2022年一元一次方程学生讲义 .pdf

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1、学习必备欢迎下载3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程知识点 1 定义 1：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数 x 的指数都是 1( 次)，这样的方程叫做一元一次方程. 例如： 1700+50 x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程 . 1、 如果(m-1)x|m| +5=0 是一元一次方程，那么m 2、 下列各式：3x+2y=1m-3=6x/2+2/3=0.5 x2+1=2z/3-6=5z(3x-3)/3=4 5/x+2=1x+5 中，一元一次方程的个数是（）、1 、2 、3 、4 3、若(a 1)x|a|36 是关

2、于 x 的一元一次方程，则a； x。知识点 2 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值 ( 或几个数值 )，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程 . 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较

3、两边的值是否相等从而得出结论. 1、若 x=1 是方程 k（x-2 ）=2 的解，则 k= 2、 （2009芜湖）已知方程3x2x-9x+m=0 的一个根是1，则 m 的值是。解：把 x=1 代入原方程，得321-9 1+m=0 ，解得 m=6 答案： 6 3、y=1 是方程12()23myy的解，求关于x 的方程(4)2(3)m xmx的解。4、 （2004吉林）已知 m 是方程2x-x-2=0 的一个根，则代数式2mm的值等于 _.3.1.2 等式的性质等式的性质 (1) ：等式两边都加上 ( 或减去 )同个数( 或式子) ，结果仍相等 . 等式的性质 (1) 用式子形式表示为：如果a=b

4、，那么 ac=bc 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(2) 等式的性质 (2) ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等，等式的性质(2) 用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc; 如果 a=b(c0) ，那么ac=bc1、等式 2-31x=1变形，应得（）A6-x+1=3 B6-x-1=3 C 2-x+1=3 D2-x-1=3 五、解方程的一般步骤1.

5、 去分母 ( 方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2. 去括号 ( 按去括号法则和分配律 ) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号 ) 4. 合并(把方程化成 ax = b (a0)形式) 5. 系数化为 1(在方程两边都除以未知数的系数a， 得到方程的解 x=ba). 1、要解方程 4.5(x+0.7)=9x ,最简便的方法应该首先（）、去括号、移项、方程两边同时乘以、方程两边同时除以4.5 分析：由于是4.5 的倍，所以选择最简便2、解方程512(69)812()8323xxx解：去括号x x x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

6、 - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载移项x xx 合并x系数化为x3、如果2005200.520.05x, 那么x等于（）(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45 分析与解： 移项，得 2005-200.5+20.05=x ，解得：x=1824.55. 答案为 A. 4、 （2008江苏）解方程：3 4 11384 3242xx解：去括号，得1136242xx移项、合并同类项，得 -x=6

7、14，系数化为 1，得 x=-6145、 （2003黄州）解方程：2(1)0.4(1)3430.24xx. 6 、 解 方 程 （ 1 ）50714x（2 ）312 1451yyy（3）11234xxx（4）0.110.70.110.40.3xxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（5）13312612657xx（6）2138x3.4 实际问题与一元一次方程（1）用方程思想解决实

8、际问题的一般步骤1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系2. 设：设未知数 (可分直接设法，间接设法) 3. 列：根据题意列方程4. 解：解出所列方程5. 检：检验所求的解是否符合题意6. 答：写出答案 (有单位要注明答案 ) （2）有关常用应用类型题及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现. （2）多少关系：通过关键词语 “多、少、和、差、不足、剩余”来体现 . 2. 等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积

9、 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3. 调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变（1）有两个工程队，甲工程队有32 人，乙工程队有28 人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2 倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？（2）某班同学利用假期参加夏令营活

10、动，分成几个小组，若每组7 人还余 1 人，若每组 8 人还缺 6 人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？4. 数字问题（1）要搞清楚数的表示方法： 一个三位数的百位数字为a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数， 且 1a9， 0 b9，0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c. （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用2n+2或 2n2 表示；奇数用2n+1 或 2n1 表示. （1）已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

11、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）一个两位数， 十位上的数字比个位上的数字小5，若此两位数的两个数字位置交换， 得一新两位数， 那么新两位数与原两位数大45，求新两位数与原两位数的积是多少？5. 工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间工程问题有三个基本量： 工作量、工作时间、工作效率，其基本关系为：工作量 =工作效率工作时间；一般情况下把全部工作量看作 1（1）一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h

12、 注满水池，乙单独开 8h 注满,丙单独开 24h可排掉满池的水， 如果三管同开， 多少小时后刚好把水池注满水？（2）某工程，甲单独完成续20 天，乙单独完成续12 天，甲乙合干 6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程? 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载6. 行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度时间 . （2）基本类型有 相遇问题； 追及问题；

13、常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题. 水上（空中）问题此类问题主要涉及四个量：静水船速、水速、逆水船速、顺水船速基本关系为：顺水船速 =静水船速 +水速；逆水船速 =静水船速水速（1）甲乙两个人在400 米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是 4 米/秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？（2）甲乙两站相距 300km，一列慢车从甲站开往乙站， 每小时行 40km，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80km，已知慢车先行1.5h，快车7. 商品销售问题有关关系式：商品利润 =商品售价商品进价 =商品标价折扣率商品进价商品利润率 =商品利润 /商品进价名师归纳总结 精品学习

14、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载商品售价 =商品标价折扣率再开出，问快车开出多少小时后与慢车相遇？（1）某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270 元，问该商品原标价多少元？现销售价是多少？（2）甲乙两件衣服的成本共500 元，商店老板为获取利润，决定将家服装按 50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9 折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件

15、服装成本各是多少元？8. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率. 利息的 20% 付利息税 利息=本金利率期数本息和 =本金+利息利息税 =利息税率（ 20% ）9、增长率问题（降低率）增长率问题有三个基本量：净增量、基础量、增长率，基本关系；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1、 （2

16、009福州）某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均 2 元还 多35 元 ， 设 这 个 班 的 学 生 有x人 ， 根 据 题 意 列 方 程 为_ 。解题思路：本题的相等关系是捐款总数相等，解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数35 元表示出捐款总数（ 2x+35）元。答案： 2x+35=131 2、 某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用 30 座客车若干辆，但还有 15 人无座位。（1）设原计划租用 30 座客车 x 辆，试用含 x 的代数式表示该校初三年级学生的总人数；（2）现决定租用40 座客车，则可比原计划租30 座客车少一辆，且所租 40座客车中有一辆没有坐满，只

17、坐35 人。请你求出该校初三年级学生的总人数。分析：本题表示初三年级总人数有两种方案，用30 座客车的辆数表示总人数： 30 x+15 用 40 座客车的辆数表示总人数：40（x2）+35。解： （1）该校初三年级学生的总人数为：30 x+15 （2）由题意得：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 30 x+1540（x2）+35 解得：x6 30 x1530615195（人）答

18、：初三年级总共195 人。3. 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放2 个大餐厅、 1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐（1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的5300 名学生就餐？请说明理由分析：可以先设 1 个小餐厅可供y名学生就餐，这样的话， 2 个小餐厅就可供 2y 个学生就餐，因此大餐厅就可共 （1680-2y） 名学生就餐 .然后在根据开放2 个大餐厅、 1 个小餐厅可以就餐的人数列出方程2（1680-2y）+y=2280 解：

19、（1）设 1 个小餐厅可供y名学生就餐，则1 个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意，得2（1680-2y）+y=2280 解得： y=360（名）所以 1680-2y=960（名）答： （略） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）因为9605360255205300，所以如果同时开放7 个餐厅，能够供全校的5300 名学生就餐【点拨】第问属于直接列方程解应用题

20、，而第问属于说理题，关键是求出这 7 个餐厅共能容纳多少人就餐，然后比较即可. 4、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45 元；按标价的八五折销售该工艺品8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等. 该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？分析：根据利润 =售价- 进价与售价 =标价折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8 件与将标价降低35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等，就可以列出一元一次方程. 解：设该工艺品每件的进价是x元, 标价是（45+x）元. 依题意，得: 8（45+x）0.85-8x= （45+x-35）12-12x 解得： x=15

21、5（元）所以 45+x=200（元）答： （略） . 【点拨】这是销售问题，在解答销售问题时把握下列关系即可：商品售价 =商品标价折扣率商品利润 =商品售价商品进价 =商品标价折数商品进价商品利润率 =商品利润商品进价100% 5、 （2006益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话

22、：李小波：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？李小波：我只有100 元，请帮我安排买10支钢笔和 15 本笔记本 . 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2 元，退你 5 元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？分析：这是一道情景对话问题，具有一定的新颖性. 解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系. 从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2 元，同时还可以发现买10 支钢笔和15 本笔记本共消费（100-5）=95 元. 根据上述等量关系可以得到相应的方程. 解：设笔记本每本x 元，则钢笔每支为（ x+2）元，据题意得10（x+2）+15x=100-

23、5 解得， x=3（元）所以 x+2=5（元）答： （略）6、某工厂计划26 小时生产一批零件，后因每小时多生产5 件，用 24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60 件，问原计划生产多少零件？7、甲、乙两种商品的单价之和为100 元，因为季节变化，甲商品降价10% ，乙商品提价 5% ，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载提高

24、 2% ，求甲、乙两种商品的原来单价？8、甲、已两个团体共 120人去某风景区旅游。风景区规定超过80 人的团体可购买团体票，已知每张团体比个人票优惠20% ，而甲、已两团体人数均不足 80 人，两团体决定合起来买团体票，共优惠了 480 元，则团体票每张多少张？9、 （2004陕西）足球比赛的记分规则为：胜一场得3 分。平一场得 1分，输一场得 0 分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14 场，现已比赛了 8 场，输了 1 场， 得 17 分，请问：（1）前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？（2）这支球队打满14 场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14 场比赛，得分不低于 29 分， 就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6 场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -