2022年【强烈推荐】高中数学解析几何公式与题型 .pdf

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1、1 高中数学解析几何公式与题型解析几何中的基本公式1、 两点间距离：若)y,x(B),y,x(A2211，则212212)()(yyxxAB特别地：x/AB轴，则AB。y/AB轴，则AB。2、 平行线间距离：若0CByAx:l,0CByAx:l2211则：2221BACCd注意点： x，y 对应项系数应相等。3、 点到直线的距离：0CByAx: l),y,x(P则 P 到 l 的距离为：22BACByAxd4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：0)y,x(Fbkxy消 y：02cbxax，务必注意. 0若 l 与曲线交于A),(),(2211yxByx则：2122)(1 (xxkAB5、 若 A

2、),(),(2211yxByx，P（x，y） 。P 在直线AB 上，且P分有向线段AB 所成的比为，则112121yyyxxx，特别地：=1 时， P 为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - - 2 AB 中点且222121yyyxxx变形后：yyyyxxxx2121或6、 若直线 l1的斜率为k1，直线 l2的斜率为k2，则 l1到 l2的角为),0(,适用范围： k1，k2都存在且k1k21 ，21

3、121tankkkk若 l1与 l2的夹角为，则tan21211kkkk，2,0(注意： （1）l1到 l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围),0(l1到 l2的夹角：指l1、l2相交所成的锐角或直角。（2）l1l2时，夹角、到角=2。（3）当 l1与 l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。7、 （1）倾斜角，), 0(；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - 3 （2）0,

4、，夹角ba；（3）直线 l 与平面20 ，的夹角；（4）l1与 l2的夹角为，20 ，其中 l1/l2时夹角=0；（5）二面角,0(；（6）l1到 l2的角)0( ，8、 直线的倾斜角与斜率 k 的关系a) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为，则 k=tan。9、 直线 l1与直线 l2的的平行与垂直（1）若 l1，l2均存在斜率且不重合： l1/l2k1=k2 l1l2k1k2=1 （2）若0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl若 A1、A2、B1、B2都不为零l1/l2212121CCBBAA；l1l2A1A2+B1B2=0；l1与 l2相

5、交2121BBAAl1与 l2重合212121CCBBAA；注意：若A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。10、直线方程的五种形式名称方程注意点斜截式：y=kx+b 应分斜率不存在斜率存在点斜式：)(xxkyy（1）斜率不存在：xx（2） 斜率存在时为)(xxkyy两点式：121121xxxxyyyy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - 4 截距式：1byax其中 l 交 x 轴

6、于)0,(a， 交 y 轴于),0(b当直线 l 在坐标轴上， 截距相等时应分：（1）截距 =0 设 y=kx （2）截距 =0a设1ayax即 x+y=a一般式：0CByAx（其中 A、B 不同时为零）10、确定圆需三个独立的条件圆的方程（1）标准方程：222)()(rbyax，半径圆心， rba),(。（2）一般方程：022FEyDxyx， （)0422FED,)2,2(圆心ED2422FEDr11、直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若22BACBbAad，0相离rd0相切rd0相交rd12、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1， O2，半径分别为r1，r2

7、，dOO21条公切线外离421rrd条公切线外切321rrd条公切线相交22121rrdrr条公切线内切121rrd无公切线内含210rrd名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 30 页 - - - - - - - - - 5 外离外切相交内切内含13、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义：若F1，F2是两定点， P 为动点，且21212FFaPFPF（a为常数）则 P 点的轨迹是椭圆。定义：若F1为定点， l 为定直线，动点P 到 F1

8、的距离与到定直线l 的距离之比为常数 e（ 0e1 ） ，则动点P的轨迹是双曲线。（二）图形：（三）性质方程：12222byax)0,0(ba12222bxay)0,0(ba名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - - 7 定义域：axaxx或；值域为 R；实轴长 =a2，虚轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程：cax2焦半径：)(21caxePF，)(22xcaePF，aPFPF221；注意： （1）图中

9、线段的几何特征：1AFacBF2，2AFcaBF1顶点到准线的距离：caacaa22或；焦点到准线的距离：caccac22或两准线间的距离=ca22（2）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：02222byaxxaby若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上）（3）特别地当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；（4）注意21FPF中结合定义aPFPF221与余弦定理21cosPFF，将有关线段1PF、2PF、21FF

10、和角结合起来。（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。二、抛物线（一）定义：到定点F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e（e=1） 。（二）图形：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - - 8 （三）性质：方程：焦参数pppxy),0( ,22；焦点：)0,2(p，通径pAB2；准线：2px；焦半径：,2pxCF过焦点弦长pxxpxp

11、xCD212122注意： （1）几何特征：焦点到顶点的距离=2p；焦点到准线的距离=p；通径长 =p2顶点是焦点向准线所作垂线段中点。（2）抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2 ,2(2ptptPPpxyyx2),(2其中解析几何新题型【考点透视】一直线和圆的方程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - 9 1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两

12、点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系3了解二元一次不等式表示平面区域4了解线性规划的意义，并会简单的应用5了解解析几何的基本思想，了解坐标法6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程二圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4了解圆锥曲线的初步应用【例题解析】考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手

13、,构造方程解之. 例 1若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C4D4考查意图 : 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162xy的右焦点为 (2,0) ，所以抛物线22ypx的焦点为 (2,0) ，则4p，故选 D. 考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之 . 例 2已知抛物线y-x2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B，则 |AB| 等于A.3 B.4 C.32D.42考查意图 : 本题主要考查直线与圆锥曲线

14、的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - - 10 进而可求出AB的中点11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0 xy上可求出1b，220 xx，由弦长公式可求出221 114( 2)3 2AB故选 C 例 3如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分

15、于1234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFP F_. 考查意图 : 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516xy的方程知225,5.aa12345677277535.2aPFPFPFPFPFPFPFa故填 35. 考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的 离心率 eac(0,1) ( e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的 离心率 eac (1, ) (e 越大则双曲线开口越大). 结合有关知识来解题. 例 4已知双曲线的离心率为2，焦

16、点是( 4,0)，(4,0)，则双曲线方程为A221412xyB221124xyC221106xyD221610 xy考查意图 :本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：2,4,ceca所以22,12.ab故选 (A). 小结 : 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例 5已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（）A. 2B.332C. 2 D.4 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

17、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - - 11 考查意图 : 本题主要考查双曲线的性质和离心率 eac(1, ) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知3293,322baca考点 4.求最大 (小)值求最大 (小 )值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 (小)值 :特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. 例 6 已知抛物线y2=4x,过点 P(4,0) 的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y

18、2)两点，则 y12+y22的最小值是 . 考查意图 : 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法 .解:设过点 P(4,0) 的直线为224 ,8164 ,yk xkxxx122222222122284160,8414416 232.k xkxkkyyxxkk故填 32. 考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例 7在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 22的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆9222yax=1 与圆

19、 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q，使 Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF的长 .若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解答过程 (1) 设圆 C 的圆心为(m, n) 则,222,mnn解得2,2.mn所求的圆的方程为22(2)(2)8xy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

20、- - - - - - - 第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - - 12 (2) 由已知可得210a，5a椭圆的方程为221259xy, 右焦点为F( 4, 0) ; 假设存在Q 点22 2 cos ,22 2sin使QFOF, 22222 cos4222 sin4整理得si n3 c os22， 代入22sincos1得:210cos12 2cos70, 122812 222cos11010因此不存在符合题意的Q 点. 例 8如图 ,曲线 G 的方程为)0(22yxy.以原点为圆心，以)0(tt为半径的圆分别与曲线G 和 y 轴的正半轴相交于A 与点 B. 直线 AB

21、 与 x 轴相交于点C. （）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式；（）设曲线G 上点 D 的横坐标为2a,求证：直线CD 的斜率为定值 . 考查目的 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. 解答过程 （I）由题意知，).2,(aaA因为.2,|22taatOA所以由于.2,02aatt故有（1）由点 B（0， t） ， C（ c，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1tycx又因点 A 在直线 BC 上，故有, 12taca将（ 1）代入上式，得, 1)

22、2(2aaaca解得)2(22aac. （II）因为)2(22(aaD，所以直线CD 的斜率为1)2(2)2(2) )2(22(2)2(22)2(2aaaaaacaakCD，所以直线 CD 的斜率为定值. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - - 13 例 9已知椭圆2222xyE :1(ab0)ab，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦 AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆 E 的右准线为相

23、应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点N(4,1)，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e之间满足1ee1，求：（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线C 的方程 . 解答过程：（ 1）设 A、B 坐标分别为1122A(x ,y ), B(x , y )，则221122xy1ab，222222xy1ab，二式相减得：21212AB21212yy(xx )bkxx(yy )a2MN22b1( 1)k1a24，所以2222a2b2(ac )，22a2c ，则c2ea2；（2）椭圆 E 的右准线为22a(2c)x2ccc，双曲线的离心率11e2e，设P(x, y)是双曲线上任一点，则：22(x2)(y1)

24、| PM |2|x2c| x2c |，两端平方且将N(4,1)代入得：c1或c3，当c1时，双曲线方程为：22(x2)(y1)0，不合题意，舍去；当c3时，双曲线方程为：22(x10)(y1)32，即为所求 . 小结： （1）“ 点差法 ” 是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：例 10双曲线C 与椭圆22184xy有相同的焦点，直线y=x3为 C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程；(2)过点 P(0,4) 的直

25、线l， 交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点 （Q 点与 C 的顶点不重合） .当12PQQAQB，且3821时，求 Q 点的坐标 . 考查意图 : 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的能力. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 30 页 - - - - - - - - - 14 解答过程：（）设双曲线方程为22221xyab, 由椭圆22184xy

26、,求得两焦点为( 2,0),(2,0)，对于双曲线:2C c，又3yx为双曲线C的一条渐近线3ba解得221,3ab，双曲线C的方程为2213yx（）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零. 设l的方程：114,(,)ykxA x y，22(,)B xy,则4(,0)Qk. 1PQQA,11144(, 4)(,)xykk. 111111114444()44xkkxkkyy11(,)A x y在双曲线C上，2121111616()10k. 222211161632160.3kk2221116(16)32160.3kk同理有：2222216(16)32160.3kk若2160,k则直线l过顶

27、点，不合题意.2160,k12,是二次方程22216(16)32160.3kxxk的两根 . 122328163k,24k，此时0,2k. 所求Q的坐标为( 2,0). 解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程，11224,(,),(,)ykxA xyB xy，则4(,0)Qk. 1PQQA，Q分PA的比为1. 由定比分点坐标公式得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 30 页 - - - - - - - - - 15 1111

28、111111144(1)14401xxkkyy下同解法一解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：11224,(,),(,)ykxA xyB xy，则4(,0)Qk. 12PQQAQB，111222444(, 4)(,)(,)xyxykkk. 11224yy，114y，224y，又1283，121123yy,即12123()2yyy y. 将4ykx代入2213yx得222(3)244830kyyk. 230k，否则l与渐近线平行. 212122224483,33kyyy ykk. 222244833233kkk.2k( 2,0)Q. 解法四： 由题意知直线l 得斜率 k 存在且

29、不等于零，设l的方程：4ykx，1122(,),(,)A x yB xy,则4(,0)Qk1PQQA,11144(, 4)(,)xykk. 1114444kkxxk.同理1244kx. 1212448443kxkx. 即2121225 ()80k x xk xx. （*）又22413ykxyx消去 y 得22(3)8190kxkx. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 30 页 - - - - - - - - - 16 当230k时，则直线

30、l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k. 由韦达定理有：12212283193kxxkx xk代入（ *）式得24,2kk. 所求 Q 点的坐标为( 2,0). 例 11设动点 P 到点 A(l，0)和 B(1，0)的距离分别为d1和 d2，APB 2 ,且存在常数(0 1,使得 d1d2 sin2 （1）证明：动点P 的轨迹 C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点 B 作直线交双曲线C 的右支于M、N 两点 ,试确定 的范围 , 使OMON0,其中点 O 为坐标原点考查目的 本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解

