微分中值定理与导数的应用.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date微分中值定理与导数的应用第三章 中值定理与导数的应用第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理

2、揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、 费马引理：设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么。证：不妨设时，对于，有，故当时，；当时，由保号性，故。罗尔定理（Rolle）：如果函数满足：（1）在闭区间上连续 （2）在开区间内可导，（3），则至少存在一点，使得在该点的导数等于零：=0证明：由于在上连续，故在上有最大值和最小值。时，则时，故，即内任一点均可作为，当时，因为，故不妨设（或设），则至少存在一点，使，

3、因在内可导，所以因，故，所以。注：1、证明一个数等于0往往证其，又，或证明其等于它的相反数2、称导数为0的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。3、罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.例：图： 4、罗尔定理中这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.例1：不求导数, 判断函数的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解：因为，所以在上满足罗尔定理的三个条件，所以在内至少存在一点，使，即是的

4、一个零点，又在内至少存在一点，使，即是的一个零点，又为二次多项式，最多只能有两个零点，故恰好有两个零点分别在区间，内。例2：证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证: 1) 存在性 .设则在 0 , 1 连续 , 由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 至少存在一点但矛故假设不真!二、拉格朗日中值定理1）Lagrange中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）：如果函数满足：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导。则至少存在一点，使证明：构造辅助函数则在上连续，在内可导，且所以至少存在一点，使，即，所以显然时，此公式也成立，此公式称为L

5、agrange公式。注1：拉格朗日中值公式反映了可导函数在上整体平均变化率与在内某点处函数的局部变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.2：直线，故既为有向线段值的函数。3：当时，此定理即为罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。几何意义：若连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在点处切线平行于弦。Lagrange公式变形：设，则有在或上就有（）或记，则有，故也叫有限增量定理注：当不是很小，而是有限时，定理：如果函数在区间I上的导数恒为零，则（，C为常数）证：对，（设），则由Lagrange公式有由，有，所以，推论：连续函数

6、在区间上有，则证：对，设，则，所以，即例3：证明 证：设由推论可知令 x = 0 , 得又故所证等式在定义域 上成立.例4：证明当时，。证：设，则在上连续，在内可导，所以至少有一点，使，即，因，当时，。所以。例5：设在上连续，在内二阶可导，连接点的直线和曲线交于点（），证明在内至少存在一点，使。证明：因在上连续，在内可导，又因为，所以至少存在一点，使至少存在一点，使因为点，在同一直线上，所以。又因为在内可导，故在内可导，且在上连续，由Rolle定理，至少有一点，使，二、 柯西中值定理柯西中值定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点处均不为零，那么在内至少有一点，使成立。证

7、明：构造辅助函数则在上连续，在内可导，且，那么由罗尔定理，至少存在一点，使。即所以设为： ，其它与Lagrange辅助函数设法相同。注：1）Lagrange定理是柯西中值定理的情况2）：因中是同一个字母，若分子、分母分别使用Lagrange定理，则为两个字母。例5：设函数在0, 1上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点使证: 问题转化为证设则在 0, 1 上满足柯西中值定理条件因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 x ,使即课堂练习：1、设 为满足的实数, 试证明方程 在内至少存在一个实根.2、设在上连续, 在内可导, 且 证明: 存在, 使成立.3、设函数在上连续, 在内

8、可导, 且若存在常数使得试证至少存在一点使得罗尔（Rolle，16521719）简介：罗尔是法国数学家。1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得。1682年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水。此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世。

9、罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。1700年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战。在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”。瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了异常激烈的争论。约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分。由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预。直到1706年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并

10、且充分认识到无穷小分析新方法价值。罗尔于1691年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）简介：据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家F.A.雷维里（R-evelli）指导下学几何学后，萌发了他的数学天才。17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766年以前）、柏林时期（17661786）、巴黎

11、时期（17871813）。拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学了主流是力学；天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：数学分析的开拓者1变分法 这是拉格朗日最早

12、研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕；1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作。发表前写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法”。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”。变分法这个分支才真正建立起来。2微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果。他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。在柏林期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在177

13、4年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G.达布等人完成的。除此之外，他还是一阶偏微分方程理论的建立者。3方程论拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。他把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。拉格朗日的想法已蕴含了置换群的概念，他的思想为后来的N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求

