2022年《概率论与数理统计》习题及答案第三章 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载概率论与数理统计习题及答案第三章1掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(01)p，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。解()Xk表示事件： 前1k次出现正面， 第k次出现反面， 或前1k次出现反面，第k次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.kkP Xkppppk2袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。解从ab个球中任取r个球共有rabC种取法，r个球中有k个黑球的取法有krkbaC C，所以X的分布列为()krkbara bC CP XkC，max(0,), max(0,) 1,min( , )

2、krarab r，此乃因为，如果ra，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即0k；如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从ra开始。3一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1ipii，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布列。解设iA第i个零件是合格品1,2,3i。则1231 1 11(0)()2 3 424P XP A A A，123123123(1)()P XP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A1 1 11 2 11 1 362 3 42 3 42 3 424，123

3、123123(2 )()PXP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A1 2 11 1 31 2 3112 3 42 3 42 3 424，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1231 2 36(3)()2 3 424P XP A A A. 即X的分布列为01231611624242424XP. 4一汽车沿一街道行

4、驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。解(0)P XP(第一个路口即为红灯)12, (1)P XP(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)1 112 24，依此类推，得X的分布列为012311112488XP. 5将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故1( ,)2XB n，X的分布列为1()2nknP XkC0 , 1,kn6一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4 的泊松

5、分布，求（1）每分钟恰有8 次呼叫的概率； （2）每分钟的呼叫次数大于10 的概率。解设X为每分钟接到的呼叫次数，则(4)XP（1）84448444(8)0.29778!kkkkqP Xeeekk（2）4114(10)0.00284.!kkP Xek7某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5 的泊松分布，问在月初至名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载少库存多少此种商品，才能保证

6、当月不脱销的概率为0.99977 以上。解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意51150.99977()1()1()1!kKNKNP XNP XNP XKek即5150. 0 0 0 2 3!KKNek查泊松分布表知115N，故月初要库存14 件以上，才能保证当月不脱销的概率在 0.99977 以上。8已知离散型随机变量X的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P XP X，(3)0.5P X，试写出X的分布函数。解X的分布列为1230.20.30.5XP所以X的分布函数为0 ,1,0.2,12,( )0.5,23,1 ,3.xxF xxx9设随机变量X的概率密度为sin ,0,( )0,c

7、xxf x其他.求： （1）常数C； （2）使()()P XaP Xa成立的a. 解（1）001( )sincos2f x dxcxdxcxc，12c；（2）1111()sincoscos2222aaP Xaxdxxa，001111()sincoscos ,2222aaP Xaxdxxa可见cos0a，2a。10设随机变量X的分布函数为( )arctanF xABx，x，求： （1）系数A与B； （ 2）( 11)PX； （ 3）X的概率密度。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

8、 - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解（1）由分布函数的性质0()21()2FABFAB于是12A，1B，所以X的分布函数为11( )arctan2F xxx，（2）11111( 11)(1)( 1)()24242PXFF；（3）X的概率密度为21( )( )(1)f xFxx，x. 11已知随机变量X的概率密度为| |1( )2xf xe，x. 求X的分布函数 . 解001,0,2( )( )11,0,22xuxxxue duxF xf u due dxe dux1,0,211,0.2xxexex12设随机变量X的概率密度为

9、,01,( )2,12,0,xxf xxx其他.求X的分布函数 . 解( )f x的图形为X的分布函数为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载( )( )xF xf u du01010,0,01,(2),12,1,2.xxxuduxxdxu duxx220,0,01,221,12,21,2.xxxxxxx13设电子管寿命X的概率密度为2100,100,( )0,100.xxf x

10、x若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150 小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率； （2）在使用的最初150 小时内烧坏的电子管数Y的分布列； （3）Y的分布函数。解Y为在使用的最初150 小时内烧坏的电子管数，(3,)YBp，其中15021001001(150)3pP Xdxx，（1）所求概率为2323121(2)(2)(3)333P YP YP YC727；（2）Y的分布列为3312()33kkkP YkC，0,1,2,3,k即01238126127272727YP. 0 1 2 x (1，1) f(x) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

11、- - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（3）Y的分布函数为0 ,0,8,012720( ),12,2726,23,271 ,3.xxF xxxx14设随机变量X的概率密度为2 ,01,( )0 ,.xxf x其他现对X进行n次独立重复观测，以nV表示观测值不大于0.1 的观测次数，试求随机变量nV的概率分布。解(,)nVB n p，其中0.10(0.1)20.01pP Xxdx，所以nV的概率分布列为()( 0. 0 1)( 0. 9 9 ),0

12、 , 1kknknnP VkCkn. 15设随机变量1, 6XU，求方程210 xXx有实根的概率 . 解设A方程有实根 ，则A发生240X即|2X，因1,6XU，所以A发生2,X所以624( )(2)0.86 15P AP X. 16设随机变量2,5XU，现对X进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于3 的概率 . 解设Y为三次观测中，观测值大于3 的观测次数，则(3,)YBp，其中532(3)523pP X，所求概率为232321220(2)(2)(3)33327P YP YP YC. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

13、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载17设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分） ，服从参数为15的指数分布。 若等待时间超过10 分钟， 则他就离开。 设他一个月内要来银行5 次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及(1)P Y。解由题意(5,)YBp，其中25510101(10)5xxpP Xedxee，于是Y的分布为2255()() (1)0,1,2,3, 4,5,kkkP YkCeek25(1)1(0)1(1)0.5167P YP Y

14、e. 18一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数( )N t服从参数为t的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8 小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。解（1）设T的分布函数为( )TFt，则( )()1()TFtP TtP Tt事件()Tt表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故( )0N t，于是0()( )1()1( )0)11,00!ttTtFtP TtP N teet，可见，T的分布函数为1,0,( )0,0.tTetFtt即T服从参数为的指数分布。（2）所求概率为168816,8(16)(16|8)(

15、8)(8)P TTP TeP TTeP TPe. 19设随机变量2(108, 3 )XN。求（1）(101.1117.6)PX； （2）常数a，使()0.90P Xa；（3）常数a，使(|)0.01PXaa。解（1）117.6108101.1 108(101.1117.6)()()33PX(3 2)( 2 3)(3 2)(2 3)1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载0.999

16、3 0.9893 10.9886；（2）1080.90()()3aP Xa，查表知1081.283a，所以111.84a；（3）0.01(|)1(|)1(02 )PXaaPXaaPXa21081(),3a所以2108()0.993a，查正态分布表知21082.333a，故57.495a。20设随机变量2(2,)XN，且(24)0.3PX，求(0)P X。解420.3(24)()(0)PX，所以2()0. 8，0222(0)()()1()0.2P X。21某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72 分， 96 分以上的占考生总数的2.3%，试求考生

17、的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率。解9 67 22 40. 0 2 3(9 6 )1()1()P X242412()0.977,2,1.所求概率为8 47 26 07 21 21 2( 6 08 4 )()()()()PX122()12 0.841310.6826.22假设测量的随机误差2(0,10 )XN，试求在 100 次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率， 并利用泊松分布求出的近似值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

18、 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解设Y为误差的绝对值大于19.6 的测量次数，则(100,)YBp，其中( |1 9. 6 )1(1 9. 61 9. 6 )1( 1. 9 6 )pPXPX22(1. 9 6 )220. 9 7 5，所求概率为1001001003(3)(0.05) (0.95),kkkkP YC利用泊松定理1005350.875!kkek. 23在电源电压不超过200V，在200240V和超过240V三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001 和 0.2，假设电源电压X服从正态分布2(220, 25 )N，

19、试求：（1）该电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。解设A电子元件损坏 ，iB电源电压在第i档 ，1,2,3i，则（1）112233()() (|)() (|)()(|)P AP BP A BP BP A BP BP A B(200)0.1(200240)0.001(240)0.2P XPXP X200220240220200220()0.1()()0.0012525252402201()0.22520202020()0.1()()0.001(1()0.225252525(10.7881)0.1(20.7881 1)0.001(10.7881)0.20.

20、0641（2）222()(|)0.005756(|)0.08980.06410.0641P BP A BP BA. 24假设随机变量X的绝对值不大于1；11(1),(1)84P XP X，在事件 11X出现的条件下，X在( 1, 1)内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）X的分布函数；（2）X取负值的概率P. 解1设X的分布函数为( )F x，则当1x时，( )0F x，且1( 1)8F，当1x时，( )1F x，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

21、 - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载115( 11)1848PX，当11x时，由题意 1| 11(1)PXxXk x，而111|11 2PXXk，所以12k。于是1 1| 11 ,2xPXxX此时( ) 1( 1)F xPXxF1 1,11 8PXxX1 11( 1| 118PXPXxX5115782816xx，故X的分布函数为0,1,57( ),11,161,1.xxF xxx（2）7(0)(0)(0)16P XFP X. 解2设X的分布函数为( )F x，则当1x时，( )0F x且1( 1)8F当1x时，( )1F x，当11x

