2022年湖南省娄底市中考数学试卷(及答案).pdf

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1、 2022年年湖南省湖南省娄底市娄底市中考中考数学数学真题卷真题卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共2小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应題号下的方个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应題号下的方框里）框里） 1. 2022的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个小组 10名同学的出生年份（单位：月）如下表所示： 编号 1 2 3 4

2、5 6 7 8 9 10 月份 2 6 8 6 10 4 7 8 8 7 这组数据（月份）的众数是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 4. 下列与 2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 截至 2022年 6月 2日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破 5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约 1.52亿吨，减排二氧化碳约 4.16亿5000亿用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ） 2022-1202212022-325aaa=()325aa=()22a

3、bab=325aaa+=1050 10115 10120.5 10125 10180 =2 = A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 8. 将直线向上平移 2个单位，相当于（ ） A. 向左平移 2个单位 B. 向左平移 1个单位 C. 向右平移 2个单位 D. 向右平移 1个单位 9. 在古代，人们通过在绳子上打结来计数即“结绳计数”当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图） ，由细到粗（右细左粗） ，满七进一，那么孩子已经出生了（ ） A. 1335天 B. 516天 C. 435天 D. 54天 10.

4、如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ） 20801001203122xx-.21yx=+ABC!ABC!ABC! A B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、（且） ，过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（ ） 点、在反比例函数的图象上；成等腰直角三角形；的值随的增大而增大 A B. C. D. 12. 若，则称是以 10为底的对数记作：例如：，则；，则对数运算满足：当，时，例如：，则的值为（ ） A. 5 B. 2 C. 1 D.

5、 0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共6小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分18分）分） 13. 函数的自变量的取值范围是_ 14. 已知实数是方程的两根，则_ 15. 黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为 115号台球共 15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出 1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是_ 16. 九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图） 、测量、计算发现点是的黄金分割点，即延长与相交于点，则_.（精确到 0.001） .318p31839p39O(),1P m()1,Qm0m 1m PQABOPOQPQmyx=

6、AOB!090POQ0N ()lglglgMNMN+=lg3lg5lg15+=()2lg5lg5 lg2lg2+11yx=-x12,x x210 xx+- =1 2x x =EAD0.618DEADHFADGEG DE 17. 菱形的边长为 2，点、分别是、上的动点，的最小值为_ 18. 如图，已知等腰的顶角的大小为，点 D为边上的动点（与、不重合） ，将绕点 A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接给出下列结论：；当时，的面积取得最小值其中正确的结论有_（填结论对应的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共2小题，每小题小题，每小题6分，共分，共12分）分） ABCD45ABC=PQB

7、CBDCQPQ+ABC!BACqBCBCADqDDBDACDABDACBADD!BDCD=ADD! 19 计算： 20. 先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的非负整数 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共2小题，每小题小题，每小题8分，共分，共16分）分） 21. 按国务院教育督导委员会办公室印发关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（：10h以上，：8h10h，：6h8h，：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图请根据图中的信息，解答下列问题： （1）本次

8、调查的学生共_名； （2）_，_； （3）补全条形统计图 22. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长 注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则 .()1012022132sin602p-+-3242244xxxxx+ +-+x2x 的AB

9、CD=ab =P3 cm3 cmPQ =QB4 cmPB =100NQC300N120=PBCBCFkx=DkxD0 xx0 xxxD =- 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共2小题，每小题小题，每小题9分，共分，共18分）分） 23. “绿水青山就是金山银山”科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 （1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量； （2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银

10、杏树，据估计三棵银杏树共有约 50000片树叶问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？ 24. 如图，以为边分别作菱形和菱形（点，共线） ，动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点设 （1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值 （2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由 六、综合题（本大题共六、综合题（本大题共2小题，每小题小题，每小题10分，共分，共20分）分） 25. 如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点 4 mg62 mgBCBCDEBCFGCDFABCBCFGEFBCOGq=qEFBCEFBCq90q=tan

11、ABCEFACBDRt ABC!OABOOBO!DOAE （1）判定与的位置关系，为什么？ （2）若， 求、的值； 试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证 26. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点 （1）请直接写出点，的坐标； （2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值 （3）点是抛物线上的动点，作/交轴于点，是否存在点，使得以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 ACO!3BC =32CD =sinDBCsinABCsinDBCcosDBCsinABCsin2asinacosa30a=21262yxx=-xA

12、ByCABC()(),06P m nmmPBC!PBC!FFEACxEFACEFF 2022年年湖南省湖南省娄底市娄底市中考中考数学数学真题卷真题卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共2小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分36分，每小题给出的四个选分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应題号下的方框里）在答题卡上相应題号下的方框里） 1. 2022的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义作答即可 【

13、详解】2022的倒数是， 故选：C 【点睛】本题考查了倒数的概念，即乘积为 1的两个数互为倒数，牢记倒数的概念是解题的关键 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法可判断 A，根据幂的乘方可判断 B，根据积的乘方可判断C，根据合并同类项可判断 D，从而可得答案 【详解】解：，故 A符合题意； ，故 B不符合题意； ，故 C不符合题意； 不是同类项，不能合并，故 D不符合题意； 故选 A 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，掌握以上基础运算是解本题的关键 3. 一个小组 10名同学的出生年份（单位

14、：月）如下表所示： 2022-1202212022-12022325aaa=()325aa=()22abab=325aaa+=的325aaa=()326aa=()222aba b=32,a 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 月份 2 6 8 6 10 4 7 8 8 7 这组数据（月份）的众数是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义判断得出答案 【详解】因为 8月份出现了 3次，次数最多，所以众数是 8 故选：B 【点睛】本题主要考查了众数的判断，掌握定义是解题的关键.即一组数据中出现次数最多的数是众数 4. 下列与 202

15、2年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转 180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可 【详解】解：根据中心对称图形定义，可知 D符合题意， 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键 5. 截至 2022年 6月 2日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破 5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约 1.52亿吨，减排二氧化碳约 4.16亿5000亿用科学计数法表示为（

16、 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，先将 5000亿转化成数字，然后按要求表示即可 【详解】解：5000亿，根据科学记数法要求 5000000000005后面有 11个 0，从而用科学记数法表示为， 故选：B 【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键 6. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，由平行线的性质可得 从而可得答案 【详解】解：如图，由题意可得： ， 1050 10115 10120.5 10125 1010na

17、110a1m PQABOPOQPQmyx=AOB!090POQ1m (),1P m()1,Qm090 ,POQ()(),1 ,1,P mQmQ1yxm= - +POQm10 xN=xNlgxN=210100=2lg100=0101=0lg1=0M 0N ()lglglgMNMN+=lg3lg5lg15+=()2lg5lg5 lg2lg2+()lglglgMNMN+=lg101,=!()lglglgMNMN+=()2lg5lg5 lg2lg2+()lg5 lg5 lg2lg2=+ 故选 C 【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空

18、题（本大题共6小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分18分）分） 13. 函数的自变量的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键 14. 已知实数是方程的两根，则_ 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案 【详解】解： 实数是方程的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键 lg5 lg10 lg2=+glg5lg

19、2=+lg10=1.=11yx=-x1x 11x-10,x- 11x-10,10 xx10,x- 1.x 1x 12,x x210 xx+- =1 2x x =1-!12,x x210 xx+- =1211,1x x-=-1-12cx xa= 15. 黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为 115号台球共 15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出 1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是_ 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可 【详解】解：由题意可知：编号为 115号台球中偶数球的个数为 7个， 摸出的球编号为偶数的概率， 故答案为： 【点睛】本题考查概率公式，解题的关键是掌握利用概率的定

20、义求事件概率的方法：一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A包含其中的 n种结果，那么事件 A发生的概率 16. 九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图） 、测量、计算发现点是的黄金分割点，即延长与相交于点，则_.（精确到 0.001） 【答案】0.618 【解析】 【分析】设每个矩形的长为 x，宽为 y，则 DEADAExy，四边形 EFGM是矩形，则 EGMFy，由得 xy0.618x，求得 y0.382x，进一步求得，即可得到答案 【详解】解：如图，设每个矩形的长为 x，宽为 y，则 DEA

21、DAExy， 由题意易得GEMEMFMFG90， 四边形 EFGM是矩形， EGMFy， 7157=15715( )mP An=EAD0.618DEADHFADGEG DE0.618DEADEGDE ， xy0.618x， 解得 y0.382x， ， EG0.618DE 故答案为：0.618 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得 y0.382x是解题的关键 17. 菱形的边长为 2，点、分别是、上的动点，的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】过点 C作 CEAB于 E，交 BD于 G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知 CE为

22、FG+CG的最小值，当 P与点 F重合，Q与 G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形 BEC中，勾股定理即可求解 【详解】解：如图，过点 C作 CEAB于 E，交 BD于 G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知 CE为 FG+CG的最小值，当 P与点 F重合，Q与 G重合时，PQ+QC最小， 0.618DEAD0.3820.6180.382EGyxDExyxx=-ABCD45ABC=PQBCBDCQPQ+ 菱形的边长为 2， 中， PQ+QC的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键 18. 如图，已知等

23、腰的顶角的大小为，点 D为边上的动点（与、不重合） ，将绕点 A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接给出下列结论：；当时，的面积取得最小值其中正确的结论有_（填结论对应的序号） 【答案】 【解析】 【分析】依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断；利用 SAS证!ABCD45ABC=Rt BEC!222ECBC=22ABC!BACqBCBCADqDDBDACDABDACBADD!BDCD=ADD!ABC!ADD! 明， 可判断；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时 . 【详解】绕点 A沿顺时针方向旋转角度得到 ， 即 得：（SAS） 故对

24、 和是顶角相等的等腰三角形 故对 即 AD最小时最小 当时，AD最小 由等腰三角形三线合一，此时 D点是 BC中点 故对 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项中将面积与相似比结合是解题的关键 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共2小题，每小题小题，每小题6分，共分，共12分）分） 19. 计算： 【答案】-2 【解析】 【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案 ADCADB !ADACADD!ADBCADqADDADq=ADAD=CABDAD= CA

25、DDABDABBAD+= +CADBAD= CADBADACABADAD= =ADCADB !ABC!ADD!ACBADD!2()AD DABCSADSAC=AD DSADBC()1012022132sin602p-+- 【详解】解： 【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键 20. 先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的非负整数 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，在根据分式的性质化简，最后将代入求解 【详解】解：原式 ； 的非负整数， 当

26、时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，不等式的整数解，正确的计算是解题的关键 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共2小题，每小题小题，每小题8分，共分，共16分）分） 21. 按国务院教育督导委员会办公室印发的关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（：10h以上，：8h10h，：6h8h，：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图请根据图中的信息，解答下列问题： ()-1012022-132sin602p+ -+-()31 21322= - 1 2 133=

27、 - - +-2= -3242244xxxxx+-+x2x 2xx-1-1x =()()()2322422xxxxx+-+-()2232442xxxx-+=-2xx-=!2x 0,2x 1x =1 211-= -ABCD （1）本次调查的学生共_名； （2）_，_； （3）补全条形统计图 【答案】 （1）200 （2）30，50 （3）画图见解析 【解析】 【分析】 （1）由 D组有 10人，占比，从而可得总人数； （2）由 A，B组各自的人数除以总人数即可； （3）先求解 C组的人数，再补全图形即可 【小问 1 详解】 解：（人） ， 所以本次调查的学生共 200人， 故答案为：200 【小

28、问 2 详解】 所以 故答案为：30，50 【小问 3 详解】 C组有（人） ， 所以补全图形如下： =ab =5%105%=20060100%=30%,200100100%=50%,20030,50,ab=!20060 100 1030-= 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形图中某部分所占的百分比，补全条形图，掌握以上基础统计知识是解本题的关键 22. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻

29、炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长 注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则 【答案】 【解析】 【分析】利用物理知识先求解 再求解再求解 再利用勾股定理求解 MC，从而可得答案 【详解】解：由题意可得：当时， 即 当时，则 P3 cm3 cmPQ =QB4 cmPB =100NQC300N120=PBCBCFkx=DkxD0 xx0 xxxD =-2 62-, k3 36,PC = + =,BM PM100F =4 31,x =-=V100,k=100

30、,Fx=gV300F =3,x =V3 36,PC= + = 如图，记直角顶点为 M， 而 【点睛】本题是跨学科的题，考查了正比例函数的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，二次根式的化简，理解题意，建立数学函数模型是解本题的关键 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共2小题，每小题小题，每小题9分，共分，共18分）分） 23. “绿水青山就是金山银山”科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为

31、（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量； （2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约 50000片树叶问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？ 【答案】 （1）一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为 22mg，40mg （2）这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约 2千克 【解析】 【分析】 （1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg，由一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为列方程，再解方程即可； （2）列式进行计算，再把单位化为 kg即可 【小问 1 详解】 解：设一片国槐树叶一

32、年的平均滞尘量为mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为120 ,90 ,PBCPMBQ30 ,BPM4,PB =222,422 3,BMPM=-=()2262 3242 6,MC=-=2 62.BCMCBM=-=-304 mg62 mgx()24x-62mg5000 mg，则 解得： 答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为 22mg，40mg 【小问 2 详解】 50000（mg） ， 而 2000000mg=2000g=2kg， 答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约 2千克 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的乘法运算，设出合适的未知数，确定相等关系是解本题的关键

33、24. 如图，以为边分别作菱形和菱形（点，共线） ，动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点设 （1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值 （2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由 【答案】 （1）见解析， （2）2，理由见解析 【解析】()24x-2462,xx+-=22,x =2440,x-=40=2000000BCBCDEBCFGCDFABCBCFGEFBCOGq=qEFBCEFBCq90q=tanABCEFAC60GBF!AOFCOF!90FAO=AOHOBA= Rt FAO! 菱形和菱形（点，共线） ， 点 G、B、E共线， ， ， 四边形 BFCE是平

34、行四边形， 与相互平分， 即：无论为何值，与相互平分； 又， 四边形 BFCE是菱形， BE=BF， 又菱形和菱形， ， 为等边三角形， ； 小问 2 详解】 如图所示：连接 AF，AO ，设 EF与 AC交于点 H， 垂直平分 ， 由（1）知，O为 BC的中点， BCDEBCFGCDF,FCBG FCBCBE=!,FCBE FCBE=!EFBCqEFBCEFBCBCDEBCFGGFBGBFBE=GFB!60Gq=【EFAC,90AFFC AOCOAHO= 动点在以 O为圆心，为直径且处于菱形内的圆弧上， ， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ，菱形， 四边形 BCFG为正方形， ， ， 设

35、，则 ， ， 在 中， ， ， 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆中的相关性质，直径所对的圆周角为 90度，正切的定义等，熟练掌握以上知识点，并能综合运用是解题的关键 六、综六、综合题（本大题共合题（本大题共2小题，每小题小题，每小题10分，共分，共20分）分） 25. 如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点 ABCBCFG90 ,BACAOBOCO=OBAOAB= 90OABOACAOHOAC+= +=!AOHOABOBA= = AOF!COF!AFCFAOCOFO

36、FO=AOFCOF!FAOFCO= 90q=BCFG90 ,FCOFCBC=90FAOFCO= =FCBCx=AFCFx=1122AOOCBCx=Rt FAO!tan212AFxFOAAOx=AOHOBA= !tantan2ABCFOA=BDRt ABC!OABOOBO!DOAE （1）判定与的位置关系，为什么？ （2）若， 求、的值； 试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证 【答案】 （1）相切，原因见解析 （2），；，验证见解析 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，根据角之间的关系可推断出，即可求得的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切； （2）构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长

37、可求出，的值；先表示出来、和的关系，进而猜测与，的关系，然后将代入进去加以验证 【小问 1 详解】 解：连接 OD，如图所示 BD为的角平分线 又过点 B、D，设半径为 r OB=OD=r （内错角相等，两直线平行） AC与的位置关系为相切 【小问 2 详解】 ACO!3BC =32CD =sinDBCsinABCsinDBCcosDBCsinABCsin2asinacosa30a=5sin5DBC=4sin5ABC=sin22sincosaaa=/OD BCODAsinDBCsinABCsinDBCcosDBCsinABCsin2asinacosa30a=ABCABDCBD= O!O!ODB

38、OBDCBD= = /OD BCODACO! BC=3， 过点 D作交于一点 F，如图所示 CD=DF（角平分线的性质定理） BF=BC=3 OF=BF-OB=3-r， 即 ； 猜测 当时 32CD =223 52BDBCCD=+=5sin5CDDBCBD=DFAB32OFCD=222ODOFDF=+2223(3)( )2rr=-+158r =/OD BCABCFOD= 4sinsin5DFABCFODOD=54sin,sin55DBCABC=2 5cos5CBDBCBD=52 52sincos555DBCDBC=sin2sincosABCDBCDBC=sin22sincosaaa=30a=2

39、60a= 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果 26. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点 （1）请直接写出点，的坐标； （2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值 （3）点是抛物线上的动点，作/交轴于点，是否存在点，使得以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1），； 3sin2sin602a= =1sinsin302a= =3coscos302a= =133sin22sincos2sin2222aaaa=sin22si

40、ncosaaa=21262yxx=-xAByCABC()(),06P m nmmPBC!PBC!FFEACxEFACEFF()2,0A -()6,0B()0, 6C- （2），面积的最大值； （3）存在，或或 【解析】 【分析】 （1）令得到，求出 x即可求得点 A和点 B的坐标，令，则即可求点 C的坐标； （2）过 P作轴交 BC于 Q，先求出直线 BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线 BC直线与抛物线只有一个交点时，点 P到 BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解； （3）根据点是抛物线上的动点，作/交轴于点得到，设，当点 F在 x轴下方时，当点 F在 x轴的上方

41、时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解 【小问 1 详解】 解：令， 则， 解得， ， 令，则， ； 【小问 2 详解】 解：过 P作轴交 BC于 Q，如下图 3m =PBC!272()22 7,6+()22 7,6-()4, 6-0y =212602xx-=0 x =6y = -PQy!PBC!FFEACxEAE CF!21,262F aaa-6OC =0y =212602xx-=12x = -26x =()2,0A -()6,0B0 x =6y = -()0, 6C-PQy! 设直线 BC为，将、代入得 ， 解得， 直线 BC为， 根据三角形的面积，当平行于直线 BC直线与抛物线只

42、有一个交点时，点 P到 BC的距离最大，此时，的面积最大， ， ， ， ， 时，PQ最大为， 而， 的面积最大为； ()0ykxb k=+()6,0B()0, 6C-066kbb=+= -16kb= -6yx=-PBC!()(),06P m nm21262P mmm-，()6Q mm-，()()221196263222PQmmmm=-= -+102-3m =921192762222PBCCBSPQ xx=-=!PBC! 【小问 3 详解】 解：存在 点是抛物线上的动点，作/交轴于点，如下图 ，设 当点 F在 x轴下方时， ， 即， ， 解得（舍去） ， 当点 F在 x轴的上方时，令， 则 ， 解得， 或 综上所述，满足条件的点 F的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点FFEACxEAE CF!21,262F aaa-()0, 6C-6OC =212662aa-= -10a =24a =()4, 6F-6y =212662aa-=322 7a =+422 7a =-()22 7,6F+()22 7,6-()22 7,6+()4, 6-()22 7,6- 的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等