14、解的问题.此外,他还提出了一种格朗日极数.4.数论著 拉格朗日在1772年把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。后来还证明了著名的定理：n是质数的充要条件为（n-1）!+1能被n整除。5函数和无穷级数 同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数同是多项式的推广。泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一。分析力学的创立者拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法。天体力学的奠基者首先在建立天体运动方程上，他用他在分析力学中的原理，建议起各类天体的

15、运动方程。其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛作用。在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。总之，拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献。但主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用。使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析上也起了历史性的作用，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展。由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取

16、得更多成果。柯西（Augustin Louis Cauchy ，17891857）业绩永存的数学大师19世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛，与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要推伟大的数学定柯西。柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日，拉普拉斯交往密切。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建议“赶快给柯西一种坚实的文学教育”，以便

17、他的爱好不致反他引入岐途。父亲加强了对柯西的文学教养，使他在诗歌方面也表现出很高的才华。1807年至1810年柯西在工学院学习。曾当过交通道路工程师。由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究，柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的青华，也柯西对付类科学发展所作的巨大贡献。1821年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻划，后经维尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义或叫定义。当今所有微积分的教科书都还（至少是在本质上）沿用着栖西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义。他对微积

18、分的解释被后人普遍采用。柯西对定分作了最系统的开创性工作。他把定积分定义为和的“极限”。在定积分运算之前，强调必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念，运动和直觉了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础最庞大的数学学科。数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛性理论。会后，拉普拉斯急忙赶回家中，根据栖西的严谨判别法，逐一检查其巨著天体力学中所用到的级数是否都收敛。栖西在其

19、它方面的研究成果也很丰富。复变函数的微积分理论就是由他创立的。在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献。柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有27卷，其论著有800多篇。在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中。作为一位学者，他是思路敏捷，功绩卓著。但他常忽视青年人的创造。例如，由于柯西“失落”了才华出众的年轻数学家阿贝尔与伽罗华的开创性的论文手稿，造成群论晚问世约半个世记。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他临终的一名名言“人总是要死的，但是，他们的业绩永存”长久地叩击着一代又一代学子的心扉。第二节 洛必达法则一、未定

20、式：当时，函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么，极限可能存在，也可能不存在，称此极限为未定式，分别记为：型或型。计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.二、型未定式定理1：洛必达（Lospital）法则：（型）（）设，在点的某去心邻域，及存在，且存在（或为无穷大）则证明：补充定义：令（因为极限与该点值无关）则、在点连续，设为点的邻域内一点，则，在上连续，在内可导，由柯西

21、中值定理，至少有一点使，又左边，且时，所以注：（1）定理 1 中换为下列过程之一:条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.（2）若时，仍为型未定式，且、满足定理中、所要满足的条件，那么可以继续施用洛必达法则。即推广：，直到不是未定式为止，便求出极限结果，所以每次分别求导后都要判断此式是否是未定式，是便再分别求导，不是就代入求得结果。例：求则型，例2：求例3：求二、型未定型定理2：洛必达法则：（）（）且存在（或为）那么注：定理 2 中换为下列过程之一:条件 2) 作相应的修改 , 定理 2仍然成立.例4：例5：例6：即时，对数函数比指数函数趋近于无穷大慢。例7：（为正整数，）即当时，指

22、数函数比幂函数趋近无穷大慢。所以趋于无穷大速度由慢到快，三、对于型，（同时为或同时为型），型的未定式，可以转化为或型未定式来计算。解决方法：取倒数，通分，取对数例8：求，注：对型未定式，可以化为或型未定式，但为计算简便，一般把它变化成分子分母易求导的类型（即颠倒那个易求导的，此类题要活，颠倒极限为0的不易求，就颠倒极限为的）对上式或化为型，则例9：求例10：求，（型）计算，型，型：一般对两边同时取对数，则右边为为型，再颠倒一项化为或。解：设，取对数，得则，所以。例11：，令，则，故=，故。注：求未定式极限时，最好将洛必达法则与其它求极限方法结合使用，能化简时尽可能化简，能应用等价无穷小或重要极

23、限时，尽可能应用。例12：求例13：求 解：原式例14：因。故原式注：当求到某一步时，极限是未定式，才能应用洛必达法则，否则会导致错误结果。当定理条件满足时，所求极限一定存在（或为）当定理条件不满足时，所求极限不一定不存在例15：求，因分子极限不存在，故不满足洛必达法则条件。但。.例16：求.小结：一、未定式的基本类型：型与型； 二、未定式的其它类型：型，型，型 (1) 对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算. (2) 对于型，可利用通分化为型的未定式来计算. (3) 对于型，可先化以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为的形式，再化为

