2022年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载中国教育学会中学数学教学专业委员会“ 数学周报杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分15 610 11 12 13 14 得分评卷人复查人答题时注意： 1用圆珠笔或钢笔作答 .2解答书写时不要超过装订线.3草稿纸不上交 . 一、选择题（共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0 分）1已知实数 xy， 满足42424233yyxx，则444yx的值为（） （A）7 （B）1132（C）7132（D）5 2把一枚六个面

2、编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数2yxmxn的图象与 x轴有两个不同交点的概率是（） （A）512（B）49（C）1736（D）123有两个同心圆，大圆周上有4 个不同的点，小圆周上有2 个不同的点，则这 6 个点可确定的不同直线最少有( )（A）6 条（B） 8条（C）10 条（D）12 条4已知AB是半径为 1 的圆O的一条弦，且1ABa以AB为一边在圆O内作正 ABC，点 D 为圆 O上不同于点 A 的一点，且 DBABa， DC 的延长线交圆 O 于点 E ，则 AE 的长为（） （A）52a（B）1

3、 （C）32（D）a 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（第 8 题）5将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（） （A）2 种（B）3 种（C）4 种（D）5 种二、填空题（共 5 小题，每小题6 分，满分 30 分）6对于实数 u，v，定义一种运算“ *”为： uvuvv

4、若关于 x 的方程1()4xax有 两 个 不 同的 实 数 根 ， 则满 足 条 件 的实 数a 的 取 值 范 围是7小王沿街匀速行走， 发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆18 路公交车， 每隔3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车假设每辆18 路公交车行驶速度相同，而且18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟8如图，在 ABC中，AB=7，AC=11，点 M 是BC 的中点， AD 是BAC 的平分线， MFAD，则FC 的长为9ABC 中，AB7，BC8，CA9，过ABC 的内切圆圆心 I 作 DEBC，分别与 AB，AC 相交于点 D，E，则 DE的长为10 关于

5、 x， y 的方程22208()xyxy的所有正整数解为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三、解答题（共 4 题，每题 15 分，满分 60 分）11.在直角坐标系 xOy 中，一次函数bkxy0k（） 的图象与x轴、 y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，且使得 OAB 的面积值等于3OAOB（1） 用 b 表示 k；（2） 求ABC 面积的最小值名师归纳总结 精品学习资料 -

6、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12.是否存在质数 p，q，使得关于 x 的一元二次方程20pxqxp有有理数根？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载13.如图， ABC 的三边长 BCaCAb

7、ABc，abc， ， 都是整数，且ab，的 最大 公 约 数 为 2 点 G 和 点 I 分 别 为 ABC 的 重 心 和 内 心 ， 且90GIC求 ABC 的周长（第 13 题）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载14.从 1，2，9 中任取 n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被 10 整除，求 n 的最小值名师归纳总结 精品学习资料 -

8、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载中国教育学会中学数学教学专业委员会“ 数学周报 杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案题号一二三总分15 610 11 12 13 14 得分评卷人复查人答题时注意： 1用圆珠笔或钢笔作答 .2解答书写时不要超过装订线.3草稿纸不上交 . 一、选择题（共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选

9、项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0 分）1已知实数 xy， 满足42424233yyxx，则444yx的值为（） （A）7 （B）1132（C）7132（D）5 【答】 （A）解：因为20 x，2y0，由已知条件得212444311384x，2114 311322y，所以444yx22233yx2226yx72把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数2yxmxn的图象与 x轴有两个不同交点的概率是（） （A）512（B）49（C）1736（D）12名师归纳总结 精品

10、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（第 3 题）【答】 （C）解：基本事件总数有 6 636，即可以得到 36 个二次函数 . 由题意知24mn0，即2m4n. 通过枚举知，满足条件的mn，有 17对. 故1736P. 3有两个同心圆，大圆周上有4 个不同的点，小圆周上有2 个不同的点，则这 6 个点可以确定的不同直线最少有( )（A）6 条（B） 8条（C）10 条（D）12 条【答】 （B）解

11、：如图，大圆周上有 4 个不同的点 A，B，C，D，两两连线可以确定6 条不同的直线；小圆周上的两个点 E，F 中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线 AC 与 BD 的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D 的两两连线从而这 6 个点可以确定的直线不少于8 条当这 6 个点如图所示放置时，恰好可以确定8 条直线所以，满足条件的6 个点可以确定的直线最少有8 条4已知 AB 是半径为 1 的圆 O的一条弦，且1ABa以 AB 为一边在圆 O内作正 ABC，点 D 为圆 O上不同于点 A 的一点，且 DBABa， DC 的延长线交圆 O 于点 E ，则 AE 的长为

12、（） （A）52a（B）1 （C）32（D）a 【答】 （B）解： 如图，连接 OE， OA， OB 设D，则120ECAEAC 又因为1160180222ABOABD120，所以ACEABO，于是1AEOA（第 4 题）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那

13、么满足要求的排法有（） （A）2 种（B）3 种（C）4 种（D）5 种【答】 （D）解：设12345aaaaa，是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列首先，对于1234aaaa，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果ia（1i3）是偶数，1ia是奇数，则2ia是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以12345aaaaa，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5 种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1二、填空题（共 5 小题，每小题6

14、分，满分 30 分）6对于实数 u，v，定义一种运算“ *”为： uvuvv 若关于 x 的方程1()4xax有 两 个 不 同的 实 数 根 ， 则满 足 条 件 的实 数a 的 取 值 范 围是【答】0a，或1a解： 由1()4xax，得21(1)(1)04axax，依题意有210(1)(1)0aaa，解得，0a，或1a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载7小王沿街匀速行走，

15、发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆18 路公交车， 每隔3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车假设每辆18 路公交车行驶速度相同，而且18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟【答】 4解：设 18 路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米每隔 6 分钟从背后开过一辆18 路公交车，则syx66每隔 3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车，则syx33由，可得xs4 ，所以4xs即 18 路公交车总站发车间隔的时间是4 分钟8如图，在 ABC中，AB=7，AC=11，点 M 是 BC 的中点，AD 是 BAC 的平分线， MFAD，则

16、 FC 的长为【答】 9解：如图，设点 N 是 AC 的中点，连接 MN，则 MNAB又/MFAD ，所以FMNBADDACMFN，所以12FNMNAB因此1122FCFNNCABAC99ABC 中，AB7，BC8，CA9，过 ABC 的内切圆圆心 I 作 DEBC，分别与 AB，AC 相交于点 D，E，则 DE 的长为【答】163解：如图，设 ABC 的三边长为 a，b，c，内切圆 I 的半径为 r，BC 边上的（第 8 题）（第 8 题答案）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

17、- - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载高为ah，则11()22aABCahSabc r，所以arahabc因为 ADE ABC，所以它们对应线段成比例，因此aahrDEhBC，所以(1)( 1)aaahrraDEaaahhabc()a bcabc，故8791 68793DE（）10 关于 x， y 的方程22208()xyxy的所有正整数解为【答】481603232.xxyy，解：因为 208 是 4 的倍数，偶数的平方数除以4 所得的余数为 0，奇数的平方数除以 4 所得的余数为 1，所以 x，y 都是偶数设2 ,2xa yb

18、，则22104()abab，同上可知， a，b 都是偶数设2 ,2ac bd，则2252()cdcd，所以， c，d 都是偶数设2 ,2cs dt，则2226()stst，于是22(13)(13)st22 13，（第 9 题答案）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载其中 s，t 都是偶数所以222(13)2 13(13)st2222 131511所以13s可能为 1，3，5，7，

19、9，进而2(13)t为 337，329，313，289，257，故只能是2(13)t289，从而13s7于是62044sstt，；，因此4 81 603 23 2 .xxyy，三、解答题（共 4 题，每题 15 分，满分 60 分）11在直角坐标系xOy 中，一次函数bkxy0k（） 的图象与x轴、 y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，且使得 OAB的面积值等于3OAOB（3） 用 b 表示 k；（4） 求OAB 面积的最小值解： （1）令0 x，得0ybb，；令0y，得00bxkk，所以 A，B 两点的坐标分别为0)(0)bABbk（， ， ，于是， OAB 的面积为)(21kbbS由题意，

20、有3)(21bkbkbb，解得)3(222bbbk，2b 5 分（2）由（ 1）知21(3)(2)7(2)10()222bb bbbSbkbb2101027(2)72 1022bbbb1027，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当且仅当1022bb时，有7+210S，即当102b，1k时，不等式中的等号成立所以， OAB面积的最小值为1027 15 分12是否存在质数 p，q，

21、使得关于 x 的一元二次方程20pxqxp有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数令2224qpn，其中 n 是一个非负整数则2()()4qnqnp 5 分由于 1 qn q+n，且qn 与 qn 同奇偶，故同为偶数因此，有如下几种可能情形：222qnqnp，24qnqnp，4qnpqnp，22qnpqnp，24.qnpqn，消去 n，解得22251222222pppqpqqqpq， 10 分对于第 1，3 种情形，2p，从而 q5；对于第 2，5 种情形，2p，从而 q4（不合题意，舍去）；对于第 4 种情形， q 是合数（不合题意，舍去） 又当2p，q5 时，方程为22520 x

22、x，它的根为12122xx，它们都是有理数综上所述，存在满足题设的质数 15 分13 如 图 ， ABC 的 三 边 长B CaC AbA B， abc， ， 都是整数，（第 13 题）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载且 ab，的最 大公约 数为 2 点 G 和点 I 分别 为 ABC 的重心和内心， 且90GIC求 ABC 的周长解：如图，延长 GI ，与边 BCCA，分别

23、交于点PQ， 设重心 G 在边 BCCA，上的投影分别为 EF， ABC的内切圆的半径为r， BCCA，边上的高的长分别为abhh，易知 CPCQ，由PQCGPCGQCSSS，可得123abrGEGFhh，即222123A B CA B CA B CSSSabcab，从而可得6ababcab 10 分因为 ABC的重心G 和内心 I 不重合，所以，ABC 不是正三角形，且ba，否则，2ab，可得2c，矛盾不妨假设ab ，由于2ab，设1111221aabbab， ，于是有1 111126a bababab为整数，所以有11() 12ab，即 () 24ab于是只有1410ab，时，可得11c，

24、满足条件因此有35abc所以， ABC 的周长为 35 15 分14从 1，2，9 中任取 n 个数，其中一定可以找到若干个数 （至少一个，也可以是全部），它们的和能被 10 整除，求 n 的最小值解：当 n4 时，数 1，3，5，8 中没有若干个数的和能被10 整除 5 分当 n5 时，设125aaa， ，是 1，2， 9 中的 5 个不同的数若其中任意若干个数，它们的和都不能被10 整除，则125aaa， ，中不可能同时出现1（第 13 题答案）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

25、- - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载和 9；2 和 8；3 和 7；4 和 6于是125aaa， ，中必定有一个数是 5若125aaa， ，中含 1，则不含 9于是不含 4（41510） ，故含 6；于是不含 3（36110） ，故含 7；于是不含 2（21710） ，故含 8但是 57820是 10的倍数，矛盾若125aaa， ，中含 9，则不含 1于是不含 6（69520） ，故含 4；于是不含 7（74920） ，故含 3；于是不含 8（89310） ，故含 2但是 53210是 10的倍数，矛盾综上所述， n的最小值为 5 15 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -