2022年《一次函数》经典例题解析 .pdf

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1、学习必备欢迎下载类型一：正比例函数与一次函数定义1、当 m 为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k0 解：函数 y=-（ m-2） x+（ m-4）是一次函数，m=-2. 当 m=-2 时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数举一反三：【变式 1】如果函数是正比例函数，那么（）. Am=2 或 m=0 Bm=2 Cm=0D m=1 【答案】 ：考虑到x 的指数为 1，正比例系数k0 ，即 |m-1|=1；m-20 ，求得 m=0，选 C 【变式 2】已知 y-3 与 x 成正比例，且x=2 时， y=

2、7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值解析：（ 1）由于 y-3 与 x 成正比例，所以设y-3=kx 把 x=2，y=7 代入 y-3=kx 中，得7-32k， k 2 y 与 x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即 y=2x+3（2）当 x=4 时， y=24+3=11（3）当 y 4 时， 4=2x+3， x=. 类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1） ，且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式思路点拨：图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x

3、+b ，再将点（ 2，-1）代入，求出b 即可解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b ，图象经过点（2，-1） ， -l=2 2+b b=-5，所求一次函数的表达式为y=2x-5. 总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。举一反三：【变式 1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数， 现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm， 挂 4kg 的重物时， 弹簧的长度是7.2cm，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

4、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载求这个一次函数的表达式分析 :题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b ，再由已知条件可知，当x=0 时， y=6；当 x=4 时， y=7.2求出 k，b 即可解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b 由题意可知，当x=0 时， y=6；当 x=4 时， y=7.2. 把它们代入y=kx+b 中得这个一次函数的表达式为y=0.3x+6 【变式 2】已知直线y=2x+1（1）求已知直线与y 轴交点 M 的坐标；（2）若直线y=kx

5、+b 与已知直线关于y 轴对称，求k，b 的值解析：直线y=kx+b 与 y=2x+l 关于 y 轴对称，两直线上的点关于y 轴对称又直线y 2x+1 与 x 轴、 y 轴的交点分别为A（-，0） ， B（0，1）, A（-，0） ，B（0，1）关于 y 轴的对称点为A （，0） ，B （0，1） 直线y=kx+b 必经过点A （，0） ，B （0，1） 把 A （，0） ，B （0，1）代入 y=kx+b 中得k-2，b1所以（ 1）点 M（0，1） （2）k=-2,b=1 【变式 3】判断三点A（3，1） ，B（0， -2） ，C（4，2）是否在同一条直线上分析：由于两点确定一条直线，故选

6、取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立， 说明第三点在此直线上；若不成立， 说明不在此直线上解：设过 A，B 两点的直线的表达式为y=kx+b 由题意可知，过 A，B 两点的直线的表达式为y=x-2 当x=4 时， y=4-2=2 点C（4，2）在直线y=x-2 上三点A（3， 1） ， B（0，-2） ，C（4，2）在同一条直线上类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -

7、 - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了 _ km ；(2)汽车在行驶途中停留了_ h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为_ km/h；(4)汽车自出发后3h 至 4.5h 之间行驶的方向是_. 思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶

8、了120 2=240(千米 )，整个过程用时4.5 小时，平均速度为240 4.5=(千米 /时)，行驶途中1.5 时2 时之间汽车没有行驶. 解析：(1)240； (2)0.5； (3) ； (4)从目的地返回出发点. 总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间. 举一反三：【变式 1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间 t 的函数关系，求它们行进的速度关系。解析：比较相同时间内，路程s 的大小 .在横轴的正

9、方向上任取一点,过该点作纵轴的平行线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以 .甲比乙快【变式 2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、 上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( ) A.14 分钟B.17 分钟C.18 分钟D.20 分钟【答案】:D 分析：由图象可知，上坡速度为80 米/分；下坡速度为200 米 /分；走平路速名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选

10、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载度为 100 米/分。原路返回，走平路需要8 分钟，上坡路需要10 分钟，下坡路需要2 分钟，一共 20 分钟。【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19 升. 求排水时y 与 x 之间的关系式；如果排水时间为2

11、分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量. 分析：依题意解读图象可知：从0 4 分钟在进水， 415 分钟在清洗，此时，洗衣机内有水 40 升， 15 分钟后开始放水. 解：（1）洗衣机的进水时间是4 分钟；清洗时洗衣机中的水量是40 升；（2）排水时y 与 x 之间的关系式为：y=40-19(x-15) 即 y=-19x+325 如果排水时间为2 分钟，则x-15=2 即 x=17，此时， y=40-19 2=2. 所以，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2 升. 类型四：一次函数的性质4、 己知一次函数y=kx 十 b 的图象交x 轴于点 A （一 6， 0） ， 交 y 轴于点 B， 且AOB的

12、面积为12，y 随 x 的增大而增大，求k，b 的值思路点拨：设函数的图象与y 轴交于点 B（0，b） ，则 OB=,由AOB 的面积，可求出b，又由点 A 在直线上，可求出k 并由函数的性质确定k 的取值解析：直线 y=kx 十 b 与 y 轴交于点B（0，b） ，点 A 在直线上，则，由，即，解得代入，可得，由于 y 随 x 的增大而增大，则k0,取则总结升华：该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件。举一反三：【变式 1】已知关于x 的一次函数（1）m 为何值时，函数的图象经过原点? （2）m 为何值时，函数的图象经过点（0， 2）? （3）m 为何值时，函数的图象

13、和直线y=x 平行 ? 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（4）m 为何值时， y 随 x 的增大而减小？解析：（1）由题意， m 需满足，故 m=3 时，函数的图象经过原点；（2）由题意得： m 需满足，故时，函数的图象经过点（0， 2） ；（3）由题意， m 需满足，故 m=4 时，函数的图象平行于直线y=x；（4）当 3 m0 时，即 m3 时， y 随 x 的增大而减小【变

14、式 2】 若直线（） 不经过第一象限， 则k、b的取值范围是_， _【答案】 ：(k0；b0) ；分析：直线不经过第一象限，有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限，注意不要漏掉经过原点的情况。【变式 3】直线 l1：与直线 l2：在同一坐标系中的大致位置是（） ABCD【答案】 ：C；分析：对于A，从 l1看 k0，b0，从 l2看 b0，k0，所以 k，b 的取值自相矛盾，排除掉A。对于 B，从 l1看 k0，b0，从 l2看 b0，k 0，所以 k，b 的取值自相矛盾，排除掉B。D 答案同样是矛盾的，只有C 答案才符合要求。【变式 4】函数在直角坐标系中的图象可能是（） 【答案】 ：B

15、；分析：不论k 为正还是为负，都大于 0，图象应该交于x 轴上方。故选B 类型五：一次函数综合5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0） ，B（0，1） ，C（-1，0） ，过点 C的直线绕 C 旋转，交y 轴于点 D，交线段AB 于点 E。（1）求 OAB 的度数及直线AB 的解析式；（2）若 OCD 与 BDE 的面积相等，求直线CE 的解析式；若y 轴上的一点P 满足 APE=45 ，请直接名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7

16、页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载写出点 P的坐标。思路点拨：（ 1）由 A， B 两点的坐标知， AOB 为等腰直角三角形，所以 OAB=45 （ 2） OCD与BDE 的面积相等，等价于ACE 与AOB 面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E 为 AB 中点，故P 为（ 0,0）时， APE=45 . 解析：（ 1） A（ 1，0） ， B（0，1） ，OA=OB=1 ，AOB 为等腰直角三角形 OAB=45 设直线 AB 的解析式为： y=kx+b, 将 A（ 1，0） ，B（0，1）代入，解得 k=-1，b=1 直线 AB 的解析式为： y=-x

17、+1 （2）即，将其代入y=-x+1 ，得 E 点坐标（）设直线 CE 为 y=kx+b ，将点 C（-1，0） ，点 E（）代入，解得 k=b=直线 CE 的解析式：点 E 为等腰直角三角形斜边的中点当点 P（0,0）时， APE=45 . 总结升华：考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。举一反三：【变式 1】在长方形ABCD 中， AB=3cm ，BC=4cm ，点 P沿边按 ABCD的方向向点 D 运动（但不与A，D 两点重合）。求 APD 的面积 y()与点 P 所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。名师归纳总结 精品学习

18、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【答案】 ：当 P 点在 AB 上运动时，当 P 点在 BC 上运动时，当 P 点在 CD 上运动是，【变式 2】如图，直线与 x 轴 y 轴分别交于点E、F，点 E 的坐标为（ -8，0） ，点A 的坐标为（ -6，0） 。（1）求的值；（2）若点 P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：在（ 2）的条件下，当点P 运动到什么位置时，OPA 的面积为，并说明理由。解：(1)将 E（-8,0）代入，得; (2)设 P点坐标为（）S=（-8x0 ）(3)令，解得，代入，算出 P 点纵坐标为当 P 点的坐标为时,OPA 的面积为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -