小学中简单不定方程的应用.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date小学中简单不定方程的应用小学中简单不定方程的应用 小学中简单不定方程的应用摘要：方程是小学生首先接触到的知识内容，而不定方程则是在小学数学竞赛中常见的题目. 它为以后学习初中数学打下了基础，地位举足轻重，顺利而准确的掌握简单不定方程的求解方法，对于小学生来说是非常重要的. 在现实生活中，特别是一些具体事例中，它的应用是非常广泛的. 每年世界各地的竞赛中，不定方程问题都

2、占有一席之地. 它是培养和考察学生数学思维的好材料. 也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循. 而本文只针对小学中几种简单不定方程的求解方法做出总结. 二元一次不定方程的同余分析法、枚举法，三元一次不定方程的消元法，简单二元二次不定方程的因式分解法，并以常见的习题为例，对这些习题做具体的分析求解.关键词：不定方程；未知数；分析；枚举法；因式分解；消元法.引言： “方程”这个名词最早是源于我国古代最著名的数学著作九章算术，书的其中一章叫做“方程章”1. 它的内容相当于我们现在所说的线性方程组. 由于古代采用“竹筹”计

3、数，它是将长方形的系数由竹筹排列出来成为长方形，然后变动长方形的竹筹阵以求解答，这种“列筹成方”的课程就称为方程. 方程自古以来就是一个极富吸引力的数学研究课题. 不定方程是数论中最古老的一个分支. 所谓不定方程就是方程中的未知数的个数多于方程的个数的方程. 一般来说，它们的解受到某种限制，例如它们的解是整数，正整数或者是有理数等. 中国是研究不定方程最早的国家，公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题就标志了中国对不定方程理论有了系统研究. 古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此又称不定方程为丢番图方程. 尤其是在他的代表作算术一书中，最杰出的贡献就是创建不定方程理论. 实际上，我国

4、古代周髀算经就提出了商高定理“勾三股四弦五”2. 这表明不定方程有一组整数解早于丢番图的研究. 不定方程，它不仅自身发展十分活跃，而且广泛地应用于离散数学的其他各个领域. 它对于人们学习、研究和解决实际问题有着重要的引导作用. 因此，国内外许多数学爱好者对不定方程进行了广泛而又深入的研究. 在小学中，许多数学问题需要用不定方程来解. 对于不定方程，需要结合具体问题具体分析，如只求自然数解等，这样不定方程的解就有有限个了. 在这里，主要是分析一些小学数学中常见的不定方程的解法，例如：二元一次不定方程、三元一次不定方程（组）、简单二元二次不定方程.一、 二元一次不定方程及其应用 二元一次不定方程的

5、标准形式为： (为整数)3. 一般情况下，解方程时会出现方程有解或是无解. 对于二元一次不定方程有整数解的充要条件是：，前的系数（，）能整除. 这里还有一个关于二元一次不定方程的定理：若，是二元一次不定方程的一组整数解（特解），则此方程的所有整数解（称为通解）为 （为任意整数）. 对于小学生来说，一眼看出二元一次不定方程的一组特解是比较困难的. 因此，这里总结了两个比较简单的方法. 一是根据同余分析法，二是根据枚举法来解.4例1. 求不定方程的整数解. 首先，先判断这个二元一次不定方程是否有整数解. 这里的，分别为3，11，50，（3，11）能整除50. 所以，这个二元一次不定方程有整数解.

6、方法（一）：法 故 . 方法（二）：枚举法 先确定，的取值范围，.在这里选取的取值范围. 在取值范围内求出未知数x的值. 故满足条件的两组解为，.例2. 设A和B都是自然数，且满足，求A+B的值. 分析：这一题也是二元一次不定方程，只不过未知数的系数都是分数，因此，要先通分化简. 通分化简为： ， 可以根据枚举法来求：. 因为A和B都是自然数，所以A=3，B=3. A+B=6. 例3. 某工程队要在长为158米的路段铺设水管，现有17米和8米长的两种同样粗细的水管，问如何运用水管才能不浪费材料（铺设过程中不截取），又正好铺足158米. 分析：对于此类应用题，首先要理解题意.5有17米长和8米长

7、的水管，一共要铺设长为158米的路段. 也就是说分别一共需要多少根17米长的水管和多少根8米长的水管，使它们连接起来长为158米. 可以设需要长为17米的水管x根，8米长的水管y根. 可列方程为：. （），（）. 相应地，当 所以. 答：需要17米长的水管6根，8米长的水管7根. 二、三元一次不定方程、三元一次不定方程组及其应用 1、三元一次不定方程 （1）标准形式： （为整数） （2）有整数解的条件：（）能整除6. 例4. 一个三位数除以13，所得的商等于这个三位数各位数字之和，所有满足此条件的三位数之和是多少？ 分析：对于此类问题，首先还是要弄清题意，相应的设未知数. 设所求的三位数为.

8、可列方程： 移项化简： （） 只能去1. 当时， （） 可得满足条件的三位数为：117，156，195. 满足条件的三位数之和为：117+156+195=468. 2、三元一次不定方程组及其应用 三元一次不定方程组的解法主要采用的是消元法，使之变为二元一次不定方程，再根据二元一次不定方程的解法求解. 例5. 求解不定方程组的正整数解. 分析：方程中未知数前的系数较小，可以消去. 得： 化简为： 故可得三组整数解，. 例6. （中国古代问题） 公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问：公鸡、母鸡、小鸡各有几只7. 分析：可以设公鸡只，母鸡只，小鸡只. 根据题

9、意可列方程组 用消元法，化简得： （） 当时， 当时， 当时， 答：公鸡有4只，母鸡18只，小鸡78只. 或者公鸡有8只，母鸡11只，小鸡81只. 或者公鸡有12只，母鸡4只，小鸡84只.三、简单二元二次不定方程及其应用 对于一些非一次型不定方程，往往可以对不定方程中的代数式进行因式分解，同时再通过对方程中的常数项进行分解质因数，得出常数项的约数. 然后再根据约数与因式分解的情况，并且结合考虑求方程整数解的具体要求，列出某些方程组，从而可以求出原不定方程的整数解8. 例7. 求不定方程的正整数解. 分析：原方程可因式分解为，且当都是整数时，是整数，且都是15的约数. 所以，. 可解得方程的四组

10、解为，. 例8. 求不定方程的自然数解. 解：原方程可因式分解为 且当，是整数，y+1是整数. 且也都是12的约数. 所以，. 可得方程的六组整数解为，. 例9. 整数满足，求的值. 分析：此题是通过因式分解，添一个常数项来完成的. 解： 且当都是整数时，是整数，也是整数. 且都是18的约数. 所以，. 所得满足条件的一组解为， . 综上所述，解二元一次不定方程时，一般先确定一个未知数（系数较大的）的范围，然后在这个范围内一个一个的取值带入方程，求另一个未知数. 如果我们能将未知数的范围定的尽可能的小，那么我们尝试的次数就会相应的少. 另外未知数还受到其它一些条件的限制，因而结合题目的实际意义

11、，以及其他一些数的特征（如整除性、奇偶性），仔细观察，认真思考，找到一个更简单的解法. 对于三元一次不定方程与三元一次不定方程组，我们可以把它转化成熟悉的二元一次不定方程，然后根据二元一次不定方程来求未知数的值. 进而让我们理解，这种化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”的思想方法，是我们解决问题的一种很重要的思想. 这种将“三元”转化为“二元”的思想方法，我们把它称之为“消元法”，消元法是用来消去一个未知数，它是我们解三元一次不定方程组的关键. 在小学数学中，小学生会发现消元过程是很有意思的，运用这个方法，小学生可以解决许多的不定方程问题. 这就是化归思想9，这样学生对解方程的思路就会比

12、较清晰，能够较为顺利的实现化归目标，同时小学生们也会对这种新方法表现出极大的兴趣. 对于简单的二元二次不定方程，主要的解题方法就是因式分解. 运用因式分解这个方法，可以较为简单的转化为两个整式乘积的形式. 根据不同的题目，应用不同的解题方法. 不定方程问题富有趣味，耐人寻味，具有优美的技巧. 不定方程应用广泛，一些排列组合数问题和某些物理问题都可用不定方程解决，许多中小学竞赛题也因不定方程解法巧妙而引入不定方程问题. 因此，不论是现实生活还是理论上，不定方程都有着不可替代的作用. 参考文献： 1 顾长春，方程的来历，吾喜杂志，2011（3）；z1 2 王峰，周髀算经理论精度浅谈，才智，2010；32 3 潘承洞，潘承彪，处等数论，北京大学出版社，2003（1） 4 王凯成，n元一次不定方程解法新论，数学通报，2002；2 5 倪吉平，例谈应用题中二元二次不定方程的求解问题，数学教学研究，2008；12 6 黎前修，三元一次不定方程求整数解的两个新方法，重庆文理学院学报，1998；4 7 章瞻，不定方程及其应用，数学小灵通，2002；7-8 8 刘丽，二元二次不定方程的解及其可解性，科学通报，1997（1）；2 9 庄贵忠，化归思想及其应用，人民教育出版社，2010；-