2022年“费马点”与中考试题 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载“费马点”与中考试题费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一费马点 就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点费尔马的结论：对于一个各角不超过120 的三角形，费马点是对各边的张角都是120 的点，对于有一个角超过120 的三角形，费马点就是这个内角的顶点下面简单说明如何找点P 使它到ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？这就是所谓的费尔马问题图 1 解析 ：如图 1，把 APC 绕 A 点逆时针旋转60 得到 APC，连接 PP 则 APP为等边三角形，AP= PP，PC=PC，所以 PA+PB+PC= PP + PB+ P C 点

2、 C可看成是线段AC 绕 A 点逆时针旋转60 而得的定点，BC 为定长，所以当 B、P、P、C 四点在同一直线上时， PA+PB+PC 最小这时 BPA=180 -APP =180 -60 =120 ，APC=A PC =180 -APP=180 -60 =120 ，BPC=360 -BPA-APC=360 -120 -120 =120因此，当ABC的每一个内角都小于120 时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120 ，可在 AB、BC 边上分别作 120 的弓形弧， 两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120 时，所求的 P 点就是钝角的顶点费尔马问题告诉我们，存在这么一

3、个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考例 1 （20XX年广东中考题）已知正方形ABCD 内一动点E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长图 2图 3分析 ：连接 AC，发现点 E 到 A、B、C 三点的距离之和就是到ABC三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -

4、优秀学习资料欢迎下载的变形，只是背景不同解如图 2，连接 AC，把 AEC 绕点 C 顺时针旋转60 ，得到 GFC，连接 EF、BG、AG，可知 EFC、 AGC都是等边三角形，则EF=CE又 FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG（图 4） 点 B、点 G 为定点（ G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转60 所得） 线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值，此时E、F 两点都在BG 上（图 3） 设正方形的边长为a，那么BO=CO=22a，GC=2a, GO=62a BG=BO +GO =22a+62a 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为262

5、2a+62a=26，解得a=2注本题旋转 AEB、 BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试例 2 （20XX年北京中考题）如图4，在平面直角坐标系xOy中， ABC 三个顶点的坐标分别为6,0A，6,0B，0,4 3C，延长 AC 到点 D, 使 CD=12AC,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点E. （1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF、EF，若过 B 点的直线ykxb将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点P从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G 点

6、，再沿 GA 到达 A 点，若P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2 倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短分析和解 ： （1）D 点的坐标（ 3，6 3） （过程略）（2） 直线 BM 的解析式为36 3yx（过程略）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载yxEDCBAOyxODMFECBA图 4 （3）如何确定点G 的位置是本题

7、的难点也是关健所在设Q 点为 y 轴上一点， P 在 y 轴上运动的速度为v，则 P沿 MQA 运动的时间为2MQAQvv，使 P 点到达 A 点所用的时间最短，就是12MQAQ 最小， 或 MQ2AQ 最小解法 1 BQ=AQ，MQ2AQ 最小就是MQAQBQ 最小，就是在直线MO 上找点 G 使他到 A、B、M三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换把 MQB 绕点 B 顺时针旋转60，得到 M Q B，连接 QQ、MM （图 5） ，可知 QQ B、MM B 都是等边三角形，则 QQ=BQ又 M Q =MQ，MQAQBQ= M

8、 Q+ QQ +AQ点 A、M为定点，所以当Q、Q两点在线段A M 上时， MQAQBQ 最小由条件可证明Q点总在 AM 上，所以 A M与 OM 的交点就是所要的G 点（图 6） 可证 OG=12MG图 5 图 6 图 7解法 2 考虑12MQAQ 最小，过Q 作 BM 的垂线交BM 于 K，由 OB=6，OM=6 3，可得 BMO 30 ，所以 QK12MQ要使12MQAQ 最小，只需使 AQQK 最小， 根据“垂线段最短” ， 可推出当点A、 Q、 K 在一条直线上时， AQ+QK最小，并且此时的QK 垂直于 BM，此时的点Q 即为所求的点G（图 7） 过 A 点作 AHBM 于 H,

9、则 AH 与 y 轴的交点为所求的G 点.由 OB=6，OM=6 3，可得OBM=60 ，BAH=30名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载在 RtOAG 中， OG=AOtanBAH=2 3G 点的坐标为（ 0，2 3） （G 点为线段OC 的中点）例 3 （20XX 年湖州中考题）若点P 为 ABC 所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120 , 则点 P 叫做ABC 的

10、费马点（1） 若 P 为锐角 ABC 的费马点，且ABC=60 ，PA=3，PC=4, 则 PB 的值为；（2）如图 8，在锐角 ABC 的外侧作等边ACB，连结 BB求证：BB 过 ABC 的费马点P，且 BB=PA+PB+PC图 8 解： （1）利用相似三角形可求PB 的值为2 3（2）设点 P 为锐角 ABC 的费马点，即 APB=BPC=CPA=120如图 8，把 ACP 绕点 C 顺时针旋转60 到 B CE，连结 PE，则 EPC 为正三角形 B EC = APC =120 ， PEC=60 B EC+PEC=180即 P、E、B 三点在同一直线上 BPC=120 ,CPE=60

11、， BPC +CPE =180 ，即 B、P、E 三点在同一直线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即BB 过 ABC 的费马点P又 PE=PC，B E= PA， BB=E B +PB+PE=PA+PB+PC注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60或 90的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -