1-1行列式的定义 - 副本.ppt

《1-1行列式的定义 - 副本.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1-1行列式的定义 - 副本.ppt（40页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、机动目录上页下页返回结束,数学科学学院陈建华,线性代数,LinearAlgebra,绪论,一、课程内容,线性代数起源于对二维和三维空间的研究，通过解析几何，线性代数得以被具体表示，现代线性代数的理论已被泛化为算子理论“线性（linear）”是本课程最广泛的一个公理化定义百度百科给“线性”的定义是“指量与量之间按比例、成直线的关系”，这也是一直以来老师们所给的描述，但为何要“成比例”？为何y=ax+b(b0）也是直线却不是“线性”？线性的反面非线性。,知识模块顺序及关系图,线性代数课程所讨论的核心问题是线性方程组的求解、矩阵可对角化判定和二次型的化简针对要解决的问题，从知识准备的角度首先介绍行列

2、式、矩阵和向量等基础知识作为课程的基础内容，循着知识发展的轨迹，再逐一介绍线性代数课程三大问题，形成基础知识+问题解决+应用的结构框架,二、课程历史与应用,线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作九章算术方程章中，已经作了比较完整的叙述,由于费马(Fermat)和笛卡儿(Descartes)的工作，线性代数基本上出现于十七世纪直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡，矩阵论始于凯莱(Cayley)，在十九世纪下半叶，因若尔当(Jordan)的工作而达到了它的顶点,

3、“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，沿用至今,二、课程历史与应用,线性问题广泛应用于工程学、计算机科学、管理科学和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不等式也可以通过引进新变量转化为等式即线性方程因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解,“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了”,线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容在考研中的比重一般占到22%左右,三、课程特点与方法

4、提示,概念抽象，计算繁杂，联系紧密一旦理解了，就会感叹，思路精巧至极！在线性代数中，概念和计算同样重要，为了掌握线性代数概念，必须反复阅读教材了解课程问题，对课程框架有初步了解线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言,【龙门镖局】第一集,【龙门镖局】第三集,阳光照射角度为30度赋值给,四、参考书目,1.线性代数M.同济大学编,北京：高等教育出版社，20002.线性代数与空间解析几何M.俞正光编，北京：清华大学出版社，20033.线性代数M.陈维新编著.北京：科学出版社，20044.高等代数M.王萼芳编著.北京：清华大学出版社，19965.高等代数M.北京大学力学系几何与代数教研

5、室代数小组编.北京：高等教育出版社，20036.线性代数M.李尚志编著.北京：高等教育出版社，20067.高等代数与空间解析几何M.孟道骥编著.北京：科学出版社，20028.线性代数及其应用M.DavidC.Lay著，刘深泉等译.北京：机械工业出版社，20059.数学的原理与实践M.（中译本）申大维等译.北京：高等教育出版社1998年（美国COMAP出版）10ElementaryLinearAlgebraM.BernardKolman主编.MacmillanPublishinCompany，1986年11LinearAlgebraM.MichaelArtin著.北京：机械工业出版社，2004,

6、参考书,线性代数练习卷完成情况作为考核的部分,作业要求:及时独立完成格式.,第一章行列式,行列式与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具,行列式概念的发明者：德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和,二、三阶行列式排列的逆序数n阶行列式的定义,1.1行列式的定义主要内容,来源:,消元法解线性方程组,当时,一.二、三阶行列式,1.二阶行列式,有:,不便于记忆,条件下线性方程组的公式解记忆：,引入新记号,定义:,符号,叫做一个二阶行列式.,(结果是一个数),二阶行列式的计算法：,(两行两列四元素组成),(两项的代数和),公式解改记为,说明:

7、,(2)x1、x2分子行列式分别是把系数行列式中x1、x2的系数列换成常数项列(保持原有的上下相对位置)所得行列式.,(1)x1,x2分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成“系数行列式”,定义:,符号,并把此式叫做一个三阶行列式.,等式左端是记号,右端是行列式的展式,aij:第i行第j列的元素,(三行三列九元素组成),(六项的代数和),2.三阶行列式,对角线法则,它可以由一个很简单的规则来说明即三阶行列式的对角线法则.,可以验证，当D0时，三元线性方程组,的解可以表示为:,其中:,D1,D2,类似地有D3,例1解方程组,解：,D,3(-1)(-1),=,121,(-1)21,(-

8、1)(-1)1,12(-1),321,-2,所以:,D1=,D2=,D3=,=1,=-12,=-9,D-2,又,引入二(三)阶行列式使二(三)元线性方程组的公式解具有同样的规律.人们自然想把这一规律推广，显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义n阶行列式,四阶行列式：42个元素组成,n阶行列式：,n2个元素组成,n阶行列式的形式,n阶行列式的实质?,思考:,表示代数和每项组成?共多少项?各项符号?,观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：,(1)每项组成:,(2)多少项:,四阶行列式共4!=24项，对角线仅构成8项，,(3)各项符号:,取自不同行不同列的三元之积.,由排列组合知识，共3!6项.,有

9、多少不同行、不同列的三元之积?,对角线法则四阶以上行列式是否适用？,对角线法则对四阶以上行列式不适用,1.排列:,自然数1,2,n组成的一个有序数组,i1i2in称为一个n级(元)排列.,例123、231、312,自然排列:123n,2.逆序:排列中大数码排在小数码前面,称两者构成一个逆序.,排列中的逆序总数称作逆序数,记作：,二、排列的逆序数,51243、41352,五级排列.,不是排列.,1242,三级排列,共,3!6种；,例2计算下列排列的逆序数,=5;,=0;,=(n-1)+(n-2)+2+1=,解：,3.奇（偶）排列：逆序数为奇（偶）数的排列,上例逆序数为0,是偶排列.,n=4k或4

10、k1,偶排列;,n=4k2或4k3,奇排列.,4.排列的对换:,排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?,对换,(is,it),排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?,定理1对换改变排列的奇偶性,证:对换相邻数码：，,一般对换：，对换(i,j)可看成:,i经s+1次相邻对换得,j再经s次相邻对换得,奇偶性共改变2s+1次,逆序数增加或减少1；,变,定理2全体n(n1)级排列的集合中，奇、偶排列各占一半.,证:,设n!个排列中奇、偶排列分别有p、q个.,将p个奇排列经同一对换(1，2)可得p个偶排列,故pq；,同理可得qp.,所以pq.,推论:奇(偶)排列可经奇(偶)数次对换变成自然排列.,利

11、用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.,先看三阶行列式中各项符号有何规律.,各项正负号与列标排列:,正号:123,231,312,负号:321,213,132,(偶排列),(奇排列),故,定义：用符号,表示的n阶行列式指的是,n!项的代数和;,这些项是一切可能的取自表(1)的不同行与不同列的n个元素的乘积；,符号为：,三、n阶行列式,determinant,又记作,易知,(也可),特别:n=1,一阶行列式,(与绝对值的区别!),|a|a,记作：,例3.用行列式定义计算：,D2011!,(1)2011!,-2011!,解：,(上三角形行列式),特殊行列式,a11a22ann,例4.用行列式定义

12、证明：,分析:,上三角形行列式,下三角形行列式,对角形行列式,a1na2n-1an1,注意:,例5.设,问dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中项？符号如何?,dx3y2z1,列4321,.,by3x1z4,行1234,列2314.,.,行1324,ax1y3z2,列1132,不是D中项.,行1234,(或:行1234,列2134),分析:,求f(x)的最高次项.,例6.,-90 x4,设,答案:,解:根据定义,D是一个4!24项的代数和.,这24项中除了acfh,adeh,bdeg,bcfg四项外,其余项都至少含一个因子0,因而它们等于零.,acfh对应列排列是,1234,a

13、deh对应列排列是,1324,bdeg对应列排列是,4321,bcfg对应列排列是,4231,例7.计算四阶行列式,Dacfhadehbdegbcfg,作业:P8习题1.11,2,4,5,行列式概念是人们在研究线性方程组的求解过程中逐步产生的，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具行列式是由德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的1683年，关孝和在其著作解伏题之法中首先提出了行列式的概念与算法，介绍了它的展开方1693年4月，莱布尼茨在写给法国数学家洛比达的一封信中使用并给出了行列式，指出了线性方程组的系数行列式为零的条件现在所用的“行列式”一词则是法国数学家柯西于1812年给出柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法定理,机动目录上页下页返回结束,备用题,线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言David.C.Lay,