高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版).doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版).精品文档.圆锥曲线第1讲 椭圆【知识要点】一、 椭圆的定义1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点、的距离之和等于定长（）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作）大于这两个定点之间的距离（记作），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（）当时，点的轨迹是椭圆；（）当时，点的轨迹是线段；（）当时，点的轨迹不存在。注2：若用表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为（，），即.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通

2、常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：千万不可忘记。2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。二、 椭圆的标准方程（1） 焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）；（2） 焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在轴还是在轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟走，椭圆的焦点在轴；长半轴跟走，椭圆的焦点在轴。（1） 注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为（）或（）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在轴上还是轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设

3、为（，且）. 三、 椭圆的性质以标准方程（）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1） 范围：，；（2） 对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3） 顶点：左右顶点分别为，；上下顶点分别为，；（4） 长轴长为，短轴长为，焦距为；（5） 长半轴、短半轴、半焦距之间的关系为；（6） 准线方程：；（7） 焦准距：；（8） 离心率：且. 越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁；（9） 焦半径：若为椭圆在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有，；（10） 通径长：.注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点和右准线：为例，可求得其焦准距为.注2：椭圆的焦点弦指的

4、是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为（），过其焦点且垂直于轴的直线交该双曲线于、两点（不妨令点在轴的上方），则，于是该椭圆的通径长为.四、 关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指、的值或它们之间的关系，由这个关系结合，我们可以确定出、的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到、的值。（2

5、） 椭圆的标准方程中的参数、是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；、三者之间的关系：必须牢固掌握。（3） 求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数、。根据题目已知条件，我们列出以、为未知参数的两个方程，联立后便可确定出、的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在轴或轴上，则以、为未知参数的方程组只有一个解，即、只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以、为未知参数的方程组应有两个解，即、应有两个值。（4） 有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为，但此时、必须满足条件：，且. 五、 点与椭圆的位置关系点与椭圆（）的位置关系有以下三种情形：（）若，则点在椭

6、圆上；（）若，则点在椭圆外；（）若，则点在椭圆内；【例题选讲】题型1：椭圆定义的应用1. 平面内存在一动点到两个定点、的距离之和为常数（），则点的轨迹是（）A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段解：由题意知，（）当时，点的轨迹是椭圆；（）当时，点的轨迹是线段.故点的轨迹是椭圆或线段2. 已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为_.解：圆：的圆心坐标为，半径连接，由是直线的中垂线知，而，于是点的轨迹是以，为左右焦点的椭圆，其中，又该椭圆的中心为坐标原点故点的轨迹方程为3. 已知点，点是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，当点在圆周上运动时

7、，点的轨迹方程为_.解：圆：的圆心坐标为，半径连接，由是直线的垂直平分线知，而，于是点的轨迹是以，为左右焦点的椭圆，其中，又该椭圆的中心为的中点故点的轨迹方程为注：本题点的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点对称，其方程可由把椭圆沿轴向右平移了个单位得到。4. 方程表示的曲线是（）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段解：由，有这表明，点到定点的距离与它到定直线：的距离之比等于常数（）由椭圆的第二定义知，点的轨迹是椭圆，即方程表示的曲线是椭圆。5. 椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上。若线段的中点在轴上，则是的（）A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍

8、解：在椭圆中，于是又线段的中点在轴上，而是线段的中点于是（法一）在中，又由椭圆的定义，有联立、得，故，即是的7倍。（法二），而故，即是的7倍。6. 设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点。已知，是一个直角三角形的三个顶点，且，则=_.解：在椭圆中，于是，（）当时，又于是又联立、得，于是此时（）当时，而联立、得，于是此时故的值为2或题型2：求椭圆的方程7. （1）若方程表示椭圆，则的取值范围是_；（2）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_；（3）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_.解：（1）方程表示椭圆故当时，方程表示椭圆。（2） 方程表示焦点在轴上的椭圆故当时，方程表示焦点在轴

9、上的椭圆。（3） 方程表示焦点在轴上的椭圆故当时，方程表示焦点在轴上的椭圆。8. 已知椭圆的焦距为2，则=_.解：由题意知， 于是（）（）当椭圆的焦点在轴上时，于是由（）式，有（）当椭圆的焦点在轴上时，于是由（）式，有故的值为3或59. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且经过点，则该椭圆的方程为_.解：由题设条件知，（）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为（）则由该椭圆过点，有联立、得，于是此时该椭圆的方程为（）当该椭圆的焦点在轴上时，设其方程为（）则由该椭圆过点，有联立、得，于是此时该椭圆的方程为故所求椭圆的方程为或10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴，且经过两点，

