2022年《平行线等分线段定理》教学设计 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载A B C D N M B C D N P E G F 平行线等分线段定理教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中几何第二册4.9 平行线等分线段定理（课本P176 P178）【教学目标】1识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导探究发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题，导入新课

2、1问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？2折法：（教师演示，学生动手）先将矩形（ ABCD ）纸对折，得折痕 MN （如图 1） ；再把 B 点叠在折痕MN 上，得到 RtBEP（如图 2） ；最后沿EP 折叠，便可得到（如图 1）等边 BEF（如图 2） 。（如图 2）3导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。二、复习引导，发现定理1复习提问（1）你能用尺规作图将一条线段2 等分吗？ 4 等分呢？你还会将一条线段几等分？（2）你能用尺规作图将一条线段3 等分吗？能否将一条线段任意等分呢？师：为了回答第2 个问题，让

3、我们先来做一个实验。2操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。3引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。4验证猜想教师用几何画板验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

4、 -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载三、归纳探究，证明定理1归纳：如果以3 条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1 写出“已知”和“求证”吗？已知：直线a / b / c， AB = BC （如图 1）求证： AB = BC 。2探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？（2）四边形ACCA 是什么四边形？（3）在梯形中常作什么样的辅助线？3证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。证法一：（略）参见课本P176的证法。证法二：过A、B 点作 AC 的平行线，分别交

5、直线b、c 于 D、 E（如图 2） 。 （以下证明略）注 1 结论与直线AC 的位置无关；注 2 对于 3 条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。4定理：推理形式：a / b / c，AB = BC ，AB = BC 。四、图形变式，引出推论1隐线变式，得推论1 在图 1 中，隐藏直线a、b、 c，得梯形 ACCA （如图 3） 。这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯形ACCA 中， AB=BC ， AA / BB / CC 。结论： AB = BC 。推论 1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。（图 3）（图 4）（图 5）（图 6）2运动变式，

6、得推论2 既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线 AC 平行向左移动， 得到变式图形4。这时定理在ACC 中的条件、结论各是什么？条件：在 ACC 中， BB /CC ，AB=BC 。结论： AB = BC 。推论 2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3变换图形，深化理解如果将直线AC 继续向左平行移动（如图5、6） ，这时定理的条件、结论有什么变化？cbaCBAABC（图 1）cbaCBAABC（图 2）D E 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。cbaBCCABAcbaBCCABAcbaBC C

7、ABABCCABA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载五、运用新知，解决问题1应用定理，等分线段（1）已知线段AB ，你能它三等分吗？依据是什么？（图 7）已知：线段AB （如图 7） 。求作：线段AB 的三等分点。作法： （略。见图8） （师生同步完成作图过程）注作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？（图 8）2应用推论，分解

8、图形例 1已知：如图9，在ABCD 中， M、N 分别是 AB、CD 的中点，CM 、AM 分别交 BD 于 E、F。求证： BE = EF = FD 。分析： （1）根据条件，你能得到哪些平行线？（图 9）（2）在图 9 中，有哪些与推论有关的基本图形？证明： （略。过程由学生自己完成）例 2已知：如图10，ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O，过点 A、B、C、D、O 分别作直线a 的垂线，垂足分别为 A 、B、C、D、O。求证： AD = BC 。分析： （1）你能在图10 中找到几个与推论有关的基本图形？（图 10）（2）在直线 a 上，有哪些线段是相等的？根据是什么？证明： （略

9、。过程由学生自己完成）思考：若去掉条件“AC 、BD 交于点 O” ，结论是否成立？3你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。2掌握两个推论推论 1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3了解三种思想化归思想定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。运动思想两个推论是通过定理图形运动

10、到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；ABCABDEFHGaABCDOADOBCABCDNMFE名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。七、达标检测，回授效果1已知：如图11，在梯形ABCD 中， AB/CD ，E 是 CD 的中点，EF/BC 交 AB 于 F，FG/ BD 交

11、AD 于 G。求证： AG = DG 。2如图 12，在 ABC 中， D 是 AB 的中点， DE/BC 交 AC 于 E，（图 11）EF/AB 交 BC 于 F。（1）求证： BF=CF ；（2）图中与DE 相等的线段有；（3）图中与EF 相等的线段有；（4）若连结DF，则 DF 与 AC 的位置关系是，数量关系是。 （图 12）八、课后作业，巩固新知1求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2已知：如图13， AD 是 ABC 的中线， E 是 AD 的中点，AE 的延长线交AC 于 F。求证： FC = 2AF。（图 13）附：板书设计49 平行线等分线段定理定理：如果一组

12、平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。直线 a / b / c，AB = BC AB = BC 。推论 1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。在梯形 ACCA 中， AB=BC ，AA / BB / CC 。AB = BC 。推论 2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。在 ACC 中， AB=BC ，BB / CC. AB = BC 。ABCDGFEABCDFEcbaCBAABCB C C A B B C C A B A ABCDEF名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

13、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一、动手操作二、例题研究例 1已知：线段AB（如图）。求作：线段AB 的三等分点。例 2已知：如图，在ABCD 中， M、N 分别是 AB、CD 的中点，CM 、AM 分别交 BD 于 E、F。求证： BE = EF = FD 。例 3已知：如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点 O，过点 A、B、C、D、O 分别作直线a 的垂线，垂足分别为A 、B、C、D、O。求证： AD = BC 。A B ABCDNMFEaABCDO

14、ADOBC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载三、达标检测1已知：如图，在梯形ABCD 中， AB/CD ，E 是 CD 的中点，EF/BC 交 AB 于 F，FG/ BD 交 AD 于 G。求证： AG = DG 。2如图，在 ABC 中， D 是 AB 的中点， DE/BC 交 AC 于 E， EF/AB 交 BC 于 F。（ 1）求证： BF=CF；（ 2）图中与DE 相等的线段有； （3）图中与EF 相等的线段有；（ 4）连结 DF，则 DF 与 AC 的位置关系是，数量关系是。四、课后作业1求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2已知：如图，AD 是 ABC 的中线， E 是 AD 的中点， AE 的延长线交AC 于 F。求证： FC = 2AF。ABCDGFEABCDFEABCDEF名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -