2022年2021年北京市高考数学试卷含答案 .pdf

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1、第1页（共 18页）2019 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知复数2zi ，则(z zg)A3B5C3 D5 2执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ()A1 B2 C3 D4 3已知直线l 的参数方程为13 ,(24xttyt为参数），则点 (1,0) 到直线 l 的距离是 ()A15B25C45D654已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则 ()A222abB2234abC2abD 34ab5若x，y满足 |1xy,，且1y，则 3xy 的最大值为()A7B1 C5 D7

2、6在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足121252EmmlgE，其中星等为km 的星的亮度为(1,2)kEk已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A10.110B10.1 C10.1lgD10.1107设点A，B， C 不共线，则“ABuuu r与 ACuu u r的夹角为锐角”是“| |ABACBCu uu ruuu ruu u r”的 ()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1 |Cxyx y就是其中之一（如图） 给出下列三个

3、结论：曲线 C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第2页（共 18页）曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2 ；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是()ABCD二、填空题共 6 小题，每小题5 分，共 30 分。9函数2( )sin 2f xx 的最小正周期是10 设等差数列na的前n项和为nS ，若23a，51

4、0S，则5a，nS 的最小值为11 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为12 已知 l ，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm ；/ /m； l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：13 设函数( )(xxf xeaea 为常数）若( )f x 为奇函数，则a；若( )f x 是R上的增函数，则a的取值范围是14 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元 / 盒、 65 元 / 盒、 80 元 /盒、 90 元 /盒为增加销

5、量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% 当10 x时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第3页（共 18

6、页）15 （13 分）在ABC 中，3a，2bc，1cos2B（）求 b ，c的值；（）求 sin()BC 的值16 （14 分）如图，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD ， ADCD ，/ /ADBC ，2PAADCD，3BCE为PD的中点，点F在 PC 上，且13PFPC（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G 在PB上，且23PGPB判断直线AG 是否在平面AEF内，说明理由17 （13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100

7、人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元)支付方式(0 ，1000(1000， 2000大于 2000 仅使用A18 人9 人3 人仅使用B10 人14 人1 人（）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于1000 元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元根据抽查结果，

8、能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由18 （14 分）已知抛物线2:2Cxpy 经过点 (2,1)（）求抛物线C 的方程及其准线方程；（）设 O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线 l 交抛物线 C 于两点M， N ，直线1y分别交直线OM ， ON 于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点19 （13 分）已知函数321( )4f xxxx（）求曲线( )yf x 的斜率为 l 的切线方程；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

9、 - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第4页（共 18页）（）当 2x， 4 时，求证：6( )xf xx剟；（） 设( )|( )() |()F xf xxaaR ，记( )F x 在区间 2 ，4 上的最大值为M（a） 当M（a）最小时，求a的值20 （13分）已知数列na，从中选取第1i 项、第2i 项、第mi项12()miii，若12miiiaaa，则称新数列1ia ，2ia，mia为 na的长度为m的递增子列规定：数列 na的任意一项都是na的长度为1 的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6， 9 的一个长度为4 的

10、递增子列；（）已知数列na的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na 若 pq ，求证：00mnaa；（）设无穷数列na的各项均为正整数，且任意两项均不相等若na的长度为s的递增子列末项的最小值为21s，且长度为s末项为 21s的递增子列恰有12s个 (1s，2，) ，求数列 na的通项公式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第5页（共 18页）2019

11、年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知复数2zi ，则(z zg)A3B5C3 D5 【思路分析】直接由2|z zzg求解【解析】：2ziQ，2222|(21 )5z zzg故选：D【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题2执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ()A1 B2 C3 D4 【思路分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解析】：模拟程序的运行，可得1k，

12、1s2s不满足条件3k，执行循环体，2k，2s不满足条件3k，执行循环体，3k，2s此时，满足条件3k，退出循环，输出s的值为 2故选：B【归纳与总结】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题3已知直线l 的参数方程为13 ,(24xttyt为参数），则点 (1,0) 到直线 l 的距离是 ()A15B25C45D65【思路分析】消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

13、 - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第6页（共 18页）【解析】：由13(24xttyt为参数），消去 t，可得 4320 xy则点 (1,0) 到直线 l 的距离是22|41302|654( 3)d故选：D【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题4已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则 ()A222abB2234abC2abD 34ab【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222abc 得答案【解析】：由题意，12ca，得2214ca，则22214aba，22244aba ，即2234ab 故选：B【归

14、纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题5若x，y满足 |1xy,，且1y，则 3xy 的最大值为()A7B1 C5 D7 【思路分析】由约束条件作出可行域，令3zxy ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】：由|11xyy,作出可行域如图，联立110yxy，解得(2, 1)A，令3zxy ，化为3yxz ，由图可知，当直线3yxz 过点A时， z 有最大值为3215故选： C 【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足12

15、1252EmmlgE，其中星等为km 的星的亮度为(1,2)kEk已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A10.110B10.1 C10.1lgD10.110【思路分析】把已知熟记代入121252EmmlgE，化简后利用对数的运算性质求解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第7页（共 18页）【解析】：设太阳的星等是126.7m，天狼星的星等是21.4

16、5m，由题意可得：1251.45( 26.7)2ElgE，1250.510.15ElgE，则10.11210EE故选：A【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题7设点A，B， C 不共线，则“ABuuu r与 ACuu u r的夹角为锐角”是“| |ABACBCu uu ruuu ruu u r”的 ()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【思路分析】 “ ABuuu r与 ACu uu r的夹角为锐角”“ | |ABACBCuuu ruuu ru uu r” ， “| |ABACBCuuu ruuu ruuu r”“ ABu uu r与 ACu

17、uu r的夹角为锐角” ，由此能求出结果【解析】：点A，B， C 不共线，“ ABuu u r与 ACu uu r的夹角为锐角”“ | |ABACBCu uu ru uu ruuu r” ，“ | |ABACBCu uu ru uu ruuu r”“ ABu uu r与 ACuuu r的夹角为锐角” ，设点A，B， C 不共线，则“ABuu u r与 ACu uu r的夹角为锐角”是“| |ABACBCuu u ruuu ru uu r”的充分必要条件故选： C 【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题8数学中有许多形状优

18、美、寓意美好的曲线，曲线22:1 |Cxyx y就是其中之一（如图） 给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2 ；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是()ABCD【思路分析】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得【解析】：将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当0 x时，代入得21y，1y，即曲线经过(0,1) ， (0, 1)；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

19、- - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第8页（共 18页）当0 x时，方程变为2210yxyx，所以224(1) 0 xx ，解得(0 x，2 33，所以x只能取整数1，当1x时，20yy，解得0y或1y，即曲线经过(1,0) ， (1,1)，根据对称性可得曲线还经过( 1,0) ， ( 1,1)，故曲线一共经过6 个整点，故正确当0 x时，由221xyxy 得222212xyxyxy,， （当xy时取等），222xy ,，222xy ,，即曲线 C 上y轴右边的点到原点的距离不超过2 ，根据对称性可得：曲线C 上

20、任意一点到原点的距离都不超过2 ；故正确在x轴上图形面积大于矩形面积1 22，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213 ，故错误故选： C 【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。9函数2( )sin 2f xx 的最小正周期是2【思路分析】用二倍角公式可得11( )cos(4 )22f xx，然后用周期公式求出周期即可【解析】：2( )sin (2 )f xxQ，11( )cos(4 )22f xx，( )f x 的周期2T，故答案为：2【归纳与总结】 本题考查了三角函数

21、的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题10 设等差数列na的前n项和为nS ，若23a，510S，则5a0 ，nS 的最小值为【思路分析】利用等差数列na的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a，1d，由此能求出5a 的nS 的最小值【解析】：设等差数列na的前n项和为nS ，23a，510S，113545102adad，解得14a，1d，5144410aad，21(1)(1)19814()22228nn nn nSnadnn，4n或5n时，nS 取最小值为4510SS故答案为：0，10 【归纳与总结】 本题考查等差数列的第5 项的求法， 考查等差数列的前n项和的最小值的求名

22、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第9页（共 18页）法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题11 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为40 【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解【解析】：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4 的正方体去掉一个四棱

23、柱，则该几何体的体积1422(24)24402V故答案为： 40 【归纳与总结】 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题12 已知 l ，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm ；/ /m； l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若 l，lm ，则/ /m【思路分析】由l ，m是平面外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l，lm ，则/ /m【解析】：由 l ，m是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若 l， lm ， 则/ /m 故答案为： 若 l， lm ， 则/ /m【归纳与总结】 本题考查满足条

24、件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题13 设函数( )(xxf xeaea 为常数）若( )f x 为奇函数，则a1；若( )f x 是R上名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第10页（共 18页）的增函数，则a的取值范围是【思路分析】对于第一空：由奇函数的定义可得()( )fxf x ，即()xxxxeaeeae，变形可得分析可

25、得a的值，即可得答案；对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得( )f x 的导数( )0 xxfxeae 在R上恒成立，变形可得：2xa e,恒成立，据此分析可得答案【解析】：根据题意，函数( )xxf xeae，若( )f x 为奇函数，则()( )fxf x ，即()xxxxeaeeae，变形可得1a，函数( )xxf xeae，导数( )xxfxeae若( )f x 是R上的增函数，则( )f x 的导数( )0 xxfxeae 在R上恒成立，变形可得：2 xae,恒成立，分析可得0a,，即a的取值范围为(， 0 ；故答案为：1， (， 0 【归纳与总结】 本题考

26、查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题14 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元 / 盒、 65 元 / 盒、 80 元 /盒、 90 元 /盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% 当10 x时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付130 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为【思路分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；在促销活动

27、中，设订单总金额为m元，可得()80%70%mxm，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值【解析】：当10 x时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，可得 6080140（元 ) ，即有顾客需要支付14010130 （元 ) ；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得 ()80%70%mxm，即有8mx,，由题意可得120m，可得120158x,，则x的最大值为15 元故答案为： 130 ，15 【归纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15 （13 分）在ABC 中，3a，2bc，1cos2

28、B（）求 b ，c的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第11页（共 18页）（）求 sin()BC 的值【思路分析】（） 利用余弦定理可得2222cosbacacB ，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（） sin()sincoscossinBCBCBC ，根据正弦定理可求出sinC ，然后求出 cosC ，代入即可得解【解析】： （）3aQ，2bc，1cos2B由余弦定理，得

29、2222cosbacacB219(2)23(2)()2bb，7b，25cb；（）在ABC 中，1cos2BQ，3sin2B，由正弦定理有：sinsincbCB，35sin5 32sin714cBCb，bcQ，BC ，C 为锐角，11cos14C，sin()sincoscossinBCBCBC31115 3()2142144 37【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题16 （14 分）如图，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD ， ADCD ，/ /ADBC ，2PAADCD，3BCE为PD的中点，点F在 PC 上，且13PFPC（）求证：CD平面PAD；（）

30、求二面角FAEP的余弦值；（）设点G 在PB上，且23PGPB判断直线AG 是否在平面AEF内，说明理由【思路分析】 （）推导出PACD ， ADCD ，由此能证明CD平面PAD（）以A为原点，在平面ABCD 内过A作 CD 的平行线为x轴，AD为y轴，AP为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FAEP的余弦值（）求出4(3AGuuu r，0，2)3，平面AEF的法向量(1mr，1，1) ，4220333m AGuuu rrg，从而直线 AG 不在平面AEF内【解答】证明： （）PAQ平面 ABCD ，PACD ，ADCDQ， PAADAI，CD平面PAD名师归纳总结 精品学习

31、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第12页（共 18页）解： （）以A为原点，在平面ABCD 内过A作 CD 的平行线为x轴，AD为y轴，AP为 z 轴，建立空间直角坐标系，(0A，0， 0) ，(1E，0，1) ，2(3F，23，4)3，(0P，0， 2) ，(1AEu uu r，0，1) ，2 2 4(,)3 3 3AFuuu r，平面AEP的法向量(1nr，0， 0) ，设平面AEF的法向量(mxr，y，)z

32、 ，则02240333m AExzm AFxyzuuu rrguuu rrg，取1x，得(1mr，1，1)，设二面角FAEP的平面角为，则|13cos| |33m nmnr rgrrg二面角FAEP的余弦值为33（）直线AG不在平面AEF内，理由如下：Q 点 G 在PB上，且23PGPB4(3G，0，2)3，4(3AGuu u r，0，2)3，Q 平面AEF的法向量(1mr，1，1)，4220333m AGuuu rrg，故直线 AG 不在平面AEF内【归纳与总结】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

33、基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题17 （13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元)(0 ，1000(1000， 2000大于 2000 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 18 页

34、 - - - - - - - - - 第13页（共 18页）支付方式仅使用A18 人9 人3 人仅使用B10 人14 人1 人（）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于1000 元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由【思路分析】 （）从全校所有的100

35、0 名学生中随机抽取的100 人中，A，B两种支付方式都不使用的有5 人，仅使用A的有 30 人，仅使用B的有 25 人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40 人，由此能求出从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望()E X （）从样本仅使用A的学生有30 人，其中27 人月支付金额不大于2000 元，有 3 人月支付金额大于2000 元， 随机抽查3 人，发现他们本月的

36、支付金额都大于2000 元的概率为3333014060CpC，不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化【解析】： （）由题意得：从全校所有的1000 名学生中随机抽取的100 人中，A，B两种支付方式都不使用的有5 人，仅使用A的有 30 人，仅使用B的有 25 人，A，B两种支付方式都使用的人数有：1005302540 ，从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率400.4100p（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于1000 元的人数，则X的可能取值为0，1， 2，样本仅使

37、用A的学生有30 人，其中支付金额在(0 ， 1000 的有 18 人，超过1000元的有12 人，样本仅使用B的学生有25 人，其中支付金额在(0 ， 1000 的有 10 人，超过1000元的有15 人，18101806(0)302575025P X，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第14页（共 18页）1815121039013(1)3025302575025P X，12151806(

38、2)302575025P X，X的分布列为：X0 1 2 P6251325625数学期望6136()0121252525E X（）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A的学生有30 人，其中27 人月支付金额不大于2000 元，有 3 人月支付金额大于 2000 元，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元的概率为3333014060CpC，虽然概率较小，但发生的可能性为14060故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化【归纳与总结】 本题考查概率、 离散型随机变量的分布列、数学期望的求

39、法， 考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题18 （14 分）已知抛物线2:2Cxpy 经过点 (2,1)（）求抛物线C 的方程及其准线方程；（）设 O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线 l 交抛物线 C 于两点M， N ，直线1y分别交直线OM ， ON 于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【思路分析】 （）代入点(2,1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（）抛物线24xy 的焦点为(0,1)F，设直线方程为1ykx，联立抛物线方程，运用韦达定理， 以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的

40、圆方程， 可令0 x，解方程，即可得到所求定点【解析】： （）抛物线2:2Cxpy 经过点 (2,1)可得 42p ，即2p，可得抛物线C 的方程为24xy ，准线方程为1y；（）证明：抛物线24xy 的焦点为(0,1)F，设直线方程为1ykx，联立抛物线方程，可得2440 xkx，设1(M x ，1)y，2(N x ，2)y，可得124xxk ，124x x，直线 OM 的方程为11yyxx，即14xyx ，直线 ON 的方程为22yyxx，即24xyx ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

41、 - - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第15页（共 18页）可得14(Ax，1) ，24(Bx，1) ，可得AB的中点的横坐标为121142()224kkxxg，即有AB为直径的圆心为(2 , 1)k，半径为2212|1441616|22 1224ABkkxxg，可得圆的方程为222(2 )(1)4(1)xkyk，化为224(1)4xkxy，由0 x，可得1y或3则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1) ， (0,3)【归纳与总结】 本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理

42、，考查化简整理的运算能力，属于中档题19 （13 分）已知函数321( )4f xxxx（）求曲线( )yf x 的斜率为 l 的切线方程；（）当 2x， 4 时，求证：6( )xf xx剟；（） 设( )|( )() |()F xf xxaaR ，记( )F x 在区间 2 ，4 上的最大值为M（a） 当M（a）最小时，求a的值【思路分析】 （）求导数( )fx ，由( )1fx求得切点，即可得点斜式方程；（）把所证不等式转化为6( )0f xx剟， 再令( )( )g xf xx ， 利用导数研究( )g x 在 2 ，4 的单调性和极值点即可得证；（）先把( )F x 化为 |( )|g

43、 xa ，再利用（）的结论，引进函数( )|h tta ，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴ta 与3的关系分析即可【解析】： （）23( )214fxxx，由( )1fx得8()03x x，得1280,3xx又(0)0f，88( )327f，yx 和88273yx，即yx和6427yx；（）证明：欲证6( )xf xx剟，只需证6( )0f xx剟，令321( )( )4g xf xxxx ， 2x， 4 ，则2338( )2()443g xxxx x，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

44、 - - - - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第16页（共 18页）可知( )g x 在 2， 0 为正，在8(0,)3为负，在8,43为正，( )g x 在 2 ， 0 递增，在 0 ，83递减，在8,43递增，又( 2)6g，(0)0g，864( )6327g，g（4）0 ，6( )0g x剟，6( )xf xx剟；（）由（）可得，( )|( )() |F xf xxa|( )|f xxa|( )|g xaQ 在 2， 4 上，6( )0g x剟，令( )tg x ，( )|h tta ，则问题转化为当 6t， 0 时，( )h

45、t 的最大值M（a）的问题了，当3a,时，M（a）(0)|haa ，此时3a，当3a时，M（a）取得最小值3；当3a时，M（a）( 6)|6| |6|haa ，63aQ，M（a）6a，也是3a时，M（a）最小为 3综上，当M（ a）取最小值时a的值为3【归纳与总结】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大20 （13分）已知数列na，从中选取第1i 项、第2i 项、第mi项12()miii，若12miiiaaa，则称新数列1ia ，2ia，mia为 na的长度为m的递增子列规定：数列 na的任意一项都是na的长度为1 的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6， 9

46、的一个长度为4 的递增子列；（）已知数列na的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na 若 pq ，求证：00mnaa；（）设无穷数列na的各项均为正整数，且任意两项均不相等若na的长度为s的递增子列末项的最小值为21s，且长度为s末项为 21s的递增子列恰有12s个 (1s，2，) ，求数列 na的通项公式【思路分析】( )1I， 3，5，6答案不唯一名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页

47、- - - - - - - - - 第17页（共 18页）()II考虑长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为p的一个递增子列，可得0na该数列的第p项0ma，即可证明结论()III考虑 21s与 2s 这一组数在数列中的位置若na中有 2s ，在 2s 在 21s之后，则必然在长度为1s，且末项为 2s 的递增子列，这与长度为s的递增子列末项的最小值为21s矛盾，可得2s 必在 21s之前继续考虑末项为21s的长度为1s的递增子列因此对于数列 21n， 2n ，由于 2n 在 21n之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与 21n，即可得出：递增子列最多有2s个 由题意，这s组数列对全部

48、存在于原数列中，并且全在 21s之前可得2，1，4，3，6，5，是唯一构造【解析】： ( )1I，3，5，6()II证明：考虑长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为p的一个递增子列，0na该数列的第p项0ma，00mnaa()III解：考虑 21s与 2s 这一组数在数列中的位置若 na中有 2s ，在 2s在 21s之后，则必然在长度为1s，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s的递增子列末项的最小值为21s矛盾，2s必在 21s之前继续考虑末项为21s的长度为1s的递增子列Q 对于数列 21n，2n ，由于 2n 在 21n之前，研究递增子列时， 不可同时取 2n 与 21n，Q 对于

49、1 至 2s 的所有整数，研究长度为1s的递增子列时，第1 项是 1 与 2 二选 1，第 2项是 3 与 4 二选 1，第s项是 21s与 2s 二选 1，故递增子列最多有2s个由题意， 这s组数列对全部存在于原数列中，并且全在 21s之前2，1，4，3，6，5，是唯一构造即221kak，212kak ，*kN 【归纳与总结】 本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题高中数学教研微信系列群简介：目前有 6 个群，共2000 多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究

50、展开教研活动的微信群 . 宗旨： 脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究写作发表（出版）”于一体的“桥梁” ，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式： 省+ 市+ 真实姓名，如：四川成都张三名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第18页（共 18页）编辑格式： 公司或者刊物（