2022年《概率论与数理统计》第五章习题 .pdf

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1、习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计 P10 X1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30 根短于 3m 的概率是多少？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 【解】 设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2）从而30 100 0.2301301100 0.2 0.8P XP X1(2.

2、5)10.99380.0062.6. 某药厂断言， 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100 个服用此药品的病人，如果其中多于75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （ 1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（ 2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】1,1,2,100.0,.iiXi第 人治愈其他令1001.iiXX(1) XB(100,0.8)，100175100 0.8751751100 0.8 0.2iiPXP X1( 1.25)(1.25)0.894

3、4.(2) XB(100,0.7)，100175 100 0.7751751100 0.7 0.3iiPXP X51()1(1.09)0.1379.217. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000 件，其中有20 件废品的概率 . 【解】 令 1000 件中废品数X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5. 故12050130206.8956.89547.547.5P X61304.5 10 .6.8956.8958. 设有 30 个电子器件 .它们的使用寿命T1，T30服从参数 =0.1单位

4、： （小时） -1的指数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分布， 其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推 .令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求T 超过 350 小时的概率 . 【解】11()10,0.1iE T21()1 0 0 ,iD T()1030300,E T()3 0 0 0.D T故3503005350111(0.913)0.1814.300030P T9. 上题中的电子

5、器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306 个工作日，每个工作日为8 小时） . 【解】 设至少需n 件才够用 .则 E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n. 从而130680.95,niiPT即306 8100.05.10nn故102448244.80.95,1.64,272.10nnnnn所以需 272a 元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、 2 名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400 名学生，设各学生参加

6、会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X 超过 450 的概率？（2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于340 的概率 . 【解】 （1） 以 Xi(i=1,2, ,400) 记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为Xi0 1 2 P0.05 0.8 0.15 易知 E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2, ,400.而400iiXX,由中心极限定理得400400 1.14001.1(0,1).4000.194 19iiXXN近似地于是450400 1.1450145014 19P XP X1(1.147)0.1357.(2) 以

7、 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 340400 0.8340(2.5)0.9938.400 0.8 0.2P Y11. 设男孩出生率为0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】 用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则XB（ 10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的

8、概率，即求PX 5000. 由中心极限定理有5000 10000 0.5155000( 3)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】 用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2, ,1000 ）. 令Sn=X1+X2+ X1000. (1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求Pm Sn 1000 0.95，事件9001000 0.9.1000 0.9 0.190nnSmmS由中心极限定理

9、知：1000 0.9110.95.1000 0.9 0.1nnmP mSP Sm从而9000.05,90m故9001.65,90m所以m=900-15.65=884.35 884 人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P0 Sn M 0.95.9000.95.90nMP SM查表知90090M=1.65,M=900+15.65=915.65 916人. 13. 在一定保险公司里有10000 人参加保险，每人每年付12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000 元赔偿费 .求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于600

10、00 元的概率为多大？【解】 设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB（10000，0.006）. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - (1) 公司没有利润当且仅当“1000 X=10000 12”即 “ X=120”.于是所求概率为1120 10000 0.00612010000 0.006 0.99410000 0.006 0.994P X21(60/59.64)230.181116011

11、e59.6459.64259.640.0517 e0(2) 因为 “ 公司利润 60000 ”当且仅当 “ 0X 60”于是所求概率为6010000 0.0060 10000 0.00606010000 0.006 0.99410000 0.006 0.994PX60(0)0.5.59.6414. 设随机变量X 和 Y 的数学期望都是2，方差分别为1 和 4，而相关系数为0.5 试根据契比雪夫不等式给出P|X-Y| 6 的估计 . （2001 研考）【解】 令 Z=X-Y，有( )0,()()()( )2()( )3.XPE ZD ZD XYD XD YD XD Y所以2()31|() | 6

12、| 6.63612D XYPZE ZPXY15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中， 被盗索赔户占20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1） 写出 X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率近似值. （1988 研考）【解】 （1） X 可看作 100 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此， XB(100,0.2)，故 X 的概率分布是100100C0.2 0.8,1,2,100.kkkP Xkk(2) 被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概

13、率即为事件14 X 30的概率 .由中心极限定理，得30 100 0.214 100 0.21430100 0.2 0.8100 0.2 0.8PX(2.5)( 1.5)0.994 9.330.927.16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重量为5 吨的汽车承运， 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第

14、 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 【解】 设 Xi（i=1,2, , n）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把 X1，X2，Xn视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量Tn=X1+X2+ Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：()5 0,iE X()5 ,iD X()5 0 ,nE Tn()5.nD Tn依中心极限定理，当n 较大时，50(0,1)5nTnNn近似地,故箱数 n 取决于条件505000 50500055nnTnnP TPnn1000 100.977(2).nn因此可从1000102nn解出 n98.0199, 即最多可装98 箱. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -