2022年有关数列题的解题技巧 .pdf

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1、龙文教育一对一个性化教案教导处签字：日期：年月日课后一、学生对于本次课的评价 特别满意 满意 一般 差学生姓名陈旺教师姓名刘小虎授课日期2012-3-18 授课时段13：00-15:00 课题有关数列题的解题技巧考点分析1求数列的通项公式和数列求和2等差数列和等比数列的综合应用3等差数列和等比数列通项公式和求和性质的应用教学步骤及教学内容一、授课方法：讲练结合二、授课：归纳知识点知识点 1：知识整合知识点 2：方法技巧知识点 3：注意事项知识点 4：例题解析三、综合训练（主要是针对本节课学生学习内容进行综合训练，考查学生的综合应用能力）四、课堂小结与反思（总结的时间安排是15 分钟）精选学习资

2、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页评价二、教师评定1、学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、 学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差作业布置教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日有关数列题的解题技巧教学目标: 1.复习回顾数列的有关内容，进一步加深对数列通项公式和求和的理解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页2.通过讲和练熟练解答数列题型的解题步骤和方法技巧教学重难点 : 1. 加深对数列通项公式和求和的理解2. 熟练解答数列题型的解

3、题步骤和方法技巧数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列， 等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来， 试题也常把等差数列、等比数列， 求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、 分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来， 高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求

4、和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 （3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。内容讲解：知识点 1：知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方

5、法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法知识点 2：方法技巧1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1) 定义法：对于n2 的任意自然数, 验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。(2) 通项公式法：若 = +（n-1 ）d= +（n-k ）d ，则na为等差数列；若，则na为等比数列。(3) 中项公式法：

6、验证中项公式成立。2. 在等差数列na中 , 有关nS的最值问题常用邻项变号法求解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页(1) 当1a0,d0 时，满足100mmaa的项数 m使得mS取最大值 . (2) 当1a0 时，满足100mmaa的项数 m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。知识点 3:注意事项1证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa或11nnnnaaaa而得。2在解决等差数列或等

7、比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意ns与na之间关系的转化。如：na=1100nnSSS21nn，na=nkkkaaa211)(4数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略知识点 4：例题解析例 1已知数列 an 是公差 d0 的等差数列，其前n 项和为 Sn

8、(2) 过点 Q1(1 ，a1) ，Q2(2，a2) 作直线 12，设 l1与 l2的夹角为 ，证明： (1) 因为等差数列 an 的公差 d0，所以Kp1pk是常数 (k=2 ，3， n) (2) 直线 l2的方程为y-a1=d(x-1) ，直线 l2的斜率为d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页例 2已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，设数列), 2, 1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；设数列),2, 1( ,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；求数列n

9、a的通项公式及前n项和。分析：由于 bn 和cn中的项都和 an 中的项有关， an中又有 S1n=4an+2，可由 S2n-S1n作切入点探索解题的途径解： (1) 由 S1n=4a2n，S2n=4a1n+2，两式相减，得S2n-S1n=4(a1n-an) ，即 a2n=4a1n-4an( 根据 bn的构造，如何把该式表示成b1n与 bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a2n-2a1n=2(a1n-2an) ，又 bn=a1n-2an，所以 b1n=2bn已知 S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得 a2=5，b1=a2-2a1=3 由和得，数列bn 是首

10、项为3，公比为2 的等比数列，故bn=321n当 n2 时， Sn=4a1n+2=21n(3n-4)+2 ；当 n=1 时， S1=a1=1 也适合上式综上可知，所求的求和公式为Sn=21n(3n-4)+2 说明： 1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用例 3 （04 年浙江） 设数列 an的前项的和Sn=31（an-1） (nN+), （ 1）求a1;a2; (2) 求证数列 an为等比数列。解:

11、 ( ) 由) 1(3111aS, 得) 1(3111aa1a21又) 1(3122aS, 即)1(31221aaa, 得412a. ( ) 当n1 时,),1(31) 1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项21, 公比为21的等比数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页例 4、（04 年重庆）设a1=1,a2=35,an+2=35an+1-32an(n=1,2,-),令bn=an+1-an(n=1,2-)求数列 bn的通项公式，(2) 求数列 nan的前n项的和Sn。解： （I ）因1

12、21nnnaab1115222()3333nnnnnnaaaaab故 bn 是公比为32的等比数列，且故,32121aab),2, 1()32(nbnn（II ）由得nnnnaab)32(1)()()(121111aaaaaaaannnnn)32(1232)32()32()32(21nnn注意到, 11a可得),2, 1(3231nannn记数列3211nnn的前n项和为Tn，则1222222212(),2 ()( )333333nnnnTnTn2112222221()( )( )31( ) ( ) ,3333333nnnnnTnn两式相减得1112122(3)291 () 3 ( )9333

13、3(3)223(12)2(1)1823nnnnnnnnnnnTnnSaananTn n故从而例 5在直角坐标平面上有一点列),(,),(),(222111nnnyxPyxPyxP，对一切正整数n，点nP位于函数4133xy的图象上，且nP的横坐标构成以25为首项，1为公差的等差数列nx。求点nP的坐标；设抛物线列,321ncccc中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线nc的顶点为nP，且过点)1, 0(2nDn，记与抛物线nc相切于nD的直线的斜率为nk，求：nnkkkkkk13221111。设1,4|,1,2|nyyyTnNnxxxSnn， 等差数列na的任一项TSan， 其中1a是T

14、S中的最大数，12526510a，求na的通项公式。解： （1）23)1()1(25nnxn1353533,(, 3)4424nnnyxnPnn（ 2）nc的对称轴垂直于x轴，且顶点为nP.设nc的方程为：,4512)232(2nnxay把)1, 0(2nDn代入上式，得1a，nc的方程为：1)32(22nxnxy。32|0nykxn，)321121(21)32)(12(111nnnnkknn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页nnkkkkkk13221111)321121()9171()7151(21nn=64110

15、1)32151(21nn（ 3） 1,),32(|nNnnxxS， 1,),512(|nNnnyyT 1, 3) 16(2|nNnnyy,STTT 中最大数171a. 设na公差为d，则)125,265(91710da，由此得).(247,24),(12,129248*NnnadNmmdTadnn又说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1） 、 （2）两问运用几何知识算出nk，解决（ 3）的关键在于算出ST及求数列na的公差。综合训练 : （一）用基本量方法解题1、 （04 年浙江）已知等差数列的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= （B ）A 4 B 6 C 8 D 10

16、 （二）用赋值法解题2、 （96 年）等差数列 an 的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（ C ）A 130 B 170 C 210 D 2603、 （01 年）设 an 是公比为q的等比数列，Sn是an 的前n项和 , 若Sn是等差数列，则q=_1_ 4、设数列 an 的前项的和Sn=2)13(1na（对于所有n1） ，且a4=54, 则a1=_2_（三）用整体化方法解题5、 （00 年）已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0, 则有（ C ） A a1+a1010 B a2+a1000,Sn是an的前n项和，Sn取得最大值， 则n=_9_. 10、

17、（01 年上海）已知数列an 中an=2n-7,(nN+),1a+2a+-+15a=_153_ （五）用递推方法解题11、 （03 年全国）设 an是首项为1 的正项数列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0, 求它的通项公式是_1/n12 、（ 04年 全 国 ） 已 知 数 列 an 满 足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1(n1),则 an 的 通 项an=_a1=1;an=2! nn2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页课堂小结与反思：(1) 数列解题中， 首要的是对数列通项公式和数列求和公式的理解和掌握，以及对数列有关性质的理解和综合应用，解答数列问题的思路便是立足于基础，结合其他的数学思想综合解题(2) 对于解答数列问题的方法技巧，需注意在题中上问的结论是否可以作为下文的条件应用于解题，其次便是在平时的例题训练中总结各种方法和各种方法的异同之处，能够做到对方法的充分理解和融会贯通。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页