31、答过程 解法 1： （1）在PAB中，2AB，即222121222cos 2ddd d，2212124()4sinddd d，即2121244sin2 12ddd d（常数），点P的轨迹C是以AB，为焦点，实轴长22 1a的双曲线方程为：2211xy（2）设11()M xy，22()N xy，当 MN 垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，(11)N，在双曲线上即2111511012，因为01，所以512当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为(1)yk x由2211(1)xyyk x得：2222(1)2(1)(1)()0kxk xk，由题意知：2(1)0k，所以21222(1)(1)kxx

32、k，2122(1)()(1)kx xk于是：22212122(1)(1)(1)ky ykxxk名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - - 17 因为0ONOM，且MN，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x xy ykxxkx x由知，51223解法 2： （1）同解法1 （2）设11()M xy，22()N xy，MN的中点为00()E xy，当121

33、xx时，221101MB，因为 01，所以512；当12xx时，002222212111111yxkyxyxMN又001MNBEykkx所以22000(1) yxx；由2MON得222002MNxy，由第二定义得2212()222MNe xxa22000111(1)211xxx所以222000(1)2(1)(1)yxx于是由22000222000(1),(1)2(1)(1) ,yxxyxx得20(1).23x因为01x，所以2(1)123，又01，解得：51223由知51223考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利

34、用解析几何知识建立等量关系容易. 例 12设椭圆E 的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，离心率为33，过点 C( 1,0) 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点， 且CA2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - - 18 CBAoyx程.解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x3yt(t0) ，直线方程为myx1，由222x3ytmyx

35、1得：22(2m3)y4my2t0，设1122A(x ,y ), B(x ,y )，则1224myy2m3 又CA2BC，故1122(x1,y )2( 1x ,y )，即12y2y 由得：128my2m3，224my2m3，则AOB1221mS| yy |6 |22m366322| m|m|，当23m2，即6m2时，AOB 面积取最大值，此时2122222t32my y2m3(2m3)，即t10，所以，直线方程为6xy102，椭圆方程为222x3y10. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例 13已知PA(x5, y)， PB(x5, y) ，且| P

36、A |PB |6，求| 2x3y12|的最大值和最小值 . 解答过程：设P(x, y) ， A(5,0) ，B(5,0)，因为|PA | PB|6，且|AB |256，所以，动点P 的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长为6 的椭圆，椭圆方程为22xy194，令x3cos , y2sin，则|2x3y12 |62 cos()12|4，当cos()14时，| 2x3y12|取最大值126 2，当cos()14时，|2x3y12 |取最小值126 2. 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终

37、都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 30 页 - - - - - - - - - 19 问题 . 例 14 （2006 年福建卷）已知椭圆2212xy的左焦点为F，O 为坐标原点 . （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点G，求点 G 横坐标的取值范围. 考查意图 :本小题主要考查直线、

38、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（ I）222,1,1,( 1,0), :2.abcFlx圆过点 O、F，圆心 M 在直线12x上. 设1(, ),2Mt则圆半径13()( 2).22r由,OMr得2213(),22t解得2.t所求圆的方程为2219()(2).24xy（II）设直线AB 的方程为(1)(0),yk xk代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk直线 AB 过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x yB xyAB中点00(,),N xy则21224,21kxxkA

39、B的垂直平分线NG 的方程为001().yyxxk令0,y得222002222211.21212124210,0,2GGkkkxxkykkkkkx点 G 横坐标的取值范围为1(,0).2xylGABFO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 30 页 - - - - - - - - - 20 FEPDBAOyx例 15已知双曲线C：2222xy1(a0,b0)ab，B 是右顶点， F 是右焦点，点A 在 x 轴正半轴上，且满足| OA |,|

40、OB |,| OF |成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，（1）求证：PA OPPA FP；（2）若l与双曲线C 的左、 右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围 . 解答过程：（ 1）因|OA |,| OB |,| OF |成等比数列，故22|OB |a| OA |c| OF|，即2aA(,0)c，直线l：ay(xc)b，由2ay(xc)aabbP(,)bccyxa，故：22abaabbabPA(0,),OP(,),FP(,)ccccc，则：222a bPA OPPA FPc，即PA OPPA FP；（或PA (OPFP)PA (PF

41、PO)PA OF0，即PA OPPA FP）（2）由44422222222222222ay(xc)aaa c(b)x2cx(a b )0bbbbb xa ya b，由4222212422a c(a b )bx x0abb得：4422222babcaae2e2.（或由DFDOkkabba22222bcaae2e2）小结： 向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例 16已知a(x,0)，b(1,y)，(a3b)(a3b)，（ 1）求点P(x, y)的轨迹 C 的方程；（ 2）若直线ykxm(m0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D(0,1)，且

42、|AD | |BD |，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 30 页 - - - - - - - - - 21 试求 m 的取值范围 . 解答过程：（ 1）a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，因(a3b)(a3b)，故(a3b) (a3b)0，即22(x3,3y) (x3,3y)x3y30，故 P 点的轨迹方程为22xy13. （2）由22ykxmx3y3得：222(13k )x6kmx3

43、m30，设1122A(x ,y ), B(x ,y )，A、B 的中点为00M(x,y )则22222(6km)4(13k )( 3m3)12(m13k )0，1226kmxx13k，1202xx3kmx213k，002mykxm13k，即 A、B 的中点为223kmm(,)13k13k，则线段 AB 的垂直平分线为：22m13kmy()(x)13kk13k，将D(0,1)的坐标代入，化简得：24m3k1，则由222m13k04m3k1得：2m4m0，解之得m0或m4，又24m3k11，所以1m4，故 m 的取值范围是1(,0)(4,)4. 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生

44、增根现象. 考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题， 其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例 17已知 A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心 O，且AC BC0，| BC|2 |AC |，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 30 页 - - - - - - - - - 22

45、PQCBAxyO（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ的平分线垂直于OA ，是否总存在实数，使得PQ AB？请说明理由；解答过程：（ 1）以 O 为原点， OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222xy14b，不妨设 C 在 x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC | 2 | AC | 2 |OC |AC | |OC |，又AC BC0ACOC，即 OCA为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b3，即，椭圆方程为22x3y144；（2）假设总存在实数，使得PQ AB，即AB/ PQ，由C(1,1)得B(1, 1)

46、，则AB0( 1)1k2( 1)3，若设 CP ：yk(x1)1，则 CQ ：yk(x1)1，由22222x3y1(13k )x6k(k1)x3k6k1044yk(x1)1，由C(1,1)得x1是方程222(13k )x6k(k1)x3k6k10的一个根，由韦达定理得：2PP23k6k1xx113k，以k代 k 得2Q23k6k1x13k，故PQPQPQPQPQyyk(xx )2k1kxxxx3，故AB/ PQ，即总存在实数，使得PQ AB. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 名师归纳总结 精品学习资料

47、 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - - 23 考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下， 是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例 18设 G、M 分别是ABC的重心和外心，A(0,a)，B(0,a)(a0)，且GMAB，（ 1）求点 C 的轨迹方程；（ 2）是否存在直线m ，使m 过点(a, 0)并且与点C的

48、轨迹交于P、 Q 两点，且OP OQ0？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（ 1）设C(x, y)，则xyG(,)3 3，因为GMAB，所以GM/ AB，则xM(,0)3，由 M 为ABC的外心，则|MA | |MC |，即2222xx()a(x)y33，整理得：2222xy1(x0)3aa；（2）假设直线m 存在，设方程为yk(xa)，由2222yk(xa)xy1(x0)3aa得：22222(13k )x6k ax3a (k1)0，设1122P(x ,y ),Q(x, y )，则21226k axx13k，221223a (k1)x x13k，2221212121

49、2y yk ( xa) ( xa )k x xa ( xx )a 2222k a13k，由OP OQ0得：1212x xy y0，即2222223a (k1)2k a013k13k，解之得k3，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m，其方程为y3(xa). 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 30 页 - - - - - - - - -

50、 24 结果，然后做出正确的判断；（ 2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】一、选择题1如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1yx3，那么双曲线方程是（）A22xy1369B22xy1819C22xy19D22xy11832已知椭圆2222xy13m5n和双曲线2222xy12m3n有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（）A.15xy2B. 15yx2C. 3xy4D. 3yx43已知12F,F为椭圆2222xy1(ab0)ab的焦点， M 为椭圆上一点，1MF垂直于 x 轴，且12FMF60