2022年15-17年全国高考立体几何真题及答案详解 .pdf

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1、近三年立体几何高考真题几详解1、 （ 2015 年 1 卷 6 题） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺。 问: 积及为米几何 ?”其意思为 : “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）（A）14 斛（B） 22 斛（C）36 斛（D）66 斛【答案】 B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r=163r，所以米堆的 体 积 为

2、211163 ()5433=3209， 故 堆 放 的 米 约 为32091.6222，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式2、 （2015 年 1 卷 11 题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为16 + 20， 则 r= （）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】 B【解析】 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16 + 20，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体

3、的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式3、 （ 2015 年 1 卷 18 题） 如图，四边形ABCD 为菱形，ABC=120， E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE 平面 ABCD ，DF 平面 ABCD ，BE=2DF ，AE EC.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - （）证明：平面AEC 平面 AFC ；（）求直线AE与直线 CF所成角的余弦值.【解析】试题分析：（）连接BD

4、，设 BD AC=G ，连接EG ，FG ，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证 EG AC ，通过计算可证EG FG ，根据线面垂直判定定理可知EG 平面 AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC 平面 AEC ； （）以G为坐标原点，分别以,GB GCuuu r uu u r的方向为x轴，y 轴正方向，|GBuuu r为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE与 CF所成角的余弦值.试题解析：（）连接BD，设 BD AC=G ，连接EG ，FG ，EF，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1 ，由ABC=120 ，可得AG=GC=3.由 BE 平面 ABCD

5、 ，AB=BC 可知， AE=EC ，又 AE EC ， EG=3，EG AC ，在 RtEBG中，可得BE=2，故 DF=22.在 RtFDG中，可得FG=62.在直角梯形BDFE中，由 BD=2 ，BE=2，DF=22可得 EF=3 22，222EGFGEF， EG FG ，AC FG=G ， EG 平面 AFC ，EG面 AEC ，平面AFC 平面 AEC. （）如图，以G为坐标原点，分别以,GB GCuuu r u uu r的方向为x轴，y 轴正方向，|GBuuu r为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（）可得A（0，3，0） ，E（1,0, 2） ，F（1,0 ，22） ，

6、C（0，3， 0） ，AEuu u r=（1，3，2） ，CFuuu r=（-1 ，-3，22）. 10分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 故3cos,3|AE CFAE CFAECFu uu r uu u ru uu r uuu ruuu ruu u r.所以直线AE与 CF所成的角的余弦值为33. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力4、 （ 2015

7、年 2 卷 6 题） 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A81 B71 C61 D51【解析】由三视图得， 在正方体1111ABCDA B C D中，截去四面体111AA B D， 如图所示，设正方体棱长为a，则11133111326AA B DVaa，故剩余几何体体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选 D考点：三视图5、 （ 2015 年 2 卷 9 题） 已知 A,B 是球 O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36，则球 O的表面积为（）A3

8、6 B64 C144 D256【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326OABCCAOBVVRRR，故6R，则球O的表面积为24144SR，故选 C考点：外接球表面积和椎体的体积6、 （ 2015 年 2 卷 19 题） （本题满分12 分）如图，长方体1111ABCDA B C D中,=16AB，CBADD1C1B1A1BOAC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页

9、，共 20 页 - - - - - - - - - =10BC，18AA，点E，F分别在11A B，11C D上，114A ED F过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线AF与平面所成角的正弦值【解析】（）交线围成的正方形EHGF如图：（）作EMAB，垂足为M，则14AMA E，18EMAA，因为EHGF为正方形，所以10EHEFBC于是226MHEHEM，所以10AH以D为坐标原点，DAuuu r的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(10,0,0)A，(10,10,0)H，(10,4,8)E，

10、(0,4,8)F，(10,0,0)FEuuu r，(0,6,8)HEu uu r设( , , )nx y zr是 平 面EHGF的 法 向 量 ， 则0,0,n FEn HEr uu u rr uu u r即100,680,xyz所 以 可 取(0, 4,3)nr又( 10,4,8)AFuuu r，故4 5cos,15n AFn AFnAFr uu u rr u uu rruu u r所以直线AF与平面所成角的正弦值为4 515考点： 1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角7、 （ 2016 年 1 卷 6 题） 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径

11、.若该几何体的体积是283,则它的表面积是（A）17（B）18（C）20（ D）28DDCAEFABCB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R,则37428VR833,解得R2,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42 +32 =1784S故选 A考点：三视图及球的表面积与体积8、 （ 2016

12、 年 1 卷 11 题） 平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,/ 平面 CB1D1,I平面ABCD =m,I平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)13试题分析：如图,设平面11CB D I平面ABCD=m,平面11CB D I平面11ABB A=n,因为/ /平面11CB D,所以/ /,/ / mm nn,则,m n所成的角等于,m n所成的角 .延长AD,过1D作11/ /D EBC,连接11,CE B D,则CE为m,同理11B F为n,而111/ /,/ /BDCE B FA B,则, m n所成的角即为1,AB BD所

13、成的角 ,即为60,故,m n所成角的正弦值为32,选 A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形 ,解形求角、得钝求补. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 9、 （ 2016 年 1 卷 18 题） 如图 ,在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形 ,

14、AF=2FD,90AFDo,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F 都是60o（I）证明：平面ABEF平面 EFDC ；（II）求二面角E-BC -A 的余弦值试题解析：（ I）由已知可得FDF,FF,所以F平面FDC又F平面F,故平面F平面FDC（II）过D作DGF,垂足为G,由（ I）知DG平面F以G为坐标原点 ,GFuu u r的方向为x轴正方向 ,GFu uu r为单位长度 ,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz由（I）知DF为二面角DF的平面角 ,故DF60o,则DF2,DG3,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0,D 0,0,3由已知 ,/ F,所以/平面FDC又平面CD I平

15、面FDCDC,故/CD,CD/ F由/F,可得平面FDC,所以C F为二面角CF的平面角 , C F60o从而可得C2,0,3所以C1,0, 3uuu r,0,4,0uu u r,C3, 4, 3uu u r,4,0,0uuu r设, ,nx y zr是平面C的法向量 ,则C00nnuu u rruu u rr,即3040 xzy, CDF名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 所以可取3,0,3nr

16、设mr是平面CD的法向量 ,则C00mmu uu rru uu rr, 同理可取0, 3,4mr则2 19cos,19n mn mn mrrr rrr故二面角C的余弦值为2 1919考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决. 10、 （2016 年 2 卷 6 题） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几

17、何体的表面积为（A）20 （B）24 （C） 28 （ D） 32解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为由图得，由勾股定理得：，故选 C11、 （2016 年 2 卷 14 题），是两个平面， m，n 是两条线，有下列四个命题：如果mn，m， n，那么如果m，n，那么mnrclh2r24cr2222 34l212Srchcl表4 16 828名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - -

18、 - - - - - - 如果 a，m，那么 m如果mn，那么 m 与所成的角和n 与所成的角相等其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【解析】 12（ 2016 年 2 卷 19 题） （本小题满分12 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O，5AB，6AC，点 E，F 分别在AD，CD 上，54AECF，EF 交 BD 于点H.将DEF 沿 EF 折到 D EF的位置10OD. （I）证明：D H平面 ABCD ；（II）求二面角BD AC的正弦值 . 【解析】 证明： ，四边形为菱形， ，；又， ，又 ，面建立如图坐标系，设面法向量，54AECFAECFADC

19、DEFACABCDACBDEFBDEFDHEFDH6AC3AO5ABAOOB4OB1AEOHODAO3DHD H222ODOHD HD HOHOHEFHID HABCDHxyz500B， ，130C， ， 003D， ，130A，430ABuu u r， ，133ADuuur， ，060ACuuu r， ，ABD1nxyz， ，ur名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 由得，取，同理可得面的法向量，

20、13、 （2016 年 3 卷 9 题） 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18365（B）5418 5（C）90（ D）81 【答案】 B 考点：空间几何体的三视图及表面积【技巧点拨】 求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解14、 （2016 年 3 卷 10 题） 在封闭的直三棱柱111ABCA B C内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）

21、4 （B）92（C）6 （D）323【答案】 B 试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下1100nABnADu u ruuu ru u ruuu u r430330 xyxyz345xyz1345nu r，AD C2301nuu r， ，12129575cos255 210nnn nu r u u ru r u u r2 95sin25名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - -

22、- - - 底面都相切时， 球的半径取得最大值32， 此时球的体积为334439( )3322R， 故选 B考点： 1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解； （3）建立函数，通过求函数的最值来求解15、 （2016 年 3 卷 19 题） （本小题满分12 分）如图，四棱锥PABC中，PA地面ABCD，ADBCP，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点（I）证明MN P平面PAB；（I

23、I）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 【答案】（）见解析； （）8 525【解析】试题分析： （） 取PB的中点T， 然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNATP，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以A为坐标原点，以,AD AP所在直线分别为,y z轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN的方向向量与平面PMN法向量的夹角来处理AN与平面PMN所成角试题解析：（） 由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN /，221BCTN. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理

