平面向量易错题解析.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date平面向量易错题解析平面向量易错题解析平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用；）3.你知道解决向量问题有哪两种途径？（向量运算；向量的坐标运算）4.你弄清“”与“”了吗？问题：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1） 在实数中：若，且ab=

2、0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.（2） 已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.（3） 在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向

3、量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条

4、件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5）2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实

5、数、，使e1e2。如（1）若，则_（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（答：）；（4）已知中，点在边上，且，则的值是_（答：0）4.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0；当P点在线段 PP的延长线上时1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如若点分所成的比为，则分所成的比为_（答：）（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当1时，就得到线段P

6、P的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_（答：）；（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_（答：或）11.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为。如若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_（答：）；为

7、的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_（答：直线AB）例题1已知向量,且求 (1) 及; (2)若的最小值是,求实数的值. 错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度; (2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求, = ;(2) = = 从而:当时,与题意矛盾, 不合题意; 当时, ; 当时,解得,不满足;综合可

8、得: 实数的值为.例题2在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.答案: (1)若即 故,从而解得; (2)若即,也就是,而故,解得; (3)若即,也就是而,故,解得 综合上面讨论可知,或或例题4已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为DABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围。解：(1)设=(x,y)则由=得：cos= 由=-1得x+y=-1 联立两式得或=(0,-1)或(-1,0)(2)

9、=得=0若=(1,0)则=-10故(-1,0) =(0,-1)2B=A+C，A+B+C=p B= C=+=(cosA,2cos2) =(cosA,cosC) |+|= = =0A02A-1cos(2A+)0当m0时，2mcos2q0，即f()f() 当m0时，2mcos2q0，即f()f()例题6已知A、B、C为DABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)当f(A、B)取最小值时，求C(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2

10、B+)+1 =(sin2A-)2+(sin2B-)2+1当sin2A=,sin2B=时取得最小值，A=30或60，2B=60或120 C=180-B-A=120或90 (2) f(A、B)=sin22A+cos22()- = =例题7已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落为锐角，求实数x的取值范围.解：要满足为锐角 只须0且（） = = =即x (mx-1) 0 1当 m 0时x0 或2m0时，x ( -mx+1) 0 ，3m=0时只要x 0时， x = 0时， x 0，（1）用k表示ab;（2）求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小。解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b

11、|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =（2）k2+12k，即=，ab的最小值为，又ab =| a|b |cos，|a|=|b|=1=11cos。=60,此时a与b的夹角为60。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab。例题9已知向量， （）求的值；（）若，且，

12、求的值解（）,. , ,即 . . （） ， ， .例题10已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），（）求点M的轨迹W的方程；（）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围解：（）， MN垂直平分AF又， 点M在AE上， ， ， 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点M的轨迹W的方程为（）（）设 ， 由点P、Q均在椭圆W上， 消去并整理，得，由及，解得 基础练习题1.设平面向量=(2，1)，=(，1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、答案：A点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。2.

13、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心正确答案：B。错误原因：对理解不够。不清楚与BAC的角平分线有关。3.若向量 =(cosa,sina) ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）A 与的夹角等于a-bB C(+)(-)D 正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。4.已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 =t (0t1)则 的最大值为（） A3B6C9D12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结

14、合直观得到当|OP|cosa最大时， 即为最大。5.在中,则的值为 ( )A 20 B C D 错误分析:错误认为,从而出错.答案: B略解: 由题意可知,故=.6.已知向量 =(2cosj，2sinj)，j()， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )A-jB+jCj-Dj正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在0，p。7.如果，那么 （ ）A B C D在方向上的投影相等正确答案：D。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。8.已知向量则向量的夹角范围是（ ） A、/12，5/12 B、0，/4 C、/4，5/12 D、 5/12，/2 正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应

15、用。9.设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ） 存在一个实数，使=或=； |=| |； ； (+)/()A、1个 B、2个 C、3个 D、4个答案：C点评：正确，易错选D。10.以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为（ ）。A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5） C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）正解：B设，则由 而又由得 由联立得。误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。11.设向量，则是的（ ）条件。A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要正解：C若则，若，有可能或为0，故选C。误

16、解：，此式是否成立，未考虑，选A。12.在OAB中，若，则=（ ）A、 B、 C、 D、正解：D。（LV为与的夹角）误解：C。将面积公式记错，误记为13.设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （A）A、 B、（2，+ C、（ D、（-错解：C错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况正解：A14.设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题： 若不平行其中正确命题的个数是 （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个正确答案：(B)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。15.若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是_. 错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要

17、条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误. 正确解法: ，的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范围是答案: .16.已知平面上三点A、B、C满足的值等于（ C ）A25B24C25D2417.已知AB是抛物线的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线. （1）若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|； （2）若异于原点），直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程； （3）若AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证：且T在直线l上.解：（1）设A（，因为导数，则直线AC的方程

18、：由抛物线定义知，|AF|=+，又|CF|=（）=+，故|AF|=|CF|. （2）设由得. 直线OB方程： 直线m的方程:， 由得y=p，故点P的轨迹方程为y=p（x0）. （3）设则因为AB是焦点弦，设AB的方程为：得由（1）知直线AT方程：同理直线BT方程：所以直线AB方程：，又因为AB过焦点，故T在准线上.18.如图，已知直线l与半径为1的D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若 （）求点P的轨迹方程； （）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足，求以P、G、D为项点的三角形的面积.解：（） 点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆. 由 以CD所在直线为x轴，以CD与D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系. 所求点P的轨迹方程为 （）G为椭圆的左焦点. 又 由题意，（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾） 又点P在椭圆上， 又19.已知O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足,，则动点P的轨迹一定通过ABC的（D）A内心B垂心C外心D重心20.已知向量是两个不共线的非零向量, 向量满足.则向量用向量一定可以表示为 （C）A. 且. B. C. D. , 或 -