10、则椭圆的方程为_.解：设所求椭圆的方程为（，且） 则由该椭圆过，两点，有，解得：故所求椭圆的方程为，即.11. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，离心率为. 若过的直线交于、两点，且的周长为16，那么的方程为_.解：由椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，可设其方程为（）而，即于是又于是故椭圆的方程为题型3：椭圆的性质12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的方程为_.解：不妨设所求椭圆的方程为（）设是该椭圆上任意一点，是其一个焦点令，则又，于是当，即点为椭圆的右顶点时，取得最小值，且；当，即点为椭圆的左顶点时，取得最大值，且.因而由题意，有 故

11、所求椭圆的方程为注：由本题可见，椭圆的右（左）顶点到右（左）焦点的距离最小，到左（右）焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。13. 已知椭圆的中心在坐标原点，在轴上的一个焦点与短轴的两个端点、的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点的距离为，则这个椭圆的方程为_.解：由该椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，可设其方程为（）设是该椭圆的右焦点，则与其较近的长轴的端点为于是有（）又，是该椭圆上的对称点，是该椭圆的右焦点又为等腰直角三角形，其中于是有，即又，即，代入（），得于是，故所求椭圆的方程为题型4：与椭圆的焦点有关的三角形问题14. 设是椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点

12、，且，则=_.解：在椭圆中，于是，在中，由余弦定理，有于是故15. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在该椭圆上. 若点、是一个直角三角形的三个顶点，则的面积为_.解：在椭圆中，于是，（）当以点或为直角顶点时，或，而或于是此时总有并且此种情形下，即点在椭圆上，满足题意。（）当以点为直角顶点时，设则又，于是此时这表明，此种情形下，点在椭圆外，不满足题意。故的面积为16. 已知、是椭圆在轴上的两个焦点，为椭圆上一点，.（1） 求该椭圆离心率的取值范围；（2） 求证：的面积只与该椭圆的短轴长有关.解（1）：由该椭圆的焦点在轴上，可设其方程为（）在中，由余弦定理，有又而，即于是又故该椭圆离心率的取值范围

13、是证（2）：由（1）知，故的面积只与该椭圆的短轴长有关题型5：椭圆中的最值问题17. 设是椭圆的左焦点，点是椭圆上的一个动点，为定点，则的最小值为_.解：在椭圆中，于是该椭圆的左右焦点分别为，故18. 若满足（），则的最大值、最小值分别为_.解：在椭圆（）中，于是该椭圆的左右焦点分别为，表示椭圆（）上的点与定点之间的连线的斜率令，则直线的方程为，即联立，得令则，（舍去）又，这里为椭圆（）的右顶点故，即的最大值为，最小值为19. 在直线：上任取一点，过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，则点的坐标为_时，所作的椭圆的长轴最短，此时该椭圆的方程为_.解：在椭圆中，于是该椭圆的左右焦点分别为，要使过点且以

14、椭圆的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短必须使最小设关于直线：的对称点为则由，即，得于是直线的方程为，即显然，使取得最小值的点即为直线与直线的交点联立，得此时故所求椭圆的方程为20. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则的最大值为_，此时点的坐标为_.解：在椭圆中，于是设则，并且于是，令，其对称轴为函数在上单调递增于是将代入方程中，得 故的最大值为6，此时点的坐标为.21. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率. 已知点到这个椭圆上一点的最远距离为，则该椭圆的方程为_，该椭圆上到点的距离为的点的坐标是_.解：由该椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，可设其方程为（）， 而，即

15、于是椭圆的方程可化为设是该椭圆上任意一点则令，其对称轴为（）当，即时，函数在上单调递减此时，于是 解得：这显然与矛盾，因此此种情况不存在。（）当时，这显然与矛盾，因此此种情况不存在。（）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减此时，于是 解得：，满足题意。由可知，所求椭圆的方程为将代入方程中，得：于是椭圆上到点的距离等于的点有两个，分别是，故该椭圆的方程为，并且该椭圆上到点的距离为的点的坐标是或.题型6：椭圆的离心率计算问题22. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_.解：由，成等差数列，有又（）式两边同时除以，得 解得：或（舍去）故该椭圆的离心率23. 已知

16、、是椭圆在轴上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是_.解：（法一）设正三角形的边长为则，于是， ，故该椭圆的离心率（法二），等式中的表示的外接圆的直径.故该椭圆的离心率24. 过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为椭圆右焦点。若，则该椭圆的离心率为_.解：（法一）在中， 又于是故该椭圆的离心率为（法二）在中，而，即解得：或（舍去）故该椭圆的离心率为25. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为_.解：（法一）不妨设椭圆的焦点在轴上，则其方程可设为（）设，则，于是由，有 又点在椭圆上于是又故椭圆的离心率为

17、（法二）不妨设椭圆的焦点在轴上设，则作于点则由，有，即又由椭圆的第二定义，有又于是又故椭圆的离心率为26. 在平面直角坐标系中，是椭圆（）的右焦点，直线与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率是_.解：在中，令，则于是，而又于是又于是又故该椭圆的离心率27. 已知为坐标原点，是椭圆：（）的左焦点，、分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点若直线经过的中点，则的离心率为_.解：由，有由，有于是有故的离心率（法二）直线：，即由，得，所以由，得，所以由，有故的离心率题型7：与椭圆有关的综合问题28. 椭圆内有一点，一直线经过点与椭圆交于、两点，弦被点平分，则直线的方程为_

18、.解：设，则，得，又的中点坐标为代入得，显然于是由有，即又直线过其中点故直线的方程为，即29. 已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若的中点坐标为，则的方程为_.解：椭圆：（）的右焦点为设，则 ， -得，又的中点坐标为代入得，显然于是由有，即又由、得，故椭圆的方程为Py30. 如图，设是圆上的一个动点，点是点在轴上的投影，为上一点，且.M（1） 当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；ODx（2） 求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.解：（1）设，则由题设条件知， 而点在圆上故点的轨迹的方程为（2） 过点且斜率为的直线的方程为，即点的轨迹的方程可化为设直线与的交点为，则直线被所截

19、线段的长度为联立，得由韦达定理，有于是故过点且斜率为的直线被所截线段的长度为31. 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与该椭圆交于点、和、记得到的平行四边形的面积为（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值解：（1）在椭圆，即中，（）当直线和的斜率均存在时，直线的方程为，即于是点到直线：的距离又四边形为平行四边形故（）当直线的斜率不存在（此时即为轴），直线的斜率存在时，此时点中，点到直线的距离（）当直线的斜率不存在（此时即为轴），直线的斜率存在时，此时点中，点到直线的距离故点到直线的距离，平行四边形的面积.（2） 由直线与的斜率之积为可知，直线、的斜率均存

20、在，且均不为零不妨设直线的斜率为则直线的方程为，并且直线的斜率为于是直线的方程为联立得 解得：联立得 解得：又由（1）知故32. 已知椭圆：（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（1）求椭圆的离心率；（2）如图，是圆：的一条直径，若椭圆经过、两点，求椭圆的方程解：（1）设则设，则故椭圆的离心率（2） 圆：的圆心为，半径由（1）知，于是椭圆：的方程可化为，即设直线的斜率为则直线的方程为，即设，联立得由韦达定理有又为的中点又故椭圆的方程为33. 已知点是椭圆上任意一点，点到直线：的距离为，到点的距离为，且. 直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方），且.（1） 求椭圆的方程；（2） 当点

21、为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；（3） 对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设，则，于是由，有化简整理，得：故椭圆的方程为（2） 椭圆的方程可化为联立，得 而又 而、都在轴上方 于是直线的方程为，即联立，得 解得：或（舍去）故直线的方程为，即（3） ，且、都在轴上方，并且直线的斜率存在设，则由，有（）设直线的方程为联立，得由韦达定理，有于是由（）式，有而于是直线的方程可化为这表明，直线总经过定点故对于动直线，总存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.34. 在平面直角坐标系中，点（）为动点，、分别

22、为椭圆的左、右焦点已知为等腰三角形（1）求该椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于、两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程解：（1）在椭圆中，为等腰三角形又，即解得或（舍去）故该椭圆的离心率（2） 由（1）知， 于是椭圆可化为，即又于是直线的方程为，即设联立得解得：， ，于是设点的坐标为则又在直线：上于是又于是有（）将（）式代入中，得而故点的轨迹方程为（）35. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点过点作的平行线交于点（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，过点且与垂直的直线与圆交于、两点求四边形面积的取值范围解：（1）圆，即圆的圆心为，

23、半径又于是有而 于是点的轨迹是以、为左右焦点的椭圆，其中故点的轨迹方程为（）（2） （）当直线不垂直于轴时，设其斜率为，显然则直线的方程为，即直线的方程为，即椭圆的方程可化为联立得由韦达定理，有于是又点到直线：，即的距离于是（）当直线垂直于轴时，于是此时故四边形面积的取值范围为36. 已知椭圆：的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为（）的直线交于、两点，点在上，（1）当，时，求的面积；（2）当时，求的取值范围解：（1）当时，椭圆的方程为，且、均在椭圆上为等腰直角三角形，其中，并且直线的倾斜角为于是，直线的方程为，即椭圆的方程可化为联立得，解得或（舍去），即于是故（2） 在椭圆中， 并且于是直线的方程为，即直线的方程为，即椭圆的方程可化为令联立得由韦达定理，有于是联立得则由韦达定理有于是又若，则（）式不成立，因此于是由式有，又故的取值范围是您好，欢迎您阅读我的文章，WORD文档可编辑修改，希望您提出保贵的意见或建议，让我们共同进步。