解析法在解题中的应用.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流解析法在解题中的应用.精品文档.解析法在解题中的应用笛卡尔曾经在他的哲学著作指导思维的法则中提出了“通用数学”的思路，即任何问题数学问题代数问题方程求解。其中，数学问题向代数问题的转化非常明确。建立平面（空间）直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可。即运用“几何问题代数化，代数问题坐标化”的思想解题。一、平面向量问题. 例1 若等边ABC的边长为，平面内一点M满足，则 _.图(1)思路点拨：建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可。以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图(1)所示的 平面直角坐标系，根据题设条件可知 设，

2、则 由得： ，点M的坐标为，例2 （2016年春四校联考11）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，记，则的值为（ ）A. B. C. D. 思路点拨：建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可。如图，以A为原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件可知：又如三维设计P111-8, P112例1，P119-8，寒假作业（一）与（三）的15二、平面几何问题又如三维设计P221-8三、立体几何问题空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量

3、与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性. 利用法向量求解空间角的关键在于“四破”第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角例1直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成角为_解析由条件知AC、BC、CC1两两垂直，以C为原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0，0)，B1(1,0，)，M(0,0，)，A1(0，)，(1，)，

4、(0，)，cos，0，即直线AB1与A1M所成角为.例2 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.来源:学科网(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角F BD C的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解连接AC，由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直

5、线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)，因此，(0，1,1)设平面BDF的一个法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，所以xyz，取z1，则m(，1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，则cosm，所以二面角FBDC的余弦值为.例3 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 审题视点 建立以D为

6、原点的空间直角坐标系，利用向量法求解，第(2)问中设，由ES平面AMN可得值解(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E（，1,0）（，0，1），(1,0,1)cos，异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.(0,1,1)，可设(0，)，又，1,0，1，.由ES平面AMN，得即故，此时（0，），|.经检验，当AS时，ES平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS.例4 如图1，ACB45，BC

7、3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90(如图2所示)(1)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；(2)当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小解(1)法一在如题图1所示的ABC中，设BDx(0x3)，则CD3x.由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后(如题图2)，ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD.又BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)，于是VABCDAD

8、SBCD(3x)x(3x)(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x3，解得x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,3)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最大值故当BD1时，三棱锥ABCD的体积最大(2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD1，ADCD2.于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E（，1,0），且(1,1,1)来源:学科网设N(0，0)，则（，1,0）因为ENBM等价于0，即（，1,0）(1,1,1)10

9、，故，N（0，0）所以当DN(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM.设平面BMN的一个法向量为n(x，y，z)，由及（1，0），得可取n(1,2，1)设EN与平面BMN所成角的大小为，则由（，0），n(1,2，1)，可得sin cos (90)，即60.故EN与平面BMN所成角的大小为60.空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，因此使用问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题 例5 如图所示

10、，在三棱锥PABC中，已知PC平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上(1)求证：AB平面PBC；(2)设ABBC，直线PA与平面ABC所成的角为45，求异面直线AP与BC所成的角；(3)在(2)的条件下，求二面角CPAB的余弦值满分解答(1)PC平面ABC，AB平面ABC，ABPC.点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，CD平面PAB. 又AB平面PBA，ABCD.又CDPCC，AB平面PBC. (4分)(2)PC平面ABC，PAC为直线PA与平面ABC所成的角于是PAC45，设ABBC1，则PCAC，以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(0,1,0)，

11、C(1,0,0)，P(1,0，)，(1，1，)，(1,0,0)，cos，异面直线AP与BC所成的角为60.(8分)(3)取AC的中点E，连接BE，则（，0），ABBC，BEAC.又平面PCA平面ABC，BE平面PAC.是平面PAC的法向量设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，得n(，0,1)于是cosn，.又二面角CPAB为锐角，所求二面角的余弦值为. (12分)注：(1)解决此类问题，一定要先分析已知条件中，是否直接说出此三条直线是两两垂直，否则，要先证明以后才能建立坐标系，另外，要在作图时画出每条坐标轴的方向.(2)有的考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时

12、，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.如本例中求得cos ，不少考生回答为：二面角的余弦值为，这是错误的，原因是忽视了对二面角CPAB的大小的判断.又如三维设计P119-7，P210-2，P211-4、6， 四、函数问题寒假作业（三）的12五、方程问题又如三维设计P223例2，六、不等式问题又如三维设计P155-5，P157-7， 七、三角函数问题如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，其中tan=。在距离港口O为a（a为正常数）海里北偏东角的A处有一个供给科学考察船物资的小岛，其中cos=。现指挥部紧急征调

13、沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最合适。（1）求S关于m的函数关系式S(m)；（2）当m为何值时，补给最合适？ 解：（1）以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。直线OZ的方程为y=3x，设A(x0，y0)，则x0=3sin=9a，y0=3cos=6a， A(9a，6a)。又B(m，0)，则直线AB的方程为y=(x-m) 由、解得，C()，S(m)=SOBC=|OB|yc|= ，()。（2）S(m)=3a(m-7a)+84a2。当且仅当m-7a=，即m=14a7a时，等号成立，故当m=14a为海里时，补给最合适。又如三维设计P小结：“一、二、三”几何问题代数化，代数问题坐标化，“四、五、六、七”代数问题几何化，几何问题坐标化。