概率论与数理统计教师用教案概率统计教案4章第2-3节.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 148 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第二节 方差 第三节 协方差及相关系数 课时：3 教学目的 教学目的 (1) 理解随机变量方差的概念； 理解随机变量方差的概念； (2) 掌握方差的性质与计算方法；掌握方差的性质与计算方法； (3) 掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望与方差掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分

2、布的数学期望与方差； (4) 了解矩、协方差、相关系数的概念及其性质，并会计算. 内容 内容 (1) 方差的概念、求法及其应用问题; (2) 六种重要分布的数学期望与方差. 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强方差的概念、求法及其应用问题的例题讲解力度，布置作业训练巩固. 内容 内容 相关系数的求法. 教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲情“相关系数”的定义及几种关系等式，加大例题讲解力度. 教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析 习题布置 习题布置 P118：1、2、3、7、8、9； P125：1、2、5、6、7、8、11. 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝

3、成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘： 概率论与数理统计教案、 作业册与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术出版社，2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈

4、健 编著 大连理工大学出版社出版 第 149 页页 教 学 内 容 教学笔记 教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介 在一些实际问题中, 未必十分需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只需知道随机变量的某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数. 在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中, 最重要的就是随机变量的数学期望、方差以及各阶矩. 上一节讨论了数学期望的理论. 本节讨论随机变量的方差、各阶矩和协方差，分析其性质，利用其理论解决实际问题. 预备知识 预备知识 数学期望定义与计算公式， 独立性及其充要条件， 六种重要的分布，指示函数，矩阵. 第四章 随机变量的数字特征 第四章 随机变量

5、的数字特征 第二节 方差 第二节 方差 在分析实际问题时，人们除了关心随机变量取值的平均值，也要关心随机变量取值是否集中或过于分散，以此来说明产品质量的稳定性. 由此可见, 研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的. 那么，用怎样的量来度量这个偏离程度呢? 容易看到 E()XE X 能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但是表达式带有绝对值运算会导致计算不方便. 为计算方便起见, 通常是采用偏差的平方量 EX-E(X)2 来度量随机变量 X 与其均值 E(X)的偏离程度. 一、 方差的定义 一、 方差的定义 定义定义 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, 若若 EX-E(X)2存在

6、存在, 则称则称 EX-E(X)2 为为 X 的方差的方差(variance), 记为记为 D(X)或或 DX，Var(X). 即即 D(X)=Var(X)=EX-E(X)2. (2.1) 在应用上, 还引入与随机变量 X 具有相同量纲的量()D X, 记为 (X), 称为标准差(标准差(standard deviation) )或均方差(均方差(mean square error) ). 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 1

7、50 页页 定理定理 1 在相应方差存在的条件下 在相应方差存在的条件下, (1) 若 若 X 是离散型随机变量是离散型随机变量, 分布律为 分布律为 PX=xk=pk, k=1, 2, 则离散型随机变量则离散型随机变量 X 的方差 的方差 21()()kkkD XxE Xp. (2.2) (2) 若 若X是连续型随机变量是连续型随机变量, 其概率密度为 其概率密度为f(x), 则连续型随机变量则连续型随机变量X的方差 的方差 2()()( )dD XxE Xf xx. (2.3) (3) D(X)=E(X 2)-E(X)2. (2.4) 证 证 结论(1)和(2)由方差定义及函数期望计算公式

8、(1.4)式和(1.5)式立即得证. 对于结论(3), D(X) = EX-E(X)2 = EX 2-2XE(X)+E(X)2 = E(X 2)- 2E(X)E(X)+E(X)2 = E(X 2)-E(X)2. 请读者注意, 常用(2.4)式计算方差. 例例 4.2.1 深入解读第一节例 4.1.1： 进一步分析该投资者如何投资为好呢？ 建议：不必讲解计算过程，分析结果及其实际意义即可. 例例 4.2.2 继续解读第 86 页例 3.3.1：设二维随机变量(X, Y)的分布律为 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统

9、计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 151 页页 X Y 0 1 p.j 1 61 13 21 2 61 13 21 pi. 31 32 1 试计算 E(X), E(X2), E(XY), D(X). 解解 由 X 和 Y 的联合分布律和便于分布律, 得到 21122()01,333iiiE Xx p 222221122()01333jjjE Xx p, 22111122()0 10 21 11 216666ijijijE XYx y p ， D(X) = E(X 2)-E(X)2=23-223=29 例例 4.2.3 继续解读例 4.1.3

10、：已知随机变量(, )X Y的概率密度为 4,01,01,( , )0,.xyxyf x y 其它 再求 X 和 Y 的方差 D(X), D(Y). 建议：学生自看. 二、 方差的性质 二、 方差的性质 定理定理 2 随机变量的方差具有以下性质 随机变量的方差具有以下性质(设以下所遇到的随机变量的方差均存在设以下所遇到的随机变量的方差均存在)： (1) 设 设 C 为常数, 则为常数, 则 D(C)=0 . (2.5) 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著

11、大连理工大学出版社出版 第 152 页页 (2) 设设 C, a, b 为常数为常数, 则则 D(CX)=C2D(X), 且 D(aX+b)=a2D(X). (2.6) (3) 若若 X 与与 Y 相互独立, 则相互独立, 则 D(XY)=D(X)+D(Y). (2.7) (4) 设设X1, X2,Xn是相互独立的是相互独立的n个随机变量个随机变量, C1, C2, Cn是是n个常数个常数, 则 则 112()().nniiiiiiDC XD XC (2.8) (5) D(X)=0 的充分必要条件是的充分必要条件是 X 以概率以概率 1 取常数取常数 E(X), 即即 PX= E(X)=1.

12、证证 (1) 由数学期望的性质, 有 D(C)=EC-E(C)2=E(C-C)2 =E(0)=0. (2) 由方差的计算公式(2.4)式可得, D(CX)=E(C2X 2)- E(CX)2 = C2E(X 2)- C2E(X)2= C2D(X). 第二个等式留给读者自证. (3) D(XY)= E(XY)-E(XY)2 = E(X-E(X)(Y-E(Y)2 = EX-E(X) 2 +EY-E(Y)22EX-E(X)Y-E(Y) =D(X)+D(Y)2EX-E(X)Y-E(Y), 由于 X 与 Y 相互独立, 根据第三章第三节定理 3 知 X-E(X)与 Y-E(Y)也相互独立, 从而 EX-E

13、(X)Y-E(Y)= EX-E(X) E Y-E(Y)=0. 于是 D(XY)=D(X)+D(Y). 结合结论(2)与(3)立即推知结论(4)成立. 结论(5)的证明见第五章第一节例 5.1.2. 例例 4.2.4 设随机变量 X 的数学期望 E(X)和方差 D(X)均存在, 且 D(X)0. 定义一个新随机变量 X * 为 ,)()(XDXEXX (2.9) 求证 E(X *)=0, D(X *)=1. 通常称 X *为 X 的标准化随机变量标准化随机变量. 证 证 ()1() ()()0,()()XE XE XEE XE XD XD X 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松

14、，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 153 页页 2()1()()1.()()XE XD XDD XD XD X 本例题的结论常当作定理使用. 随机变量“标准化”的处理方法也常常用到. 三、 几种重要分布的数学期望与方差 三、 几种重要分布的数学期望与方差 建议： (1) 受到学时紧张、 所含方法少的影响， 不必讲解推导的具体详细过程. (2) 建议重点分析各个概率分布的期望、方差的实际意义. (3) 教师有选择性地嘱咐学生将下列“讲评”写在书上. 1. . 0-1 分布 分布

15、设随机变量 XB(1, p), 则 E(X)=p, D(X)=pq, 这里 q =1-p. 2. 二项分布 . 二项分布 设随机变量 XB(n, p), 则 E(X)=np, D(X)=npq, 这里 q =1-p. 证证 二项分布可以看成 n 个独立的服从相同 0-1 分布的随机变量之和, 即设 XiB(1,p)(i=1,2,n)且相互独立, 得到 1.niiXX 于是, 根据数学期望和方差性质得到 ,)()(1npXEXEnii .)()(1npqXDXDnii 3. 泊松分布 . 泊松分布 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版

16、第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 154 页页 设随机变量 XP(), 则 E(X)=D(X)= . 4. 均匀分布 . 均匀分布 设随机变量 XU(a, b), 则 E(X)=,2ba D(X)=12)(2ab . 5. 指数分布 . 指数分布 设随机变量 XE(), 则 E(X)=1, D(X)=21. 6. 正态分布 . 正态分布 设随机变量 XN (, 2), 则 E(X)= , D(X)= 2. 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计

17、教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 155 页页 例例 4.2.5 设随机变量 X, Y, Z 相互独立, 且已知 XN(2,4), YE(2), ZU(-1, 2). (1) 设 W=2X + 3XYZZ +5, 求 E(W); (2) 设 U=3X-2Y+Z-4, 求 D(U). 解解 (1) 由本节讨论知 E(X)=2, E(Y)=21, E(Z)=12, 且 X, Y, Z 相互独立, 由数学期望的性质得 E(W)=2E(X) +3E(X)E(Y)E(Z)-E(Z)+5 =22+32111222+5=10. (2) 由于 D(X)=4,

18、 D(Y)=41, D(Z)=43, 且 X, Y, Z 相互独立, 由方差的性质得到 D(U)=9D(X)+4D(Y)+D(Z)1339 4437.444 思考题思考题 1. 方差和标准差的实际意义是什么？ 2. 方差和数学期望之间的联系有哪些？ 解题参考解题参考 1. 方差和标准差的实际意义是：随机变量 X 的方差表达了 X 的取值与其数学期望的偏离程度. 若 X 取值比较集中, 则 D(X)较小; 若 X 取值比较分散, 则 D(X)较大. 因此, D(X)是刻画 X 取值分散程度的一个量. 标准差与随机变量有相同的量纲，应用更加方便. 2. 方差和数学期望之间的联系见第 113 页(2

19、.4)式. 第三节第三节 协方差、相关系数及矩 协方差、相关系数及矩 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 156 页页 对于二维随机变量(X, Y), 我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外, 还需讨论描述 X 与 Y 之间相互关系的数字特征协方差与相关系数. 一、 协方差与相关系数的定义 一、 协方差与相关系数的定义 定义定义 1 EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量称为随机变量X与与Y的协方差的协方差(covariance

20、). 记为记为 Cov(X, Y), 即即 Cov(X, Y)= EX-E(X)Y-E(Y). (3.1) 而 而 )()(),(CovYDXDYXXY (3.2) 称为随机变量称为随机变量X与与Y的相关系数的相关系数（correlation coefficient）. 注意, XY是一个无量纲的量. 例例 4.3.1 设 X *, Y *为 X 与 Y 的标准化随机变量, 证明: (1) * *Cov(*, *);X YXY (2) * *X YXY. 证 证 由于*()( ),()( )XE XYE YXYD XD Y 显然有 E(X*)=0, E(Y*)=0, D(X*)=1, D(Y*

21、)=1. 于是 * *Cov(*, *)Cov(*, *)(*)( *)X YXYXYD XD Y =EX*-E(X*) Y*-E(Y*)=E(X*Y*) =()( )()( )XE X YE YED XD Y=()( )()( )EXE XYE YD XD Y =XY. 二、 协方差的性质 二、 协方差的性质 定理定理 1 对于任意的随机变量对于任意的随机变量 X ,Y 和和 Z, 下列等式成立(在记号有意义的条件下)下列等式成立(在记号有意义的条件下): (1) Cov(X, X)=D(X). 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版

22、 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 157 页页 (2) Cov (X, Y)=Cov (Y, X). (3) 若若 X 与与 Y 相互独立,则相互独立,则 Cov (X,Y)=0. (4) Cov (X, a)=0, a 为常数为常数. (5) Cov (X,Y)=E(X Y)-E(X)E(Y). (3.3) (6) Cov (aX, bY)=abCov (X,Y), a, b 是常数是常数. (7) Cov (X+Y,Z)=Cov (X,Z)+Cov (Y,Z). (8) D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov (X,

23、Y). (3.4) 证证 利用数学期望的性质知, 结论(1), (2), (3), (4)成立. 关于结论(5), 我们有 Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) =EXY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y). 利用协方差定义、方差定义和数学期望的性质, 易证结论(6), (7), (8)成立 三、 相关系数的性质 三、 相关系数的性质 定理定理 2 设随机变量 设随机变量 X 与与 Y 的相关系数的相关系数 XY存在存在, 则有则有 (1) XY = YX ; (3.5) (2)

24、1XY; (3.6) (3) 1XY的充分必要条件是: 存在常数 a(a0), b, 使 PY=aX+b=1. 证证 结论(1)可由协方差的性质(2)推知. (2) 设 X *, Y *为 X 与 Y 的标准化随机变量, 由例 4.3.1 和定理 1 中性质(8)得到 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 158 页页 0D(X *Y *)=D(X *)+D(Y *)2Cov(X *, Y *)=D(X*)+D(Y*)2* *X

25、Y = 1+12XY =2(1XY). 由此可得1XY. (3) 由(2)证明知 D(X *Y *)=2(1XY). 易知, XY =1 的充分必要条件是 D(X *Y *)=0. 再由 E(X *Y *)=E(X *)E(Y *)=0 及第三节定理 2 中的方差的性质(5)知, 上式等价于 ()( )01.()( )XE XYE YPD XD Y 取( )( ),( )(),()()D YD YabE YE XD XD X 可知上式又等价于 PY=aX+b=1. 从这个证明中, 我们还知道: 若 a0, 有 XY =1, 这时称 X 与 Y 正线性相关正线性相关; 若 a0, 则称 X 与

26、Y正相关正相关; 若 XY 0, 则称 X 与 Y 负相关负相关. 当 XY =0 时, 我们称 X 与与 Y 不相关不相关. 显然, 它等价于 X 与 Y 的协方差 Cov(X, Y)为零. 相关系数的实际意义相关系数的实际意义是： 相关系数 XY准确地应该称为线性相关系数；XY的大小反映 X 与 Y 的线性相关程度. 当XY较大时, 则 X 与 Y 的线性相关程度较强; 当XY较小时, 则 X 与 Y 的线性相关程度较弱. 讲评 讲评 例例 4.3.2 再继续解读第 86 页例 3.3.1 和第 113 页的例 4.2.2.： 设二维随机变量(X, Y)的分布律为 概率论与数理统计教案 第

27、四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 159 页页 X Y 0 1 p.j 1 61 13 21 2 61 13 21 pi. 31 32 1 (1) 计算 X 与 Y 的协方差以及相关系数； (2) 问随机变量 X 与 Y 是否独立，是否不相关呢？ 解解 (1) 已知 X 的数学期望为2()3E X ，()E XY=1，D(X) =29. 而 21113( )12222jjjE Yy p , D(Y) =14. 所以，随机变量 X 与 Y 的协方差为

28、Cov(,)()() ( )X YE XYE X E Y=1-2332=0. 随机变量 X 与 Y 的相关系数为 Cov(,)0()( )XYX YD XD Y. (2) 由例 3.3.1 知，随机变量 X 与 Y 相互独立. 随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY=0，得到随机变量 X 与 Y 不相关. 讲评 讲评 应注意：随机变量X与Y“不相关”与“独立”并不等价. 参见下例. 例例 4.3.3 再继续解读第 87 页例 3.3.2 和第 106 页例 4.1.2：设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 221,1,( , )0,xyf x y其它. 已知随机变量 X 与 Y 不相互独立，

29、再问连续型随机变量 X 与 Y 是否不相关? 解 解 由例 4.1.2 知，随机变量 X 和 Y 的数学期望 E(X)=0 和 E(Y)=0. 而 ()( , )E XYxyf x yx y d d 2222111110yyxyxyxyx yyxd ddd. . 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 160 页页 从而得到 Cov(X,Y)= ()() ( )E XYE X E Y=0,即有XY=0.这表明随机变量 X和 Y 是不

30、相关的，虽然随机变量 X 与 Y 不相互独立. 例例 4.3.4 设随机向量(X,Y)服从二维正态分布 N(221212,;,; )， 求 X 和Y 的相关系数XY. 这样, 二维正态分布 N(221212,;,; )中的 5 个参数都有了明确的意义： 1()E X, 2( )E Y, 21()D X, 22( )D Y, XY. 定理定理 3 若若(X, Y)服从二维正态分布服从二维正态分布 N(221212,;,; ), 那么那么 X 与与 Y 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 X 与与 Y 不相关不相关. 例例 4.3.5 对于随机变量 X, Y, 下列结论是等价的： (1) C

31、ov(, )0X Y ; (2) X 与 Y 不相关(或0XY); 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 161 页页 (3) )()()(YEXEXYE; (4) ()()( )D XYD XD Y. 证明证明 事实上, 注意到 ()()( )2Cov(, )D XYD XD YX Y. 因此 ()()( )D XYD XD YCov(, )0()() ( )X YE XYE X E Y. 显然， Cov(, )0X Y0XY.

32、 四、矩 四、矩 这里再介绍随机变量的另外几个数字特征, 它们在后面的数理统计学习中会经常用到. 定义定义 2 设设 X 和和 Y 是随机变量是随机变量, 若若 E(X k) ( k=1,2,)存在存在, 称它为随机变量称它为随机变量X 的的 k 阶原点矩阶原点矩, 简称简称 k 阶矩阶矩. 若若 EX-E(X)k( k=2,3,)存在存在, 称它为随机变量称它为随机变量 X 的的 k 阶中心矩阶中心矩. 若若 E(X kY l) (k, l=1,2,)存在存在, 称它为随机变量称它为随机变量 X 和和 Y 的的 k+l 阶混合矩阶混合矩. 若若 EX-E(X)kY-E(Y)l ( k, l=

33、1,2,)存在存在, 称它为随机变量称它为随机变量 X 和和 Y 的的 k+l阶混合中心矩阶混合中心矩. 显然, X 的数学期望 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X 的二阶中心矩,协方差 Cov(X,Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩. 下面介绍 n 维随机变量的协方差矩阵. 设 n 维随机变量(X1, X2, Xn )的二阶混合中心矩 cij=Cov(Xi, Xj)=EXi-E(Xi)Xj- E(Xj), i, j=1,2,n 都存在, 则称矩阵 nnnnnncccccccccC212222111211 (3.7) 为n维随机变量(X1,X2, Xn)的协方差矩阵协方差矩

34、阵. 由于cij=cji(ij,i,j=1,2,n), 因而协方差矩阵是一个对称矩阵. 思考题思考题 1. 协方差和相关系数的实际意义是什么？ 2. 对于随机变量 X, Y，函数 XY 的方差、协方差以及相关系数之间的联系是什么？试分别用语言和数学公式表述. 3. 随机变量 X, Y 相互独立是否一定不相关呢？反之，随机变量 X, Y 不相关是否一定不独立呢？随机变量 X, Y 不独立是否一定相关呢？ 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第四章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社

35、出版 第 162 页页 解题参考解题参考 1. 协方差和相关系数的实际意义是， 相关系数 XY的大小反映 X 与 Y 的线性相关程度. 当XY较大时, 则 X 与 Y 的线性相关程度较好; 当XY较小时, 则 X 与 Y 的线性相关程度较差. 协方差与相关系数的实际意义相近，但缺少对方差的相对比较作用. 常用相关系数而不用协方差. 2. 见教材第 120 页公式(3.4) D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y) = D(X)+D(Y)2()( )XYD XD Y 3. 随机变量X, Y独立一定不相关. 随机变量X, Y不相关不一定不独立. 随机变量 X, Y 不独立不一定相关. 小 结 与 思 考 小 结 与 思 考 方差 D(X)=EX-E(X)2描述随机变量 X 与它的数学期望 E(X)的偏离程度,我们常用公式 D(X)=E(X2)-E(X)2计算方差, 注意 E(X2)和E(X)2的区别. 计算协方差常用公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 思考题思考题 (1) 当 X 与 Y 相互独立时, X 与 Y 是否不相关；,若 X 与 Y 不相关, X与 Y 是否一定相互独立？ (2) 对于二维正态分布, 若(X, Y)服从正态分布, 那么 X 和 Y 相互独立的充要条件是 X 与 Y 不相关吗？