的关键2 （ 2009 秋?和平区校级期中）设y=| x1|+| x+1| ，则下面四个结论中正确的是（）Ay 没有最小值B只有一个x 使 y 取最小值C有限个x（不止一个） y 取最小值D有无穷多个x 使 y 取最小值【分析】 根据非负数的性质，分别讨论x 的取值范围，再判断y 的最值问题【解答】 解：由题意得：当x 1 时， y=x+1 1

9、x=2x；当 1x1 时， y= x+1+1+x=2；当 x1 时， y=x 1+1+x=2x；故由上得当 1x1 时， y 有最小值为2；故选 D【点评】 本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论3 （ 2016?河北）点A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和 b对于以下结论：甲： ba0 乙： a+b0 丙： | a| | b|丁：0 其中正确的是（）A甲乙 B丙丁 C甲丙 D 乙丁【分析】 根据有理数的加法法则判断两数的和、差及积的符号， 用两个负数比较大小的方法判断【解答】 解：甲：由数轴有，0a 3，b 3，ba0，精选学习资料 -

10、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师精编优秀资料甲的说法正确，乙： 0a3，b 3，a+b0 乙的说法错误，丙： 0a3，b 3，| a| | b| ，丙的说法正确，丁： 0a3，b 3，0，丁的说法错误故选 C 【点评】 此题考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是掌握有理数的运算4 （ 2016?大庆校级自主招生）如图所示，a，b 是有理数，则式子| a|+| b|+| a+b|+| ba| 化简的结果为（）A3a+b B3ab C3b+a D3b a 【分析】 由图知， 1a0，b1，根据正数的

11、绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案【解答】 解：由数轴得，1a0，b1，a+b0，ba0，| a|+| b|+| a+b|+| ba| = a+b+a+b+ba=3ba故选 D【点评】 本题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏， 体现了数形结合的优点本题中要注意根据点离原点距离的大小关系确定绝对值的大小，离原点距离越远的数绝对值越大5 （ 2016?邵阳校级模拟）数轴上A、B、C 三点所代表的数分别是a、 1、c，且 | c1| | a1| =| ac| 若下列选项中，有一个表示A、B、C 三点在数轴上的位置关系，则此选项为（

12、）ABCD【分析】 分别由四个选项的数轴上判断出a，c，1 的大小关系，然后化简，等式成立，故正确【解答】 解： A，由数轴得， 1 ac，左边 =| c1| | a 1| =c1a+1=ca，右边 =| ac| =ca，所以等式成立故A 正确；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师精编优秀资料B，由数轴得， 1 ca，左边 =| c1| | a1| =c1a+1=c a，右边 =| ac| =ac，所以等式不成立故B 错误；C、由数轴得，c 1a，左边 =| c1| | a1| =1ca+1=2c a，右边 =|

13、 ac| =ac，所以等式不成立故C 错误；D、由数轴得， ac1，左边 =| c1| | a 1| =1c1+a=ac，右边 =| ac| =ca，所以等式不成立故D 错误；故选 A【点评】 此题是绝对值题，主要考查绝对值的意义，分情况讨论是解本题的关键6 （2013?攀枝花模拟） 现规定一种运算： ab=ab+a b， 其中 a、 b 为常数，若 23+m1=6，则不等式m 的解集是（）Ax 2 Bx 1 Cx0 D x2 【分析】 先根据新定义得到23+23+m1+m1=6，解得 m=1，则不等式化为 1，然后通过去分母、移项可得到不等式的解集【解答】 解： 23+m1=6，23+23+

14、m1+m1=6，m=1，1，去分母得3x+2 2，移项得 3x0，系数化为1 得 x0故选 C【点评】 本题考查了解一元一次不等式：先去分母和括号，再移项、合并，然后把未知数的系数化为1 得到不等式的解集也考查了阅读理解能力二填空题（共6 小题）7 （ 2013?永州）已知+=0，则的值为1【分析】 先判断出a、b 异号，再根据绝对值的性质解答即可【解答】 解：+=0，a、b 异号，ab0，=1故答案为： 1【点评】 本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键8 （ 2002?常州）若 | x|+ 3=| x3| ，则 x 的取值范围是x0精选学习

15、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师精编优秀资料【分析】 根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x3，0 x3，x0 三种情况进行分析【解答】 解： 当 x3 时，原式可化为：x+3=x3，无解； 当 0 x3 时，原式可化为：x+3=3x，此时 x=0； 当 x0 时，原式可化为：x+3=3x，等式恒成立综上所述，则x0【点评】 此题主要是能够根据x 的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断9 （ 2009?鹤岗模拟）已知| x| =4， | y| =2，且 xy0，则 xy 的值等于6 或 6【分