24、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 又BCAD/，故TNAMP，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN /. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以/MN平面PAB. 设( , , )nx y zr为平面PMN的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyxzx，可取(0, 2,1)nr，于是|8 5|cos,|25|n ANn ANnANr uuu rr uuu rru uu r. 考点： 1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平

25、行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（ 2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理16、 （2017 年 1 卷 7 题） 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20

26、 页 - - - - - - - - - A10B12C14D16【答案】 B 【解析】 由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面24226S梯6212S全梯故选 B 17、 （2017 年 1 卷 16 题） 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ，D、E、F为元 O 上的点，DBC，ECA，FAB分别是一BC ， CA ，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为 _【答案】

27、 4 15【解析】 由题，连接OD ，交 BC 与点 G ，由题， ODBC36OGBC ，即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比设 OGx ，则2 3BCx，5DGx三棱锥的高22225102510hDGOGxxxx212 3 33 32ABCSxx则21325103ABCVShxx45=32510 xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 令452510fxxx，5(0,)2x，341005

28、0fxxx令0fx，即4320 xx，2x则280fxf则38045V 体积最大值为34 15cm18、（2017 年 1卷 18 题） 如图， 在四棱锥 PABCD 中，ABCD中， 且90BAPCDP（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若 PAPDABDC ，90APD，求二面角APBC 的余弦值【解析】 （1）证明：90BAPCDPPAAB， PDCD又ABCD，PDAB又PDPAPI，PD、PA平面PADAB平面PAD，又AB平面PAB平面PAB平面PAD（2）取AD中点 O ， BC 中点E，连接 PO ， OEABCD四边形 ABCD 为平行四边形 OEAB由（ 1）知，AB平

29、面PAD OE平面PAD，又 PO 、AD平面PAD OEPO ， OEAD又PAPD， POAD PO 、 OE 、AD两两垂直以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设2PA，0 02D， ， 、220B， ， 、002P，、2 02C， ， ，022PDuu u r， ，、222PBu u u r， ，、2 20 0BCuu u r， ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - -

30、设nxyzr,为平面 PBC 的法向量由00n PBn BCr uuu rr uuu r，得2220220 xyzx令1y，则2z，0 x，可得平面PBC 的一个法向量012nr,90APD，PDPA又知AB平面PAD，PD平面PADPDAB，又PAABAIPD平面PAB即PDuuu r是平面PAB的一个法向量，022PDuuu r,23cos32 3PD nPDnPDnuuu r ruu u rruu u rr,由图知二面角APBC 为钝角，所以它的余弦值为3319、 (2017 年 2 卷 4 题 )如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科 &网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平

31、面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）【解析】A90B63C42D36【解析】【命题意图 】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的 . 【解析】【解析 】解法一：常规解法【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：切割前圆柱切割中切割后几何体【解析】从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 -

32、 - - - - - - - - 从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为VSh，3r，4h，136V；上面阴影的体积2V 是上面部分体积3V 的一半，即2312VV ，3V 与1V 的比为高的比（同底） ，即3132VV ，213274VV，故总体积02163VVV. 第二种体积求法：354VSh，其余同上，故总体积02163VVV. 20、 (2017 年 2 卷 10 题)已知直三棱柱111CC中，C120o，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A32B155C105D33【命题意图 】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象

33、能力【解析 】解法一：常规解法在边1BB 11B C 11A B AB上分别取中点EF G H，并相互连接 . 由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线1AB 和1BC 所成的夹角为FEG 或其补角，通过几何关系求得22EF，52FG，112FH，利用余弦定理可求得异面直线1AB 和1BC 所成的夹角余弦值为105.21、 (2017 年 2 卷 19 题)如图，四棱锥 P-ABCD中， 侧面 PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90 ,2ABBCADBADABCE是 PD 的中点 . （1）证明：直线/ /CE平面 PAB（2）点 M 在棱 PC 上，且直线BM 与底面 ABC

34、D所成锐角为o45，求二面角M-AB-D 的余弦值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 【命题意图】 线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解【标准答案】（1）证明略；（2）105【基本解法1】（1）证明：取PA中点为F，连接EF、AF因为90BADABC，12BCAD所以BC12AD因为E是PD的中点，所以EF12AD，所以EFBC所以四边形EFBC为平行四边形，所以

35、/ /ECBF因为BF平面PAB，EC平面PAB所以直线/ /CE平面PAB（2）取AD中点为O，连接OCOP、因为PAD为等边三角形，所以POAD因为平面PAD平面ABCD，平面PAD I平面ABCDAD，PO平面PAD所以PO平面ABCD因为AOBC，所以四边形OABC为平行四边形，所以/ /ABOC所以OCAD以,OC OD OP分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图设1BC，则(0,0,3),(0, 1,0),(1, 1,0),(1,0,0)PABC，所以(1,0,3)PCu uu r设( , , )Mx y z，则( , ,3)PMx y zu uu u r，(1,0,0)

36、ABuu u r因为点M在棱PC上，所以(01)PMPCuuu u ruu u r，即( , ,3)(1,0,3)x y z所以( ,0,33 )M，所以(1,1, 33 )BMuuuu r平面ABCD的法向量为(0,0,1)nr因为直线BM与底面ABCD所成角为45，所以222|33|2|sin45 | |cos,|2| |(1)1( 33 )1BM nBM nBMnuuu u r ruuuu r ru uuu rr解得212，所以26(,1,)22BMuuuu r设平面MAB的法向量为( , )mx y zu r，则026022AB mxBM mxyzuu u r u ruu uu r u

37、 r名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 令1z，则6(0,1)2mu r所以22110cos,5| |6()12m nm nmnu rru r ru ru u r所以求二面角MABD的余弦值10522、（2017年3卷 8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）AB34CD4【答案】 B 【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径22

38、13122r，则圆柱体体积234Vr h，故选B. 23、（ 2017年3卷16题） 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边AC 所在直线与，都垂直，斜边AB以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与成60角时，AB与成30角；当直线AB与成60角时，AB与成60角；直线AB与所成角的最小值为45；直线AB与所成角的最大值为60其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）【答案】 【解析】由题意知，abAC、 、三条直线两两相互垂直，画出图形如图不妨设图中所示正方体边长为1，故| 1AC，2AB，斜边AB以直线 AC 为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以

39、C 为圆心， 1为半径的圆 以 C 为坐标原点，以CDu uu r为轴正方向，CBuuu r为轴正方向，CAu uu r为轴正方向建立空间直角坐标系则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线的方向单位向量(0,1,0)ar， | 1ar名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - B点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)br， | 1br设B点在运动过程中的坐标(cos ,sin,0

40、)B，其中为 B C与 CD 的夹角，0,2 ) 那么AB在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)ABuuu r， |2ABuu ur设ABuuur与所成夹角为0,2，则(cos ,sin,1) (0,1,0)22cos|sin| 0,22a ABr uuur故 ,4 2，所以 正确， 错误 设ABuuur与所成夹角为0,2，cos(cos ,sin,1) (1,0,0)2| cos|2ABbb ABb ABuuurrr uuu rr uuur. 当ABuuur与夹角为 60 时，即3，12sin2cos2cos232222cossin1，2| cos|221cos|cos|220,2=3

41、，此时ABuuur与夹角为 60 正确， 错误 24、（ 2017年3卷 19题） 如图，四面体ABCD 中， ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形ABDCBD，ABBD=（1）证明：平面ACD 平面 ABC ；（2）过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC把四面体ABCD 分成体积相等的两部分求二面角 DAEC-的余弦值【解析】 取 AC 中点为 O ，连接 BO ， DO ；DABCEDABCEO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，

42、共 20 页 - - - - - - - - - ABCQ为等边三角形 BOAC ABBCABBCBDBDABDDBCABDCBD . ADCD ,即ACD 为等腰直角三角形，ADC为直角又 O 为底边 AC 中点DOAC 令ABa， 则ABACBCBDa易 得 ：22ODa ，32OBa222ODOBBD由勾股定理的逆定理可得2DOB即ODOBODACODOBACOBOACABCOBABCI平面平面ODABC平面又ODADC平面由面面垂直的判定定理可得ADCABC平面平面由题意可知VVDACEBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点以 O 为原点，OAuuu r为轴正方向，OBu

43、uu r为轴正方向，ODuu u r为轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则0,0,0O，,0,02aA，0,0,2aD，30,02Ba，30,44aEa易得：3,244aaAEauu u r，,0,22aaADu uu r，,0,02aOAuuu r设平面AED的法向量为1nu u r，平面 AEC 的法向量为2nu u r，则1100AE nAD nuuu ru u ruuu r u u r，解得13,1, 3nu u r2200AE nOA nuuu ruu ruuu ruu r，解得20,1,3nu u r若二面角 DAEC 为，易知为锐角，则12127cos7nnnnu u ru

44、 u ru u ru u r主要考点：1、能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合) 的三视图, 能识别上述三视图所表示的立体模型, 会用斜二侧法画出它们的直观DABCEyxOz名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 图 . 2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 . 3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题4、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 5、掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 . 6、理解直线的方向向量与平面的法向量. 7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题,了解向 量方法在研究立体几何问题中的应用. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -