同济六版高等数学第一章第四节课件.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页同济六版高等数学第一章第四节课件 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date上页下页铃结束返回首页一、无穷小 如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为

2、零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小 v无穷小的定义下页讨论 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？ 提示 无穷小是这样的函数 在xx0(或x)的过程中 极限为零 很小很小的数 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 上页下页铃结束返回首页一、无穷小 例1下页 因为01limxx 所以函数 因为0) 1(lim1xx 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小 因为011limnn 所以数列01limxx 所以函数x1为当 x时的无穷小 0) 1(lim1xx 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小 011limnn 所以数列11n为当 n时的无穷小 如果函

3、数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小 v无穷小的定义上页下页铃结束返回首页一、无穷小 如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小 v无穷小的定义 在自变量的同一变化过程xx0(或x)中 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)Aa 其中a是无穷小v定理1(无穷小与函数极限的关系) 定理1证明 例如 因为333212121xxx所以2121lim33xxx 333212121xxx 而021lim3xx 333212121xxx 而上页下页铃结束返回首页说明: 二、 无穷大 如果当xx0(或

4、x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为 当xx0(或x)时为无穷大的函数f(x) 按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说“函数的极限是无穷大”v无穷大的定义)(lim0 xfxx(或)(limxfx) 下页上页下页铃结束返回首页讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示 )(lim0 xfxxM0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M 下页二、 无穷大 如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为

5、v无穷大的定义)(lim0 xfxx(或)(limxfx) 上页下页铃结束返回首页正无穷大与负无穷大 )(lim)( 0 xfxxx )(lim)( 0 xfxxx 下页二、 无穷大 如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为 v无穷大的定义)(lim0 xfxx(或)(limxfx) 上页下页铃结束返回首页v铅直渐近线 11xy1的铅直渐近线 如果)(lim0 xfxx 则称直线0 xx是函数 yf(x)的图形 下页 例2 例 2 证明11lim1xx 证 证 因为M0 M1d 当0|x1|d 时 有 Mx|11| 所以11lim1xx 铅直渐近线上页下页铃结束返回首页v定理2(无穷大与无穷小之间的关系)结束定理2证明 在自变量的同一变化过程中 如果f(x)为无穷大 则)(1xf为无穷大 则)(1xf为无穷小 反之 如果 f(x)为无穷小 且 f(x)0 上页下页铃结束返回首页堂上练习1 . P42 第5题 2 . P42 第6题 3 . P42 第8题 作业P42 第3，7题