22、时，设,( 1, 1)xxx，且0 x，由题意(| 11)P xXxxXk x，即(,11),( 11)P xXxxXk xPX由此得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载5()8P xXxxk x，两边同除以x得()( )5,8F xxF xkx令0 x取极限得5( ),8Fxk两边积分得5( )8F xkxC，由1( 1)8F及1 03lim( )4xF x得1588354

23、8kCkC解之得71,162Ck故5757( )161616xxF x，11x综上所述，X的分布函数为0,1,57( ),11,161,1.xxF xxx（2）7(0)(0)(0).16P XFP X25已知离散型随机变量X的分布列为210131111115651530XP求2YX的分布列 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解Y的分布列为014917111530530Y

24、P. 26设随机变量X的概率密度为,0,( )0 ,0.xXexfxx求XYe的概率密度( )Yfy解1当0 x时函数xye单调增，反函数为( )lnxh yy， 于是XYe的概率密度为ln211,1,1,( )( ( ) |( ) |0,1.0 ,1.yYXyeyyyfyfh yh yyy解2设Y的分布函数为( )YFy，则0,1,( )()()(ln),1XYyFyP YyP eyP Xyyln00,1,1,yxye dxyln00,1,1.yxyeyln0,1,0,1,11,1.1,1.yyyyeyy21,1,( )( )0 ,1.YYyyfyFyy27设随机变量X的概率密度为21( )

25、,(1)Xfxxx求随机变量31YX的概率密度( )Yfy解1函数31yx严格单调，反函数为3( )(1)xh yy，则263(1)( )( ( ) |( )|,.(1 (1) )YXyfyfh yh yyy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解2设Y的分布函数为( )YFy，则333( )()(1)(1)1(1) )YFyP YyPXyPXyP Xy31(1) XFy，所以

26、23263(1)( )(1) )3(1),(1 (1) )YXyfyfyyyy。28设(0,1 )XU，求（ 1）XYe的概率密度；（2）2lnYX的概率密度。解X的密度为1,01,( )0,Xxfx其它.（1）xye在(0,1)上单调增，反函数为( )lnh yy，所以Y的密度为1,1,( )0,.Yyeyfy其他（2）2lnyx在(0,1)上单调减，反函数为2( )yh ye，所以Y的密度为21,0,( )20,0.yYeyfyy29设(0,1)XN，求|YX的概率密度。解1函数|yx在(,0)上单调减，反函数为1( )hyy，在0,)上单调增，反函数为2( )hyy，所以Y的密度为112

27、2() ) |() |() ) |() |,0,( )0,0.XXYfhyh yfhyhyyfyy即222,0 ,( )0,0.yYeyfyy30 设随机变量X服从参数为2 的指数分布， 试证21XYe在区间(0,1)上服从均匀分布。证 只须证明Y的分布函数为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载0,0( ),01,1,1.YyFyyyy220,0( )()11,01,1,1X

28、xYyFyP YyPeyP eyyy0,0,( 2ln(1), 01,1 ,1.yPXyyy120 ,0,(ln(1). 01,0,1.yP Xyyy120 ,0,(ln(1),01,1 ,1.XyFyyy122ln(1)0,01,011,1yyeyy0,0,01,1,1.yyyy31设随机变量X的概率密度为22,0,( )0 ,.xxf x其它求sinYX的概率密度 . 解1函数sinyx在(0,2上单调增，反函数为1( )arcsinhyy在(,)2上单调减，反函数为2( )arcsinhyy. Y的概率密度为：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

29、 - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2211( )(arcsin )(arcsin )11Yfyfyfyyy22222arcsin122arcsin1,01,110,yyyyy其他.22,01,10,.yy其他解2设Y的分布函数为( )YFy，则( )()(sin)(arcsinarcsin )YFyP YyPXyP XyXy(arcsin)1(arcsin)P XyP Xy(arcsin)1(arcsin)XXFyFy所以2211( )(arcsin

30、 )(arcsin )11Yfyfyfyyy22,01,10,yy其他.32设随机变量X的分布函数( )F x连续，且严格单调增加，求()YF X的概率密度 . 解设Y的分布函数为( )YFy，则1( )()()( )YFyP YyP F XyP XFyy，当0y时( )0YFy，当1y时( )1YFy，故0,0,( ),01,1,1.YyFyyyy于是Y的概率密度为1,01,( )0,.Yyfy其他名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -