2022年2021年高考天津卷理科数学真题及答案 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时 120分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上， 答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1每小题选出答案后， 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：

2、如果事件A，B互斥，那么()()( )P ABP AP B . 如果事件A，B相互独立，那么()( )( )P ABP A P B . 棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载的高. 棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 . 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (

3、1) 设全集为 R，集合02Axx，1 Bx x，则()RIABe(A) 01xx(B) 01xx(C) 12xx(D) 02xx(2) 设变量x，y满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy则目标函数35zxy的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 20，则输出T的值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19

4、 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载(4) 设xR，则“11|22x”是“31x”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5) 已知2log ea，ln 2b，121log3c，则a，b，c的大小关系为(A) abc(B) bac(C) cba(D) cab名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载(6)

5、将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数(A) 在区间35,44上单调递增(B) 在区间3, 4上单调递减(C)在区间53,42上单调递增(D) 在区间3, 2 2上单调递减(7) 已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 2， 过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为 (A) 221412xy(B) 221124xy(C) 22139xy(D) 22193xy(8) 如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD. 若点E为边C

6、D上的动点，则uu u r uurAE BE的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9) i是虚数单位，复数67i12i . (10) 在51()2x

7、x的展开式中，2x的系数为 . (11) 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M( 如图) ，则四棱锥MEFGH的体积为 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载(12) 已知圆2220 xyx的圆心为C，直线21,2232xtyt(t为参数 ) 与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为 . (13) 已

8、知,a bR， 且36 0ab， 则128ab的最小值为 . (14) 已知0a，函数222,0,( )22 ,0.xaxaxf xxaxa x若关于x的方程( )f xax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是 . 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 . （15） （本小题满分 13 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sincos()6bAaB. （I ）求角B的大小；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

9、 - - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（II ）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值.(16) ( 本小题满分 13 分)已知某单位甲、 乙、丙三个部门的员工人数分别为24， 16， 16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充足，现从这7人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 . （i ）用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii

10、）设A为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率 . (17)( 本小题满分 13 分) 如图，ADBC且AD=2BC，ADCD,EGAD且EG=AD，CDFG且CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2. （I ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MNCDE平面；（II ）求二面角EBCF的正弦值；（III ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为 60，求线段DP的长. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

11、 - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载(18) ( 本小题满分 13 分)设na是等比数列，公比大于0，其前n项和为()nSnN，nb是等差数列 . 已知11a，322aa，435abb，5462abb. （I ）求na和nb的通项公式；（II ）设数列nS的前 n 项和为()nTnN，（i ）求nT；（ii ）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnkknN. (19) ( 本小题满分 14 分)设椭圆22221xxab(ab0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为( ,0)b，

12、且6 2FBAB. （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为P，且l名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载与直线AB交于点Q. 若5 2sin4AQAOQPQ(O为原点 ) ，求k的值. (20) ( 本小题满分 14 分)已知函数( )xf xa，( )logag xx，其中a1. （I ）求函数( )( )lnh xf xxa的单调区

13、间；（II ）若曲线( )yf x在点11(,()xf x处的切线与曲线( )yg x在点22(,()xg x处的切线平行，证明122ln ln()lnaxg xa；（III ）证明当1eea时，存在直线l，使l是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分，满分 4

14、0分（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分，满分 30分（9）4i （10）52（11）112（12）12（13）14（14）(4 8)，三、解答题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦

15、定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分13 分（）解：在ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由sincos()6bAaB，得sincos()6aBaB，即sincos()6BB，可得tan3B又因为(0 )B，可得B=3（）解：在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=3，有2222cos7bacacB，故b=7由sincos()6bAaB，可得3sin7A因为ac，故2cos7A因此4 3sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB431133 3727214（16）本小题主

16、要考查随机抽样、 离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13 分（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2 人，2 人（）（ i ）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共

17、19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载所以，随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 P 13512351835435随机变量X的数学期望11218412()0123353535357E X（ii ）解：设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有2 人”；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有1 人”，则A=BC，且B与C互斥，由（ i ）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67所以，事件A发生的概率为67（17）本小题主要考查直线与平面平行

18、、二面角、直线与平面所成的角等基础知识 考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13 分依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 1

19、9 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（）证明：依题意DC= （0，2，0），DE= （2，0，2）设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则0000DCDE，nn即20220yxz，不妨令 z=1，可得n0= （1，0，1）又MN= （1，32，1），可得00MNn，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE（）解：依题意，可得BC=（1，0，0），(12 2)BE，CF=（0，1，2）设n= （x，y，z）为平面BCE的法向量，则00BCBE，nn即0220 xxyz，不妨令z=1，可得n=（0，1，1）设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则00BCB

20、F，mm即020 xyz，不妨令z=1，可得m=（0，2，1）因此有 cos=3 10|10m nmn，于是 sin=1010所以，二面角EBCF的正弦值为1010（）解：设线段DP的长为h（h0，2），则点P的坐标名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载为（0，0，h），可得( 12)BPh，易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故22cos5BP DCBP D

21、CBP DCh，由题意，可得225h=sin60 =32，解得h=330，2 所以线段DP的长为33. （18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识 . 考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力 . 满分 13 分. （I ）解：设等比数列na的公比为q.由1321,2,aaa可得220qq. 因为0q，可得2q，故12nna. 设等 差 数 列nb的 公 差为d， 由435abb，可 得134.bd由5462abb，可得131316,bd从而11,1,bd故.nbn所以数列na的通项公式为12nna，数列nb的通项公式为.nbn（II ） （i ）由（

22、I ） ，有122112nnnS，故名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1112(1 2 )(21)22212nnnkknnkkTnnn. （ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT +bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkk

23、kTbbkknnn. （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分14 分（）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知2259ca，又由a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得，FBa，2ABb，由62FBAB，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为22194xy（）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由已知有y1y20，故12sinPQAOQyy又因为2sinyAQOAB，而OAB=4，故22AQy由5 2sin4AQAOQPQ，可得 5y1=9y2由方程

24、组22194ykxxy，消去x，可得12694kyk易知直线AB的方程为x+y2=0，由方程组20ykxxy，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载消去x，可得221kyk由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=23 94k，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k所以，k的值为111228或（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指

25、数函数与对数函数的性质等基础知识和方法. 考查函数与方程思想、化归思想 . 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力 . 满分 14 分. （I ）解：由已知，( )lnxh xaxa，有( )lnlnxh xaaa. 令( )0h x，解得x=0. 由a1，可知当x变化时，( )h x，( )h x的变化情况如下表：x (,0)0 (0,)( )h x0 + ( )h x极小值所以函数( )h x的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,). （II ）证明： 由( )lnxfxaa，可得曲线( )yfx在点11(,()x f x处的切线斜率为1lnxaa. 由1( )lng xxa

26、，可得曲线( )yg x在点22(,()xg x处的切线斜率为21lnxa. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122(ln )1xx aa. 两 边 取 以a为 底 的 对 数 ， 得212log2log ln0axxa， 所 以122ln ln()lnaxg xa. （ III） 证 明 ： 曲 线( )yf x在 点

27、11(,)xx a处 的 切 线l1：111ln()xxyaaaxx. 曲线( )yg x在点22(,log)axx处的切线l2：2221log()lnayxxxxa. 要证明当1eea时，存在直线l，使l是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线，只需证明当1eea时，存在1(,)x，2(0,)x，使得l1和l2重合. 即只需证明当1eea时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaax aaxa有解，由得1221(ln)xxaa，代入，得111112ln lnln0lnlnxxaax aaxaa. 因此，只需证明当1eea时，关于x1的方程有实数解 . 设

28、函数12ln ln( )lnlnlnxxau xaxaaxaa，即要证明当1eea时，函数( )yu x存在零点 . 2( )1 (ln)xu xaxa，可知(,0)x时，( )0u x；(0,)x时，( )ux单名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载调递减，又(0)10u，21(ln)2110(ln)auaa，故存在唯一的x0，且x00，使得0()0u x，即0201 (ln

29、)0 xax a. 由此可得( )u x在0(,)x上单调递增，在0(,)x上单调递减 . ( )u x在0 xx处取得极大值0()u x. 因为1eea，故ln(ln)1a，所以0000002012ln ln12ln ln22ln ln()ln0lnln(ln)lnlnxxaaau xax aaxxaaxaaa. 下面证明存在实数t，使得( )0u t. 由（I）可得1lnxaxa，当1lnxa时，有2212ln ln12ln ln( )(1ln)(1ln)(ln)1lnlnlnlnaau xxaxaxaxxaaaa，所以存在实数t，使得( )0u t名师归纳总结 精品学习资料 - - -

30、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载因此，当1eea时，存在1(,)x，使得1()0u x. 所以，当1eea时，存在直线l，使l是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线.# 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -