利用数学建模兴趣小组培养学生数学应用能力的实践研究-秦小龙.docx

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1、华东师范大学 硕士学位论文 利用 数学建模兴趣小组 培养学生数学应用能力的实践研究 姓名：秦小龙 申请学位级别：硕士 专业：教育（数学 ） 指导教师：赵小平 20061001 学位论文独创性声明 木人所呈交的学位论文是我在我的导师的指导下进行的研究工 作及所取得的研究成果。据我所知，除文屮 d经引用的内容外，本论 文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名 : n期： 学位论文使用授权声明 本人完全丫解华东师范火学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留，位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子

2、版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被杳阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名 : H 期： 导师签名： 日期： j) - f I ; 摘 要 对学牛应用意识和实践能力的培养是中学数学教学的薄弱环节，在当甜应试 教育思潮干扰下的数学教育怎样为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生 提供自主学习、自主探索、自主提出问题和解决问题的机会是中学数学教学改革 的重要内容。本研究证实了幵展切实有效的数学建模活动，能激发学牛学 数学 的兴趣，能较好地发展和提卨学生

3、的数学创新意识和实践能力 本研究作了以下几方面的工作： 首先对中学数学建模的涵义作了界定。把具有 （ 1)问题来自于现实，具有真 实的背景和真实的数据， （ 2)条件的可选取性， （ 3)模型的多样化， （ 4)问题具 有可发展性这四个特点的中学数学问题界定为中学数学建模问题。 接着对高一学生数学应用能力现状进打 了调查测试。了解到当前高中学生的 数学应 ffl能力非常薄弱，分析了他们在解决数学应用 M题时 m现的 M题和障碍。 在分析的基础上建立了中学牛数学建模能力的教学目标体系，分为 A、 B、 C -:级， 2个亚类目标，作为屮学数学建模的教学和评价的基本框架。 最后设计了一套适合在高屮

4、开展数学建模活动的方案：以 数学建模兴趣小 组 的组织形式 T从 专题教学 、 撰写建模小论文 v和 建模报告交流会 三 种途径进行实 践。并在实践后期对方案的效果进行了分析及评价，认为此方案能 切实有效地提高屮学生成用和实践能力。 中学数学建模教学是一项 !_1:它的作用对象 主耍来自生活实际如 R常生活、经济、工程、物埋、化学、生物、医学等领域中 的还是 原坯 形的应用问题。具体建模过程主要包括以下步骤 ： (1) 原坯分析：了解实际问题的背景，明确所耍解决问题的 n的和要求，同时收 集必要的倍息和数据； (2) 模型假设：实际问题往往是比较复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到 所有因素，

5、因而只能抓仵 +:要的方面进行定最研究。这就要求我们根据目的要求 抓住主要关系，舍去一些次要因素， 对问题进行适，简化，提出合理的假设。一 般来说，不 N的假设，会得出不同的模型和结果； (3) 建立模型：在化简和假设的基础 h， 应用某种规律建立变量、参数之间明 确的数学关系这里的规律吋以是人们熟知的物理学或其他学科的定律，也可以 是实验规律等等 .这里明确的数学关系可以是等式、不等式，也叮以是一个明确 的算法或程序； (4) 模型的分析和求解：以数学为 T具，求解 （ 3)中所得的数学模型； (5) 模型的检验：将模型分析的结果 翻译 回实际 N题中，用实际现象、数据 等检验模型的正确性

6、.如果检验结果与实际不符或部分 +符，要对模型的假设及 其求解过程进行修改甚至重建，如果结果正确，满足问题所要求的精度，认为模型 可用； (6) 模嘈应用：用已建立的模型分析、解释、模拟已有现象，并预测未来的发 展趋势，为人们的决策提供参考。模型应用是对模型的进一步检验，有些模增只 使用于某个问题或某个领域，有些模型可以在多个领域加以利用。 上述步骤 n丨用如下框图表示： 图 1 1 从数学的角度出发，数学建模就是对所需研究的问题作一个模拟，舍去无关 因素和次要因素，保留其主要的数学太系，以形成某种数学结构。简而言之就是利 用数学的方法、技术来解释劣际 N题，用数学模型来模拟实际问题 = 从更

7、广泛的 意义 hijh数学建模是解决问题的一种技术、一种方法、一种观念。 2. 中学数学建模的界定 在中学里，常用文字应用题培养学生的数学 AV:用能力，这类应用题往往具有 这样的特点：条件清楚准确、不多不少，结论唯 .“ 确定，原始问题数学化的过程 简单明 /，解出的结论也很少需要学生思考是否符合实际、是杏需要进一步调整 和修改已存的模型，而这几点正是一般数学建模过程的难点和重头戏所在 m 从建模的角度来看中学数学应用题，它们 M然含有数学建模过程屮的某些步骤， 但还不能充分展示数学建模的典型过程。冈此我认为，传统的解数学应用题可看 作是数学建模的初级阶段。在此基础上，将数学建模的儿素渗透于

8、中学的应用 N 题，使得问题具有以下特点： 第一问题来自于现实，具有真实的背景和真实的数据； 第二条件的吋选取性。 H题来自于现实，题 H条件或隐含或多余，需要解 题者进行假设和筛选，这 4传统的数学应用题 条件不多不少 不同。 第三模型的多样化。 对丁 “ 同一个问题，不同的人可能构建出不 N的数学模 型，模型的表达可以是表达式、函数、方程，也 “丨以只是一个过程。 m 建 模 模 型 “W 立 型 假 模 求 检 设 解 验 八 检验不通过 校型应用 实际问题 第四问题具有可发展性。由于假设、算法的不同，得到的结论也会不同。 我们允许问题的结论存在一定的误差，而且，随着学牛知识的不断增加，

9、所用的 方法和得到的结果会越来越好。 我们把解决具有上述特点的中学应用问题的过程称为中学数学建模。 例如，案例 1_1人口预测问题 (1)问题的提出： K面是某地区从 1800年到 1960年的人 n数据资料（人 U单位：万）。 年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 人 U数 3. 929 5. 038 7. 240 9.638 12.866 17, 069 23. 192 31. 443 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 19G0 38. 558 50, 156 62. 948 75. 995 91

10、.972 105.711 122. 775 131. 669 150.697 利用上述资料预测该地区 2010、 2050年的人口数。 (2) 问题的分析：影响人口增长的因素是多方面的，为简化问题，作如卜 假设： a. 该地区的政治、社会、经济环境稳定。即该地区没有发生战争自然灾害， 使大量的人口变迁，也无大量的外界移民进入。 b. 把该地区离散的人口数看作是一个连续的人口量。即该地区的人口数暈变 化是连续的。 c. 该地区人 n的出生率与死亡率是常量。 (3) 建立模型 基于以上 3条假设，我们设定该地区人 U数量是时间的函数。根据所给数据 绘出散点图（如下图所示），根据所给数据绘出散点图，

11、寻找 -条直线 （ 或曲线）， 使它们尽量与这些散点相吻合，从而近似地认为这条直线（或曲线）描述了该地 区人 n增长的规律，进而作出预测。 模型 1:在观察散点图时，可以发现从 1890年后，散点近似在一条直线上， 于是过（ 1890， 50. 156)， （ I960, 150.697)两点作直线 . 万 1750 1800 1850 1900 1950 2000 -150-697 150.697-50.156 x-1960 _ 1960-1890 即 ） . = 1.4363;c-2664.451 从而吋得 201 年， 2050年的人口预测数分别为 222. 512 (万）和 279.

12、964 (万 ） 。 模型 2:从散点图的整体趋势看，也可以认为散点近似在 条关于直线 x= 1800 对称的抛物线上，于是求出过点 （ 1800,3.929) ,(1900,62.948)的抛物线方程 y = 3.929 + 0.0059 -1800)2,由此得出 2010年， 2050年的人口预测数分别为 264. 019 (万）和 372. 679 (万 ） 。 模型 3:散点图的整休走势也可以看作在一条指数函数曲线上，取两点 (1950, 131.669)，（ 1%0, 150.6970),可得函数表达式为 ;v = 131.669(1.0136广 19 所以 2010年， 2050年

13、的人口预测数分别为 3 5_ 22 (万 )和 508. 33 (万 ） 。 实际上该地区 2000的人口数为 263 (万），按照 3种模型计算的结果分別是 208. 149, 239. 929, 258. 71，其误差分别是 26. 35%, 9_ 62%， 1.66%,所以对丁 -2010 年， 2050年的人口预测，模稍 3可能更接近一些。 这个人口预测模型对中学生来说，就存在条件的选择问题，比如模型 1，取哪 两个点建立直线方程比较合适，这需要学生的认真观察；其次，对于这样的 N一 个问题 +同的人可以构建出不向的数学模型，体现了数学建模的多样性；第三 , 随着学生知识的不断扩充，他

14、们观察散点图时可能会提出更新的建模方法，比如 用最小二乘法建立回归方程等。这反映 r数学建模具有可发展性。 1. 3相关研究及其主要观点 当前中学数学建模的相关研究主要涉及了以下三个方面： (1) 关于在中学开展数学建模教学的意义，如： 程小红在 1998年简要分析了国内外数学建模的现状，提出了在中学进行数 学建模的必要性和 “J 行性。 161 潘小明在 1999年探讨了中学数学建模教育的有关概念，从五种能力：学习 能力，动手能力，合作能力，抗挫能力，创造能力入手分析了屮学数学建模教育 的意义，提出了规范学生建模解题的步骤 张景斌，王尚志在 2001年提出了 幵展中学数学建模，为培养创造精神

15、和 实践能力提出了 - “ 条途径，数学建模活动可以让学生尝试发现问题和提出问题， 经历科学的结局问题的过程，学会与他人合作 T创造潜能得以丌发 的观点 (2) 关于开展中学数学建模活动的相关理论素材，如： 堵盘华在 1998年进行了 就如何提炼数学建模思想，提高屮学生数学建模 能力 的探索 费浦生于 999年阐述了数学建模与数学教学改苹的关系，提出了 加强能 力培养，注重素质教育 的观点。 1 舒启昂于 2000年说 在中学数学建模教学过稈中要抓 “ 住 4个基本点 ： 1.培 养数学建模兴趣，鼓励学牛动学刃； 2.挖掘教材内涵，重视 觅源探流 3. 突破 传统教学模式，实彳 /_开放式教学

16、： 4.明确数学建榄的教学要求，逐步培养 学屮数学建模能力 。 |1 张硕，杨 #红在 2000年提出 中学数学建模应结合中学生的年龄特点，知 识结构和智力水平，结合正常教学的教材内容，分层次逐步推进 的观点 (3) 关于中学数学建模教学的实施方法，如： 阳忐长在 1998年提出 要抓好数学建模启蒙教育，包括利用屮学教材中的 实际内容，让学生动手折一折、摆一摆、拼一拼，培养数学建模情趣；给学生见 识、制作、操作的机会，强化数学建模意识；芡出实际测量、实习作业的教学环 节，学习数学建模知识 ； 组织实地考察，尝试简单问题的数学建模 ， 13他重点 强调了圮蒙意识和实践操作意识，这对本研究有借鉴意

17、义。 汤香花在 2()()年提出了数学建模的 3个层次 .“ （ 1)在数学建模教学中，通 过对命题的转化或恒等变形，构造模型； （ 2)选择简单的实际问题，引导学生利 用中学知识来边、一些简单的数学模型； （ 3)结合教学内容，构造实际模型。 1n 汤永明，张启风，刘风文在 2000年提出了中学数学建模教学的儿种教学形 式：（ 1)从课本中的数学出发，注重对课本原题的改变； （ 2)从生活中的数学问 题出发，强化数学应用意 y丨； （ 3)从社会热点出发，介绍违模方法 佝是在学校、在应试教 f 休制下怎样 JT“ 展中学数学建模教学？怎样使中学数 学建模的教学目标系统化？以上研究均未给出明确的答案。本文的这份研究正是 在这样的背景下开始进行的，主要进行了二项工作。 第一，对卨一学生数学应用能力现状进彳 T调查测试，了解和分析学中在解决