微分几何-陈维桓--习题答案3.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date微分几何-陈维桓-习题答案3习题答案2习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式： (1)旋转椭球面：； (2) 旋转椭圆抛物面：；(3) 双曲抛物面：；(4)一般柱面：；(5)劈锥曲面：. 解. (1) ，.又，.所以，.(2) ，.，. (3) ，.不妨设. 则，.(4) ，.(5) ，. 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) ，是常数.

2、解. 由条件知在曲面上，并且，即 . (1)因此是曲面的法向量. 不妨设. 则单位法向量.于是由于，故曲面的第二基本形式为.如果由(1)解出，再代入上式可得 . 3. 求曲线的切线曲面的第二基本形式，其中s是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线的曲率和挠率分别为，Frenet标架为，它的切线曲面的参数方程为.则，.，. 6. 证明：如果在可展曲面上存在两个不同的单参数直线族，则是平面. 证明. 设可展曲面的参数方程为. 则沿着直母线的单位法向量是常向量，即. 所以第二类基本量中. 剩下的只要证明，从而由定理1.1，是平面.为此，设在上任一固定点，异于直母线的另一族直线中过该点的直线的弧长参数方

3、程为，并且. 则在处的单位切向量是，它不能与在的直母线的切向量平行，故. 另一方面，因为是直线，有，即. 所以. 于是在点成立. 因为，可得. 由于点是任意的，可知. p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是，求它的第一、第二基本形式，并求它在点处沿切向量的法曲率. 解. 不妨设. 令，则，. (1)悬链面的方程可化为，于是，.，. 在点处，切向量中，曲面的法曲率. 注. 参数是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时，.4. 设曲面和曲面的交线为. 设p为曲线上一点，假定曲面和曲面在点p处沿曲线的切方向的法曲率分别是和. 如果曲面和曲面在点p处的法向量的夹角是，求曲线在点p

4、处的曲率.解. 设在p点C的Frenet标架为，曲率为，曲面的单位法向量分别为. 因为均垂直于C的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着由到的有向角为，到的有向角为，. 令，. 则，.于是，.当时，只有种情况：(1)，即. 此时，所以. 则 . (1)因此.化简得. 因此.(2)，即或. 此时，或，所以. 则同理有， (2).当(或)时，有(或)，从而(或). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定. 7. 设是曲面上的一条非直线的渐近线，其参数方程为，其中s是弧长参数. 证明：的挠率是 .证明. 设曲面的参数方程为，单位法向量为. 设C的弧长参数方程为，Frenet标架为，曲率为. 由于

5、是上的渐近线，根据定理2.4，有，其中，. 根据Frenet公式， .利用Lagrange恒等式，可得.将，代入上式，得 . p. 166 习题4.31. 求抛物面在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为，故，.，所以在原点处，.不妨设. 因为在原点处，且，所以分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. 注. 在原点，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是. 4. 证明：曲面上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系，使得参数曲线在点p处的切方向是曲面在该点的两个彼此正交的主方向. 证明. 根据第三章定理4.2，在上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系. 假设这个正交参数系

6、是. 如果p点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系的参数曲线在点p处的切方向是曲面在该点的两个彼此正交的主方向. 设p点不是脐点. 则在点p处有两个单位正交的主向量. 设.作参数变换，.由于，上述参数变换是可允许的. 在新参数下，.特别在p点，有，是曲面在p点的两个彼此正交的单位主向量. 由于，参数系不一定是正交参数，只知道在p点. 因此还要作一次参数变换，取-曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式. 根据常微分方程知识，存在积分因子使得是一个全微分，即有函数使得.现在作参数变换，. 则，参数变换是可允许的. 在新参数下，所以这说明参数系是正交的. 因为在p点，有，所以是曲

7、面在p点的两个彼此正交的主方向. 5. 设在曲面S的一个固定点p的切方向与一个主方向的夹角为，该切方向所对应的法曲率记为，证明：，其中. 证明. 根据Euler公式，. 所以有 . p. 175 习题4.42. 求旋转面的高斯曲率，其中为平面曲线的弧长参数. 解. ， (1).因为曲面是正则的，所以，不妨设. 因为是的弧长参数，所以， (2)其中是的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为.所以，. (3)由(1)，(2)和(3)可知，.根据定理4.3，的主曲率为，Gauss曲率为. 4. 求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它们所对应的主方向. 解. 因为， .所以，.又，其中.因为，

8、所以. 于是，.因为，所以主曲率对应的主方向为，其中.所以.同理，另一个主曲率为，对应的主方向为. 注. 由可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向和是参数曲线的二等分角轨线方程的两个根. 由此可得求解主曲率的另一方法：将分别代入，即 ，得到对应于主方向的主曲率，以及对应于主方向的主曲率.6. 在曲面上每一点沿法线截取长度为(足够小的正数)的一段，它们的端点的轨迹构成一个曲面，称为原曲面的平行曲面，其方程是，.从点到的对应记为. (1) 证明：曲面和曲面在对应点的切平面互相平行；(2) 证明：对应把曲面上的曲率线映为曲面上的曲率线；(3) 证明：曲面和曲面在对应

9、点的Gauss曲率和平均曲率有下列关系：，.证明. (1) 因为， (1)所以.当时，. 因此对每一点，存在该点的邻域，使得当足够小时，从而是正则曲面. 由(1)可见，所以在对应点和的切平面互相平行. (2) 设是上的任意一条曲率线. 则由Rodriques定理，有， (2)其中是曲面在点的主曲率. 对应把上的曲率线映为曲面上的曲线，它的方程为.因此. (3)上面已经证明了沿着，也是的单位法向量. 结合(2)和(3)可得. (4)根据Rodriques定理，也是上的曲率线. (3) 用和分别表示曲面和上的Weingarten变换. 设是曲面在任意一点的两个主曲率，对应于的主方向是. 则沿着该切

10、方向，有.另一方面，沿着该切方向，有.所以在曲面上.这说明是曲面在点的主方向，对应的主曲率是.同理，曲面在点的另一个主曲率是.于是在对应点，曲面的Gauss曲率和平均曲率分别为，. 注. 本题的结论是局部的：对每一点，为了保证是正则曲面，只能在该点的某个邻域上，取足够小，才有这些结论. p. 184 习题4.53. 研究习题4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况. 解. 管状曲面的参数方程为，其中是一条弧长参数曲线，是它的Frenet标架，是一个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是和. 因为 ，所以. 取充分小，使得，从而是正则曲面，单位法向量为.于是，.由于，并且，所以(1) 当时

11、，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：和.由于，曲面上没有平点.(2) 当时，这些点是椭圆点.(3) 当时，这些点是双曲点. p. 190 习题4.62.(1) 证明：是极小曲面，其中是常数. 该曲面称为Scherk曲面. (2) 证明：形如的极小曲面必定是Scherk曲面. (1) 证明. Scherk曲面的参数方程为. 故，.因此 ，.由于，所以，Scherk曲面是极小曲面. (2) 证明. 曲面的参数方程为. 故，.因此，.由得到，即.上式可化为 . (1)由于上式左边是的函数，右边是的函数，故只能是常数. 设此常数为. 当时，由(1)可知，其中是常数. 于是该极小曲面是平面，其中.

12、 (不是Scherk曲面)下面设. 由(1)得. 令，即. 则有.于是. 在轴方向作一平移，可设. 从而，积分得.同理，由可得.于是 . 4. (1) 证明：正螺面是极小曲面. (2) 证明：形如的极小曲面必定是正螺面.(1) 证明. 因为，所以，.又，所以，.因此，正螺面是极小曲面. (2) 证明. 曲面的参数方程为. 故，.，.所以，.由得到，化简：，即有.如果，则. 它表示一个平面，不是正螺面. 设. 则上式可化为，即，其中. 所以，其中是积分常数. 再积分一次，得.通过在轴方向作一平移，不妨设积分常数. 于是.在平面上取极坐标：，则，即 .再次沿轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程，其中. 它是正螺面. 6. 推导极小曲面所满足的微分方程.解. 曲面的参数方程为. 故，.，.所以，.由得到. -