16、析】 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0有理数的乘法法则：同号得正，异号得负【解答】 解： | x| =4，| y| =2，x=4， y=2又 xy0， x=4，y=2 或 x=4， y=2当 x=4，y=2 时，xy=4（ 2）=6，当 x=4，y=2 时，xy=42=6故答案为： 6 或 6【点评】 本题考查绝对值的性质：互为相反数的绝对值相等能够根据两个数的乘积的符号判断两个数的符号的关系10 （2016?龙东地区）一件服装的标价为300 元，打八折销售后可获利60 元，则该件服装的成本价是180元【分析】 设该件服装的成本价是x 元根据

17、 “ 利润 =标价折扣进价” 即可得出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】 解：设该件服装的成本价是x 元，依题意得： 300 x=60，解得： x=180该件服装的成本价是180 元故答案为： 180【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程300 x=60本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键11 （2016?道里区模拟）在甲处劳动的有27 人，在乙处劳动的有19 人，现在另调20 人去支援，使在甲处总人数为在乙处总人数的2 倍，则应调到甲处17人【分析】 设调到甲处x 人，则调到乙处20 x 人，根据在甲处总人数

18、为在乙处总人数的2倍可以列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】 解：设调到甲处x 人，则调到乙处20 x 人，根据已知得： 27+x=2（ 19+20 x） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师精编优秀资料解得： x=17故答案为： 17【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据在甲处总人数为在乙处总人数的 2 倍列出关于x 的一元一次方程本题属于基础题，难度不大，在解决该类型题目时，根据数量间的关系列对方程（或方程组）即可12 （2011?江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如

19、图所示，1+2=90度【分析】根据对顶角相等得到1=3， 2=4， 而三角形尺为直尺， 即可得到 1+2=90 【解答】 解：如图， 1=3， 2=4，而 3+4=90 ， 1+2=90 故答案为： 90【点评】 本题考查了对顶角的性质：对顶角相等三解答题（共8 小题）13 （2016 秋?东台市期中）有理数a、b、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“ ” 或“ ” 填空： b c0，a+b0，c a0（2）化简： | bc|+| a+b| | ca| 【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c 的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可【解答】 解： （1）由图

20、可知，a0， b0，c0 且| b| | a| | c| ，所以， bc0，a+b0，ca0；故答案为：，；（2）| bc|+| a+b| | ca|=（cb）+（ ab）（ ca）=cbabc+a =2b【点评】 本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c 的正负情况是解题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师精编优秀资料14 （2013 秋?滨湖区校级期末）去括号，合并同类项（1） 3（2s5）+6s；（2）3x 5x（x4） ；（3）6a24ab 4（2a2+ab） ；（4） 3（

21、2x2xy）+4（x2+xy6）【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可；（3）先去括号，再合并同类项即可；（4）先去括号，再合并同类项即可【解答】 解： （1） 3（2s 5）+6s =6s+15+6s =15；（2）3x 5x（x4）=3x 5xx+4=3x5x+x4 =x4；（3）6a24ab 4（2a2+ab）=6a2 4ab8a22ab =2a26ab；（4） 3（2x2xy）+4（x2+xy6）=6x2+3xy+4x2+4xy 24 =2x2+7xy24【点评】 此题考查了整式的运算，用到的知识点是去括号、合并同类项，在去括号时要注意

22、符号的变化和去括号的顺序15 （2016 秋?东台市期中）有理数a、b、c 在数轴上的位置如图，（1）判断正负，用“ ” 或“ ” 填空： cb0，a+b0，ac0（2）化简： | cb|+| a+b| | ac| 【分析】（1）根据数轴确定出a、b、c 的正负情况解答即可；（2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可【解答】 解： （1）由图可知，a0， b0，c0，且 | b| | a| | c| ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师精编优秀资料cb0，a+b0，a c0；故答案为：，；（2）原式 =

23、cb+ （ a+b） （ ac）=cbab+ac =2b【点评】 本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定出a、b、c 的正负情况和绝对值的大小是解题的关键16 （2016 秋?邹城市校级期中）化简（1）3（2x2 y2） 2（ 3y22x2）（2）2（3x2y+5xy2） 9x2y（ 6x2y+2xy2 12x2y）【分析】 根据整式的运算法则即可求出答案【解答】 解： （1）原式 =6x23y26y2+4x2=10 x2 9y2（2）原式 =6x2y+10 xy29x2y6x2y2xy2+12x2y=3x2y+8xy2【点评】 本题考查整式的加减，属于基础题型17 （201

24、6?海南）世界读书日，某书店举办“ 书香 ” 图书展，已知汉语成语大词典和中华上下五千年两本书的标价总和为150 元， 汉语成语大词典按标价的50%出售，中华上下五千年按标价的60%出售，小明花80 元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元【分析】 设汉语成语大词典的标价为x 元，则中华上下五千年的标价为（150 x）元根据 “ 购书价格 =汉语成语大词典的标价折率+中华上下五千年的标价折率”可列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】 解：设汉语成语大词典的标价为x 元，则中华上下五千年的标价为（150 x）元，依题意得： 50%x+60%（ 150 x）=80，解得： x=10

25、0，150100=50（元）答： 汉语成语大词典的标价为100 元， 中华上下五千年的标价为50 元【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x+60%（150 x）=80本题属于基础题， 难度不大， 解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组） 是关键18 （2013 秋?锡山区期末）某超市用6800 元购进 A、B 两种计算器共120 只，这两种计算器的进价、标价如表价格 类型A 型B 型进价（元 /只）30 70 标价（元 /只）50 100 （1）这两种计算器各购进多少只？（2）若 A 型计算器按标价的9 折出售， B 型计算器按标价的8 折出售，那么这批计算

26、器全部售出后，超市共获利多少元？【分析】 （1）设 A 种计算器购进x 台，则购进 B 种计算机 （120 x）台，根据总进价为6800元，列方程求解；（2）用总售价总进价即可求出获利精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师精编优秀资料【解答】 解： （1）设 A 种计算器购进x 台，则购进B 种计算机（ 120 x）台，由题意得： 30 x+70（120 x）=6800，解得： x=40，则 120 x=80，答：购进甲种计算器40 只，购进乙种计算器80 只；（2）总获利为： （ 5090%） 40+（1008

27、0%） 806800=1400，答：这批计算器全部售出后，超市共获利1400 元【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解19 （2016 秋?无锡校级月考） （1）数学实验室：若点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，则 A、B 两点之间的距离表示为AB ，即 AB= | ab| 利用数轴回答下列问题： 数轴上表示2 和 5 两点之间的距离是3， 数轴上表示x 和 2 的两点之间的距离表示为| x+2| 若 x 表示一个有理数，且3x1，则 | x1|+| x+3| =4 若 x 表示一个有理数，且| x 1|+| x+3| 4，

28、则有理数x 的取值范围x 3 或 x1（2）三个数a、b、c 的积为负数，和为正数，且x=+，则 ax3+bx2+cx5 的值是5（3）定义一种对正整数n 的“ F 运算 ” ： 当 n 为奇数时，结果为3n+5； 当 n 为偶数时，结果为（其中 k 是使为奇数的正整数） ，并且运算重复进行例如，取n=26，则：若 n=449，则第 2016 次“ F 运算 ” 的结果是1【分析】（1）在数轴上A、B 两点之间的距离AB= | ab| ，依此即可求解； 根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解； 由于 | x1|+| x+3| 4，可得有理数x 的取值范围是3 的左边， 1 的右边；（2

29、）由三个数a、b、c 的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、c 中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a0，b 0，c0，求 x 的值即可；（3）由于 n=449 是奇数，所以第一次利用 进行计算，得到结果1352，此时是偶数，利用 进行计算，除以8，才能成为奇数，然后再利用 计算得到结果是512，接着利用 除以 512 才能成为奇数，结果为1，再利用 结果为 8，以后结果就出现循环，利用这个规律即可求出结果【解答】 解： （1） 数轴上表示2 和 5 两点之间的距离是52=3； 数轴上表示x 和 2 的两点之间的距离表示为| x+2| ； 3

30、x1，| x1|+| x+3|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师精编优秀资料=x+1+x+3 =4； | x1|+| x+3| 4，有理数x 的取值范围x 3 或 x1；（2） abc0，a、b、c 中只有一个是负数，或三个都是负数；又 a+b+c0，a、b、c 中只有一个是负数不妨设 a0，b0，c0，则 ab0，ac0， bc0，x= 1+1+111+1=0，当 x=0 时，ax3+bx2+cx5=0+0+05=5；（3）第一次： 3 449+5=1352，第二次：，根据题意k=3 时结果为169；第三次

31、： 3 169+5=512，第四次：因为512 是 2 的 9 次方，所以k=9，计算结果是1；第五次： 1 3+5=8；第六次：，因为 8 是 2 的 3 次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8 和 1 循环因为 2016 是偶数，所以第2016 次 “ F 运算 ” 结果是 1故答案为： 3；| x+2| ；4； x 3 或 x1； 5；1【点评】 此题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键 注意分类思想的运用同时考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （2016 秋?南京期中）计算：（1） 3（ 4）+2；（2） （

32、6） 2（） ；（3） （+）（ 24） ；（4） 147 2（ 3）2 【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式从左到右依次计算即可得到结果；（3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（4）原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可得到结果【解答】 解： （1）原式 = 3+4+2=3；（2）原式 =6=；（3）原式 =1220+14=6；（4）原式 =17（ 7）=1+1=0【点评】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师精编优秀资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页