平面几何竞赛之三角形的“五心”2.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date平面几何竞赛之三角形的“五心”2平面几何竞赛讲座（三）三角形的“五心”平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是ABC内一点，I为ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.性质2：设I是

2、ABC内一点，AI所在直线交ABC 的外接圆于D，I为ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.性质3：设I是ABC内一点，I为ABC内心的充要条件是：BIC=900+A，AIC=900+B，AIB=900+C.证明：性质4：设I是ABC内一点，I为ABC内心的充要条件是：IBC、IAC、IAB的外心均在ABC的外接圆上.证明：性质5：设I为ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，SABC=pr=；海伦公式推导：(2)r=；(3)abcr=pAIBICI.性质6：设I为ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，A的平分线交BC于K，交ABC 的外接圆于D，则=.例1如图，设ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，B=600，AC,A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2RIO+IA+ICc,求SABC:SBKC.(1999年四川省竞赛题) 【例8】 设OA，OB，OC是ABC的三个旁切圆的圆心，证明：点A、B、C是OAOBOC三条高的垂足。-