奥赛立体几何中的截面问题学生.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date奥赛立体几何中的截面问题学生奥赛立体几何中的截面问题学生立体几何的截面问题一主要知识：（1）【公理1】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.意义作为判断和证明是否在平面内的依据；证明点在某平面内的依据；检验某面是否平面的依据.（2）【公理2】如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直

2、线.意义作为判断和证明两平面是否相交；证明点在某直线上；证明三点共线；证明三线共点.（3）【公理3】经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论经过两条相交直线有且只有一个平面.推论经过两条平行直线有且只有一个平面.意义公理及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.（4）【公理4】平行于同一条直线的两条直线互相平行（5）【等角定理】一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。推论两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（

3、或直角）相2【主要题型】截面形状的判断 截面面积和周长的计算 截面图形的计数 截面图形的性质和最值二预备练习1. 如图,点确定的平面与点确定的平面相交于直线, 且直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,试作出面与面的交线2. 如图, 分别是四面体的棱上的点，若直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，与相交于，证明三点共线3. 四面体中,分别为的中点,在上, 在上,且有,求证：三线共点4. 平行六面体中, 平面，求证：三例题讲解题型1。截面形状判断1（05年全国）如图,分别是正方体的棱上的中点,试作出过三点的截面是（ ）A三角形 B四边形 C五边形 D六边形变题：过棱长为2的正方体棱中点作一个与

4、底面成.角的截面,则截面的图形为 题型2。截面面积及周长的计算1. 过正方体的对角线的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为 ( )ABC D2. 已知正四棱锥的棱长都等于，侧棱的中点分别为和，若过三点的平面交侧棱于，则四边形的面积为_3. 如图，正方体的三条棱为,是体对角线。点分别在上，,那么，平面向各个方向延伸后与正方体的交线组成的多边形面积是多少？4. 一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”，棱长为1的正方体中，分别是,的中点，求过三点的截面图形的周长。题型3。截面图形的计数1.设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥, 使

5、得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面( )A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个2.过正四面体的顶点做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面成角，问这样的截面可作几个？题型4。截面图形的性质1水平桌面上放置着一个容积为的密闭的长方体玻璃容器,其中装有的水则下列说法中正确的是 把容器一端慢慢提起,使容器的一条棱保持在桌面上,这个过程中,水的形状始终是柱体； 在中的运动过程中,水面是矩形； 把容器提离桌面,随意转动,水面始终过长方体的一个定点； 在中水与容器的接触面积始终不变2设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的

6、延长线分别交于Q、R，则和式（ ）A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，两者不等D是一个与面QPS无关的常数3如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ）AS为定值，不为定值 BS不为定值，为定值CS与均为定值 DS与均不为定值题型5。截面图形的最值1. 如图，在正方体中盛满水，分别为、的中点.若三个小孔分别位于三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的（ ）A、 B、 C、 D、2. 顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，垂足为B，垂足

7、为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥OHPC的体积最大时，OB的长是 （ ）A. B. C. D. 3. 如图，四面体的各面都是锐角三角形，且，平面分别截棱于点,求四边形的周长最小值4. 在长方体中，。记过的截面的面积为，求的最小值，并指出此时截面的位置。三课外练习：1.正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形；下述选项正确的是： ( )A. (1)(2)(5) B. (1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D. (3)(4)(5) 2 (08年江西)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部P图1

8、P图2镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2） 有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点；C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）3.已知正四面体的棱长为2，求出所有与它的四个顶点距离相等的截面的面积之和。4.过正方体的对角线的截面面积为，记的最大值和最小值分别为,求.4.证明：经过正方体中心的任意一个截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积。5。如图所示，棱锥的底面是中心为的矩形，,过顶点、底面和棱上一点作棱锥的截面。问为何值时，所得的截面的面积取得最小值？并求出这个最小值。-