24、或型的未定式来计算.课堂练习：1、求 型2、 3、求 . 型4、求 洛必达（L Hospital，16611704）简介：洛必达(LHospital)是法国数学家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号。青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究。洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约。伯努利提出的“最速降线”问题。他是法国科学院院士。洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程-用于理解曲

25、线的无穷小分析。这部著作出版于1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用。这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点，同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在1691-1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表。不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定期领取薪金。作为答谢。他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用。于是洛必达根据约翰.伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得，撰写了该书。洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼兹也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划。他还写过一本关

26、于圆锥曲线的书圆锥曲线分析论。此书在他逝世之后16年才出版。洛必达豁达大度，气宇不凡。由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往。从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。第三节 泰勒公式对于一些比较复杂的函数, ,往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒的研究结果表明: 具有直到阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达. 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.一、 问题：在

27、微分应用中已知近似公式 : x 的一次多项式特点：需要解决的问题：如何提高精度 ? 如何估计误差 ?为此：设函数在含有的开区间(a, b)内具有直到阶导数, 问是否存在一个n次多项式函数 使得 , 且误差是比高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.二、讨论：设令，。可求出多项式的系数：， ，故所以 ， 故则三、 泰勒（Taylor）中值定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对时，可以表示为的一个次多项式与一个余项之和。 （*）称为Lagrange型余项，其中是与之间的某个值。且公式（*）称为按的幂展开的阶泰勒公式。证明：因，只需证（在与之间）由已知在内也具有直到阶导数。且，因

28、及在（或）上连续，在内可导。且在内均不为零，满足柯西定理条件，所以有 同理 及在上连续，在内可导且在内处处不为0，也有，依次类推，经次后，得 ，又因为 为次多项式，故故 ，证毕当时，Taylor公式即为 ， （在与之间）可记，故Taylor中值定理是Lagrange中值定理的推广。对于，为用多项式近似代替时的误差，如果对某个固定的，当时，都有（为常数），则有估计式以及。所以当时是比高阶的无穷小，即此式称为佩亚诺（Peano）型余项。注：(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理（2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为误差（3）当不需要余数的精确表达式时，阶泰勒公式可写成三、麦

29、克劳林（Maclaurin）公式取，则Taylor公式可称为麦克劳林（Maclaurin）公式，即 因，故或记可得近似公式：误差估计式：四、直接展开例1：写出函数的阶麦克劳林公式因，故且 故的阶麦克劳林公式为： （）讨论误差：用公式代替，所产生的误差为当时，当时，可算出，其误差不超过例2：求的阶麦克劳林公式解：因， 故，故其中 取，则误差 例3：（为某年经济类考研题）设，且，求证证：易知，则，所以由Maclaurin公式有：，因，故。注：写Taylor公式时，余项中含有，若为复合函数或此函数可利用已学的，的展开式时，则展开式中的余项分别余项再复合，必须是整个函数求余项。例4：，则（）类似地，还

30、可以得到其中，；其中；，其中例5：利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限解：由故注：两个比高阶的无穷小的和仍记常用初等函数的麦克劳林公式：课堂练习1、计算 .解：原式泰勒（Taylor, Brook，16851731）简介：泰勒(Taylor,Brook)英国数学家。1685年8月18日生于英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市；1731年12月29日卒于伦敦。泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭。父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是长子。进大学之前，泰勒一直在家里读书。泰勒全家尤其是他的父亲，都喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家。这时泰勒一生的工作造成的极大的影响，这从他的两个主要

31、科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出来 。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年，他获得法学学士学位。1714年获法学博士学位。1712年，他被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位据说是出身名门但没有财才的女人结婚，遭到父亲的严厉反对，只好离开家庭。两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里，1725年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于1729年继承了父亲在肯特郡的财才。1730年，第二个妻子也在生产中死去，不

32、过这一次留下了一个女儿。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在伦敦圣.安教堂墓地。由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产的时期。他的两本著作：正和反的增量法及直线透视都出版于1715年，它们的第二版分别出于1717和1719年。从1712到1724年，他在哲学会报上共发表了13篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。在生命的后期，泰勒转向宗教和

33、哲学的写作，他的第三本著作哲学的沉思在他死后由外孙W.杨于1793年出版。泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。麦克劳林（Maclaurin, Colin，16891746）简介：麦克劳林（Maclaurin,Colin）是英国数学家。1689年2月生于苏格兰的基尔莫登；1746年1月卒于爱

34、丁堡。麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9岁丧母。由其叔父抚养成人。叔父也是一位牧师。麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他11岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学。17岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的公开答辩；19岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数学第工作；两年后被选为英国皇家学会会员；1722-1726年在巴黎从事研究工作，并在1724年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院资金，回车后任爱丁堡大学教授。1719年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。1724年，由于牛顿的大力推荐，他继续获

35、得教授席位。麦克劳林21岁时发表了第一本重要著作构造几何，在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。1742年撰写的流数论以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意是为牛顿流数法提供一个几何框架的，以答复贝克来大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置。他不但学术成就斐然，而且关于政治，1745年参加了爱丁堡保卫战。麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。他曾打算写一本关于伊萨克.牛顿爵士的发现说明，但未能完成便去世了。死后在

36、他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛顿的感激之情。皮亚诺简介：皮亚诺，G. （Peano, Giuseppe） 1858年8月27日生于意大利库内奥（Cuneo）附近的斯皮内塔（Spinetta）村；1932年4月20日卒于都灵（Turin）. 数学、逻辑学。皮亚诺的父母巴尔托洛梅奥（Bartolomeo）和C. 罗斯亚（Rosa）有4男1女，皮亚诺是第二个孩子。他们家以耕作为生，虽处在文盲充斥的农村，但皮亚诺的父母有见识且很开朗，让子女都接受教育。他家住在离省城库内奥3英里的地方，每天皮亚诺和其兄米切勒（Michele）必须步行去省城念书。为了方便孩子们上学，他父母把家搬到城内，直到

37、他最小的妹妹小学毕业，才又搬回农场。他的舅舅M. 卡瓦罗（Cavallo）是一位牧师和律师，住在都灵。由于皮亚诺勤学好问，成绩优异，舅舅接他去都灵读书。开始时他接受私人教育（包括舅舅的教育）和自学，使他能于1873年通过卡沃乌尔（Cavour）学校的初中升学考试而入了学。1876年高中毕业，因成绩优异获得奖学金，进入都灵大学读书。他先读工程学，在修完两年物理与数学之后，决定专攻纯数学。在校5年，他学习的科目十分广泛。1880年7月他以高分拿到大学毕业证书，并留校当E。奥维迪奥（Dovidio）的助教，一年后又转为分析学家A。杰诺其（Genocchi）教授的助教。1882年春杰诺其摔坏了膝盖骨，

38、皮亚诺便接替他讲授分析课。1884年任都灵大学微积分学讲师。1890年12月经过正规竞争，皮亚诺成为都灵大学的临时性教授，1895年成为正教授，他一直在都灵大学教书，直到去世。1887年皮亚诺与卡罗拉克罗西亚（CrosioCarola）结婚，她是一位画家的女儿。他们没有孩子。皮亚诺是许多科学协会的会员，也是意大利皇家学会会员。他在分析方面的研究颇有成绩，是符号逻辑的奠基人，又是国际语的创立者。皮亚诺于1932年4月20日夜里因心绞痛逝世。按照他的意愿，葬礼非常简朴，他被葬在都灵公墓。1963年，他的遗骸被迁往老家斯皮内塔的家族墓地。皮亚诺作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名。他的工作是

39、独立于J.W.R.戴德金（Dedekind）而做出的。虽然戴德金也曾发表过一篇自然数方面的文章，观点与皮亚诺的基本相同，但表达得不如皮亚诺明晰，没有引人们注意。皮亚诺以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面。他在逻辑方面的第一篇文章出现在他1888年出版的几何演算基于格拉斯曼的“扩张研究”(Calcolo geometrico secondo 1Ausdehnungslehre di H. Grassmann)一书中。该文独立成章共20页，是关于“演绎逻辑的运算”（Operations of deductivelogic）的。皮亚诺不同意B.A.W.罗素（Russell）的

40、观点，而是G。布尔（Boole）、F.W.K.E. 施勒德（Schroder）、C.S.皮尔斯（Peirce）和H. 麦科尔（Mccoll）等人工作的综合和发展。1889年皮亚诺的名著算术原理新方法（Arithmetices principia, nova methodo exposita）出版，在这本小册子中他完成了对整数的公理化处理，在逻辑符号上有许多创新，从而使推理更加简洁。书中他给出了举世闻名的自然数公理，成为经典之作。1891年皮亚诺创建了数学杂志（Rivista di Matematica），并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理，且证明了它们的独立性。皮亚诺用两个不定义

41、的概念“1”和“后继者”及四个公理来定义自然数，说所谓自然数是指满足以下性质的集合N中的元素：（1）1是N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若a的后继者用表示，则对于N中任何a, （2）对于N中任意元a, 存在而且仅存在一个后继者；（3）对于N中任何, 若则（4）（归纳公理）N的一个子集合M，若具有以下性质：当时，有则19世纪90年代他继续研究逻辑，并向第一届国际数学家大会投了稿。1990年在巴黎的哲学大会上，皮亚诺和他的合作者C. 布拉利-福尔蒂（Burali-Forti）、A. 帕多阿（Padoa）及M. 皮耶里（Pieri）主持了讨论。罗素后来写道：“这次大会是我学术生涯的转折点，因为

42、在这次大会上我遇到了皮亚诺。” 皮亚诺对20世纪中期的逻辑发展起了很大作用，对数学做出了卓越的贡献。皮亚诺在数学杂志上公布他和他的追随者的逻辑与数学基础方面的结果。他还在上面公布了他的数学公式（Formulario）的庞大计划，并且在这项工作上花费了26年的时间。他期望能将他的数理逻辑记号的若干基本公理出发建立整个数学体系。他使数学家的观点发生了深刻变化，对布尔巴基学派产生了很大影响。皮亚诺的数学公式汇编（Formulario mathematico）共有5卷，18951908年出版，仅第5卷就含有4200条公式和定理，有许多还给出了证明，书中有丰富的历史与文献信息，有人称它为“无尽的数学矿藏

43、。”他不是把逻辑作为研究的目标，他只关注逻辑在数学中的发展，称自己的系统为数学的逻辑。皮亚诺在其他领域中也使用了公理化方法，特别是对几何。从1889年开始，他对初等几何采用公理化的处理方法，给出了几套公理系统。1894年他将这种方法加以延伸，在M.帕施（Pasch）工作的基础上将几何中不可定义的项消减为三个（点、线段和运动），后来M. 皮耶里（Pieri）在1899年又把几何中不可定义的项消减为二个（点和运动）。他的许多论文都是对已有的定义和定理给出更加清晰和严格的描述及应用，例如1882年H. A. 施瓦兹（Schwarz）引入了曲面的表面积这个概念，但没有说清楚，一年后皮亚诺独立地将曲面表

44、面积的概念清晰化。皮亚诺引入并推广了“测度”的概念。1888年开始他将H. G.格拉斯曼（Grassmann）的向量方法推广应用于几何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，对意大利的向量分析研究作了很大的推动。1890年，皮亚诺发现一种奇怪的曲线，只要恰当选择函数和由定义的一条连续的参数曲线，当参数t在0，1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。稍后D。希尔伯特（Hilbert）和皮亚诺还找到另外一些这样的曲线。皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面。的确，他在分析方面的工作是非常新颖的，有不少是开创性的。1883年他给出了定积分的一个新定义，将黎曼积分定义为黎曼和当其最小

45、上界等于最大下界时所取的公共值。这是设法使积分定义摆脱极限概念所作的努力。1886年他率先证出一阶微分方程可解的唯一条件是f的连续性，并给出稍欠严格的证明。1890年他又用另一种证法把这一结果推广到一般的微分方程组，并给出选择公理的直接明晰的描述。这比E。F。F。策梅罗(Zermelo)早14年。但皮亚诺拒绝使用选择公理，因为它超出数学证明所用的普通逻辑之外。1887年他发现了解线性微分方程的逐次逼近法，但人们把功劳归于比他晚一年给出此法的E。皮卡（Picard）. 皮亚诺还给出了积分方程的误差项，并发展成“渐近算子”的理论，它是解决数学方程的一个新方法。19011906年之间他就保险数学投过稿。作为国家委员会的一员，他曾被请为估计退休金的金额。1895-1896年他写过理论力学方面的文章，其中有几篇是关于地球自转轴的运动。他的工作还涉及特殊的行列式、泰勒公式及求积分公式的推广等等。1893年，皮亚诺发表了无穷小分析教程（Lezioni di