2022年一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题 .pdf

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1、1一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式 .当 a0 时，解集为；当 a0 时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为_不等式 .(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式 0 0 0二次函数yax2 bxc(a 0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2b2a无实根ax

2、2bxc0(a 0)的解集Rax2bxc0(a 0)的解集x|x1xx2?3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式 .(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）0 ?f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 ?f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 ?f（x） g（x） 0，g（x） 0；f（x）g（x）0 ?f（x）g（x） 0，g（x） 0.(2014课标 )已知集合Ax|x22x30 ， Bx|2x 2， 则 AB()A. 2， 1 B. 1，2)C.1，1 D.1，2)解： Ax|x3 或 x1 ，Bx|

3、2x2， AB x| 2x12，1.故选 A.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2设 f(x)x2bx1 且 f(1)f(3)，则 f(x)0 的解集为 ()A. x|x R B. x|x1， xRC.x|x 1 D. x|x1解： f(1)1b12b，f(3)93b1103b，由 f(1)f(3)，得 2b103b，解出 b 2，代入原函数，f(x)0 即 x22x10，x 的取值范围是x1.故

4、选 B.已知121x2，则 x 的取值范围是()A.2x0 或 0 x12B.12x2C.x2 D.x12解： 当 x0 时， x12；当 x0 时， x 2.所以 x 的取值范围是x12， 故选 D.不等式1 2xx10 的解集是.解： 不等式12xx10 等价于 (12x)(x 1)0，也就是x12(x1)0，所以 1x12.故填 x|1x12，xR .(2014 武汉调研 )若一元二次不等式2kx2kx380 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为 _.解： 显然 k0.若 k0，则只须 (2x2 x)max38k，解得k?；若 k0，则只须38k(2x2x)min，解得 k(3，0)

5、.故 k 的取值范围是(3，0).故填 (3， 0).类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式 (ab)x2a3b 0的解集为，13， 求关于 x的不等式 (a3b)xb2a0 的解集 .解： 由(ab)x3b2a的解集为，13，得 ab0，且3b 2aa b13，从而 a2b，则 ab3b0，即 b0，将 a2b 代入 (a 3b)xb2a0，得 bx3b0，x 3，故所求解集为(， 3).点拨：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9

6、 页 - - - - - - - - - 3一般地，一元一次不等式都可以化为ax b(a0)的形式 .挖掘隐含条件a b 0 且3b 2aa b13是解本题的关键.解关于 x 的不等式： (m24)xm2.解： (1)当 m240 即 m 2 或 m2 时，当 m 2 时，原不等式的解集为?，不符合当 m2 时，原不等式的解集为R,符合(2)当 m240 即 m 2 或 m2 时， x1m2.(3)当 m240 即 2m2 时， x1m2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x27x12 0; (2)x22x30；(3)x22x10; (4)x22x 20.解： (1) x|x3 或

7、 x4.(2) x|3x1 .(3)?.(4)因为 0，可得原不等式的解集为R.(2013金华十校联考)已知函数 f(x) x1，x0，x1，x 0，则不等式x(x1)f(x1)1 的解集是 ()A. x|1x21 B. x|x 1C.x|x21 D. x|21x2 1解： 由题意得不等式x(x1)f(x1)1 等价于x10，x（ x 1）（ x 1） 11或x1 0，x（ x1）（x1） 1 1，解不等式组 得 x 1；解不等式组 得 1x2 1.故原不等式的解集是x|x21 .故选 C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x 的不等式x2 bxc0 的解集是 x|5x1，求实

8、数 b，c 的值 .解： 不等式 x2bxc0 的解集是 x| 5x1，x1 5，x21 是 x2bxc0 的两个实数根，由韦达定理知51b，51c，b 4，c 5.已知不等式ax2bxc0 的解集为 x|2x3，求不等式cx2bxa 0 的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4解集 .解： 不等式 ax2bx c0 的解集为 x|2x3，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，由根与

9、系数的关系得ba23，ca23，a0.即b 5a，c6a，a 0.代入不等式cx2bxa0，得 6ax25axa0(a0).即 6x2 5x1 0，所求不等式的解集为x|12x13.类型四含有参数的一元二次不等式解关于 x 的不等式： mx2(m1)x10.解： (1)m0 时，不等式为(x1)0，得 x10，不等式的解集为x|x1 ；(2)当 m0 时，不等式为m x1m(x1)0.当 m0，不等式为x1m(x1)0，1m1，不等式的解集为x|x1m或x1 .当 m0，不等式为x1m(x1)0.()若1m 1 即 m1 时，不等式的解集为x|1mx1 ；()若1m 1 即 0m1 时，不等式

10、的解集为x|1x1m；()若1m 1 即 m1 时，不等式的解集为?.点拨：当 x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式， 即对 m0 与 m0 进行讨论， 这是第一层次； 第二层次： x2的系数正负 (不等号方向 )的不确定性，对m0 与 m0 进行讨论；第三层次：1m与 1 大小的不确定性，对m1、m1 与 m1 进行讨论 .解关于 x 的不等式 ax222xax(aR).解： 不等式整理为ax2(a2)x20，当 a0 时，解集为 (， 1.当 a0 时， ax2 (a 2)x20 的两根为 1，2a，所以当a0 时，名师归纳总结 精品学习资料 -

11、- - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5解集为 (， 12a， ；当 2 a0 时，解集为2a， 1 ；当 a 2 时，解集为 x|x 1；当 a 2 时，解集为1，2a.类型五分式不等式的解法(1)解不等式x12x11.解：x12x11 ?x 12x110 ?x22x10 ?x 22x10.x22x10 ?（x2）（2x1）0，2x10.得xx12或 x2 .(2)不等式x2x23x2 0 的解集是.解：x2x23x20?x 2（

12、x2）（ x1）0?(x 2)(x 2)(x1)0，数轴标根得 x|2x 1 或 x2，故填 x|2x 1 或 x2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项： 使得右端为0(注意： 一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根： 就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根： 在数轴上按从左到右(由小到大 )依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线： 从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”

13、，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆 .(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“” ，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合 A x|12x 13， Bx|x2x0 ，则 AB()A. x|1x0 B. x|0 x1C.x|0 x2 D. x|0 x1解： 易知 A x|1 x1，B 集合就是不等式组x（x2）0，x0的解集，求出Bx|0 x2，所以 ABx|0 x 1.故选 B.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

14、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6(2)不等式x12x 10 的解集为 ()A.12，1B. 12，1C.，121， ) D. ，121， )解：x12x10?（x1）（ 2x1）0，2x10得12x 1.故选 A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x2ax 10 对于一切x 0，12成立，则a 的最小值为 ()A.0 B. 2 C.52D. 3解： 不等式可化为axx21，由于 x 0，12，a x1x.f(x)x1x在 0，12上是减函数， x1xmax52.a52.(2)已知对于任

15、意的a1，1，函数 f(x) x2(a4)x42a 的值总大于0，则 x 的取值范围是 ()A.1x3 B.x1 或 x3C.1x2 D.x 1 或 x 2解： 记 g(a)(x2)ax24x4，a1，1，依题意，只须g（1） 0，g（ 1） 0?x23x20，x25x60? x1 或 x3，故选 B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于 x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式， 化繁为简， 然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围 .对于满足 |a|2 的所有实数a，求使不等式x2ax1 2xa 成立的 x 的取值范围 .解：原不

16、等式转化为(x1)a x2 2x10，设 f(a)(x1)ax22x1，则 f(a)在2，2上恒大于0，故有：f（ 2） 0，f（2） 0即x24x30，x210解得x 3或x1，x 1或x 1.x 1 或 x 3.类型七二次方程根的讨论若方程 2ax2x 10 在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是()A.a1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7C.1a1 D.0a1解法一： 令 f(x

17、)2ax2 x1，则 f(0) f(1)0，即 1(2a 2)0，解得 a1.解法二： 当 a0 时，x 1，不合题意，故排除C，D；当 a 2 时，方程可化为4x2x10，而 1 160，无实根，故a 2 不适合，排除A.故选 B.1.不等式x 2x 10 的解集是 ()A.(， 1)(1，2 B.1，2C.(， 1)2， ) D.( 1，2解：x2x10?()x1()x2 0，且 x 1，即 x(1， 2，故选 D.2.关于 x 的不等式 (mx1)(x2)0，若此不等式的解集为x|1mx2 ，则 m 的取值范围是 ()A.m0 B.0m2C.m12D.m0解： 由不等式的解集形式知m0.

18、故选 D.3.(2013安徽 )已知一元二次不等式f(x)0 的解集为x|x12，则 f(10 x)0 的解集为()A. x|xlg2 B. x|1xlg2 D. x|xlg2解： 可设 f(x)a(x1) x12(a0 可得 (10 x1) 10 x120，从而 10 x12，解得 x0 在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是 ()A.a4C.a12 D.a0 对 x(1，2)恒成立，则实数k 的取值范围是 _.解： x(1，2)， x10.则 x2kxk1(x1)(x1k)0，等价于x1k0，即 kx 1 恒成立，由于2x13，所以只要k2 即可 .故填 (，2.7.(2014江苏 )

19、已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有 f(x) 0 成立，则实数m 的取值范围是 _.解： 由题可得f(x)0 对于 xm，m1恒成立，即f（m） 2m21 0，f（m1） 2m2 3m0，解得22m0.故填22，0 .8.若关于 x 的不等式x2axa 3 的解集不是空集，求实数a 的取值范围 .解： x2axa3 的解集不是空集? x2axa30 的判别式 0，解得a6或 a2.9.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x) 2x 的解集为 (1，3).(1)若方程 f(x)6a0 有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若 f(x)的最大值为正数，求a

20、的取值范围 .解： (1)f(x)2x0 的解集为 (1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0.因而 f(x)a(x 1)(x 3) 2xax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a0 得 ax2(24a)x 9a0.因为方程 有两个相等的实根，所以 (24a)2 4a9 a0，即 5a24a10，解得 a1 或 a15.由于 a0，舍去 a1，将 a15代入 得 f(x)的解析式f(x)15x265x35.(2)由 f(x)ax22(12a)x 3aa x12aa2a24a1a，及 a0，可得 f(x)的最大值为a2 4a1a.由a24a1a0，a0，解得 a 23或 23 a0.

21、故当 f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(， 23)(23，0).名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 910.解关于 x 的不等式：a（x 1）x21(a0).解： (x2)(a1)x2a0，当 a1 时有 (x2) xa2a10，若a2a12，即 0a1 时，解集为 x|2xa2a1；若a2a12，即 a0 时，解集为 ?；若a2a12，即 a0 时，解集为 x|a2a1x2.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -