层次分析法在数学建模和送奶工评价与管理研究中的应用-邢益冰.docx

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1、Y 7S iau 硕 士 学 位 论文 (同等 学力） 论文题目： 层次分析法在数学建模和送奶工评价 与管理研究中的应用 作者姓名 邢益冰 指导教师 杨 启 帆 教 授 学科 ( 专业 ） 庥 用 数 学 所在学院 理学院 提交日期 2006年 5月 摘要 本文主要研究了 AHP法在数学建模以及送奶工评价与管理研究中应 用的问题。层次分析法是一种定性与定量相结合的多准则决策（评价 ） 方法，可以将人的主观判断用数量形式表达和处理。论文首先介绍了问 题的背景、数学建模的发展、层次分析法的发展与理论等，指出了研究 的重要意义。其次，论文中采用 AHP对公务员招聘问题进行了研究与讨 论，利用 AHP

2、法得出应聘人员对各工作类别的权重，通过建立最优分配 模型，给出了按需择优录用分配方案，并利用此模型指导公司合理地招 聘销售业务人员。同时给出了数学建模活动中应用 AHP法的几点结论。 最后，论文通过对送奶工现状的分析研究，运用 AHP对送奶工进行了研 究与评价，给送奶工管理工作提出了科学、合理的建议与措施。 关键词：层次分析法 （ AHP);判断矩阵：一致性检验；数学建模；公务员 ; 分配模型；送奶工；评价模型 ABSTRACT Abstract: The paper mainly discusses the application of AHP in the mathematical mod

3、eling and the estimation and administration of milkmen, which is a kind of multiple-criterion measures combined the quality and the quantity to illustrate subjective judgment in quantitative index. After the introduction of mathematical modeling development and AHP theory, the paper focuses on how t

4、o give the weight of interviewees to different positions and how to grant the best need-oriented contribution modeling based on the AHP research in government officers recruitment. The paper also analyses the status quo of milkmen and puts forward the estimation index and administration measures by

5、the application of AHP to guide the recruitment of the relevant companies. Keywords: AHP; judgment matrix; verification of consistency; mathematical modeling; government oflFicers; distribution model; milkmen; estimation model 第 一 章 绪 论 1.1研究问题的背景 1.1.1研究问题的背景（一） 随着科 f技术的发展和计算机科学的不断进步，数学的应用已不再局限于物理及

6、普 通工程技术等传统领域，生物、环境、医学、经济、管理、社会、信息科学以及一些交 叉学科都提出了大量有待解决的实际研究课题。把数学与客观实际问题联系起来的纽带 首先是数学建模，即通过调查，收集数据、资料，观察和研究其固有的特征和内在规律， 抓住问题的主要矛盾，提出假设，经过抽象简化，建立反映实际问题的数量关系，也就 是数学模型，然后，运用数学的方法和技巧或创造新的数学理论和方法去分析、解决实 际问题。因此，数学建模和计算正在成为生产建设、经济管理、科学研究，特别是高技 术领域中强有力的工具。 为了更好地培养和选拔人才，数学建模竞赛应运而生， 1985年美国率先创设了一 年一度的美国大学生数学建

7、模通讯竞赛，即 MCM (1987年前全称是 Mathematical Competition in Modeling， 1988 年改全称为 Mathematical Contest in Modeling,其缩写均 为 MCM)。 自1992年首次组织全国大学生数学建模竞赛以来，每年的参赛规模平均以大 于的速度增加，1999年起又增加了大专组的竞赛， 2005年有 30省（市、自治区） 788所高校的 8443队参加，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动。 分析历年全国大学生数学建模竞赛的参赛题目及解决问题的方法，不难发现层次 分析法已广泛地在建模活动中使用，如： 1993年 B题 足球

8、队排名 次 问题， 1995年 B 题 天车与冶炼炉的作业调度 问题， 2002年 B题 彩票中的数学 问题， 2004年 D 题 公务员招聘 问题等。利用层次分析法，使定性的叙述与理论得到量化， AHP法在 解决模糊问题、定性问题上显示出了无法取代的优势，与其他定量理论 （ 如线性规划、 最短路问题等 ） 结合使用起到了取长补短、优势互补的效果 正是由于层次分析法能解决大量有人参与的社会经济决策问题，特别是对一些无 法精确计量的因素如心理、风俗、政治等都能通过 AHP法实行定性与定量的有效结合， 而目前数学建模的题材又都来自现实生活与 课题，来自真实的社会经济、管理、工程界 等研究领域，因此

9、研究层次分析法，并在数学建模辅导及教学中研究运用层次分析法的 模型具有十分重要的意义。 1.1.2研究问题的背景（二） 自层次分析法在经济决策、城市规划、环境监测等领域多准则决策的成功应用以 来，越来越多地在管理学科中出现，通过对各因素的非量化评价指标描述将其划分为相 互联系的有序层次，使之条理化，进而通过两两比较重要性进行定量描述，使得管理者 在评价、考核、决策中更加科学合理。如在领导干部经济责任审计中引入层次分析法， 有效地避免了审计结论中的随意性 和模糊性，通过建立合理的领导干部经济责任审计评 价指标体系，从整体上对审计对象经济责任的履行情况和其它相关方面进行综合分析， 得出量化的审计评

10、价结果，实现了领导干部经济责任审计的科学评价与判断 7又如在 企业中层管理人员诊断评价系统 114中引入层次分析法，通过建立合理的各类管理人员的 评价指标体系，对企业技术管理人员、营销管理人员、行政管理人员等进行了综合评价， 把握了企业此类人员的总体水平，为企业选拔优秀的中层管理者提供参考，有利于企业 进行针对性的培训与指导，也为企业战略决策提供了依据，等等。 近年来随着生活水平的提高，越来越多的家庭注意营养，每天喝牛奶也成了人们 的生活习惯。由于工作的繁忙与劳累，送奶上门也越来越多地受到人们的青睐。据资料 2003年仅光明乳业就有送奶工 2700多人 Jg务于杭州市区的光明送奶工约 300多

11、人 ;2005 年，杭州本地主要 3家乳品公司（双峰、美丽健、燕牌 ） 己经拥有送奶工 500 600人， 加上光明、卫岗、真元、均瑶等外地品牌以及一些小型乳品公司的送奶工，工作在杭城 的送奶工近 HXX)人。但是送奶上门的品牌虽很多，送奶工的管理和服务质量却参差不齐 , 例如：有的送奶工自愿成了治安信息员、有的送奶工却卷款潜逃、有的送奶工为了多赚 钱自己灌装牛奶等等。因此，建立送奶工评价体系，对送奶工进行科学评价与管理是十 分必要的，这一工作对乳品公司的送奶上门服务工作有着重要的指导意义。为此，我们 通过对乳品公司送奶上门部工作进行大量的调査研究，在此基础上给出了送奶工评价的 指标体系结构，

12、并用层次分析法给出了送奶工评价的数学模型。 1.2数学建模的概念 数学建模 Mathematical Modeling)并不是新东西 T可以说有了数学并要用数学去 解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，而这种刻划的数 学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。因而欧几里得几何、牛顿、莱 布尼兹发明的微积分都是很好的数学模型。问题是当一个数学模型表达出来后，就要 用一定的技术手段 （ 例如推理证明、计算等等）求解该数学问题并用实际情形来验证， 若需要就要修改数学模型并重复上述过程。如果中间有一步完不成，整个数学建模过程 就很难完成。而大量的计算又往往是建模过程中必

13、不可少的，过去在高性能电子计算机 尚未 产生之前，正是由于缺乏这一技术手段而一定程度上限制了数学建模这一强有力方 法的应用和发展。当然，由于实际应用的需要 数学建模的活动从未停止过。而电子计 算机 （ 特别是 80年代超级电子计算机 ） 的出现使数学建模这一方法如虎添翼似地得到了 飞速的发展，掀起了一个高潮。 5 数学建模可以说是一种数学的思考方法，是 对现实的现象通过心智活动构造出 能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示 。 161数学建模最重要 的特点是要接受实践的检验，多次修改模型渐趋完善的过程，可以用如下的框图来表示： 1.3结束语 数学建模活动作为全国大学生最大的

14、课外科技活动，对培养学生、培养各行各业的 研究人才起着举足轻重的作用。经济的迅速发展、市场竞争的日益加剧，使企业管理工 作面临着前所未有的机遇和挑战。利用层次分析法对企业部门与个人工作进行科学评价 , 可有效地谂断与评价企业存在问题，使企业进行有效地管理与改进，产生巨大的经济效 益与社会效益。 当前，国外对层次分析法的砑究与应用日渐广泛，有关层次分析法的算法、扩展、 检验方法等的讨论也相当活跃。相比之下，国内的研究工作开展较晚。目前， AHP己有了 许多的扩展，如：模糊 AHP、 多目标 AHP、 灰色群体 AHP等算法，大大提高了 AHP的应用 领域，同时也为 AHP的应用研究奠定了坚实的基

15、础。 1.4全文概述 本文立足于层次分析法，主要研究了两个问题：一个是 AHP在数学建模中应用的 问题；另一个是 AHP在送奶工评价与管理研究中应用的问题。 全文内容安排如下： 第一章对全国数学建模竞赛的发展及赛题解决方法进行了详细的介绍与分析，同时 对管理科学研究与送奶业现状进行介绍，阐述了本文的主要工作和意义。 第二章主要介绍了层次分析法的发展过程、国内外对 AHP的研究应用简况 、 AHP 的基本理论以及研究进展情况。 第三章利用 AHP对公务员招聘问题进行了研究与讨论，运用 MATLAB数学软件计算 判断矩阵的特征值与特征向量，得出了 权重 f利用 LINGO软件对规划模型进行了求解。

16、 并给出了数学建模活动中应用 AHP法的几点结论。 第四章针对目前送奶工现状，论文基于 AHP的送奶工评价与管理研究利用 AHP 法对送奶工进行了研究与评价，给送奶工管理工作提出了科学、合理的建议与措施。 第二章层次分析法的发展与理论 2.1 AHP法的发展过程 层次分析法（简称 AHP法，即 Analytic Hierarchy Process)是一种定性与定量相 结合的多准则决策（评价 ） 方法，它是美国运筹学家、匹兹堡大学教授 T.LSaaty在上 世纪七十年代初提出来的，在 1982年 11月 “ 召开的中美能源、资源、环境学术会上，由 Saaty的学生高兰尼桑 （ H. Gholam

17、nezhad)首次介绍给中国学者。 Saaty提出 AHP， 可追溯到 70年代。 1971年他曾为美国国防部研究所谓的 应急计 划 ，1972年为美国科学基金会研究电力在工业部门的分配问题， 1973年为苏丹政府研 究苏丹运输问题。由于研究工作的需要，他深深感到研究一种能综合定性与定量分析， 使人脑决策思维过程模型化（或规范化）方法的必要性，从而逐步形成了 AHP的理论核 心。首次正式提出 AHP的论文，可以认为是 Saaty在 1977年举行的第一届国际数学建模 会议上发表的无结构决策问题的建模 层次分析理论 11。 1980年， Saaty出版了 第一本有关 AHP的专著层次分析，标志着

18、 AHP已经形成为决策领域中的一个独立分支。 近年来 ,Saaty和国际上的近百位学者在发展 AHP的理论和推广 AHP在各类问题中的 应用方面完成了很多工作。他们针对系统层次结构、排序权向量的算法、比例标度、效 用理论等方面提出了不少研究课题。根据第 1届 ISAHP (International Sympsiumon the Analytic Hierarchy Process， 1988天津）的论文统计，大会共收录 86篇，其中 AHP 综述性的 6篇， AHP理论的 35篇， AHP应用性的 40篇， AHP软件和专家系统的 5篇。在 40篇应用性文章中涉及到电力，机械工程设计，自然资

19、源评估，土地利用与生态环境分 析，科技、教育、军事作战评估，交通、能源、教育、规划制订，产业与产品结构和经 济发展战略研究，国际投资风险预测分析等领域。 由于 AHP在理论上具有完备性，在结构上具有严谨性，在解决问题上具有简洁性， 尤其在解决非结构化决策问题上具有明显的优势，因此 AHP法介绍到我国虽然时间不长， 却在各行各业得到了广泛和深入的应用研究。 AHP自 80年代被介绍到我国以来，天津大 学的刘豹、许树柏、赵焕臣、和金生，北京大学的王莲芬等人在理论方面作了许多有益 的工作和探讨，并在工程、经济、社会、军事、文化、教育等领域中解决了不少实际问 题。 1988年在我国召开了第一届 AHP

20、国际学术会议，在中国系统工程学会下设立了层次 分析法专业组，创办了决策与层次分析法专业刊物。层次分析法已成为决策与评价 工具中最为普及的一种有效方法。 2.2 AHP的基本理论 AHP是在多目标、多准则条件下，对多种对象（目标、方案等）进行评价的一种简洁 而有力的工具。 2. 2.1 AHP的特点 系统性系统分析是当今大科学、大工程、大社会背景下的一种必须的决策分析方 法。系统分析的思想要求把分析对象看作一个整体，并把系统分清层次。而 AHP的思想 基础与系统分析的原则是一致的。它要求决策者在对问题进行决策分析时，首先要将分 析对象的诸因素建立起彼此相关的层次速阶系统结构。该结构可以清晰地反映

21、出诸相关 因素（目标、准则、对象 ） 的相互关系。这可以使决策者在进行分析时，把复杂问题自 千头万绪之中顺理成章。 综合性在目前大量的决策问题中，决策者所要考虑的因素很多是属于定性化因素 这些因素不能以某种定量的标度进行表现。 AHP进行决策分析时，能对定性和定量问题进 行综合分析处理，并得到明确的定量化结论，以优劣排序的形式表现出来。 简便性 AHP的评判决策过程十分简便，若辅之以计算机及有关程序 I则整个计算过 程就更为方便、迅速。 准确性 AHP既可以为决策者提供 满意的决策 ，也可以提供 最优的决策 AHP 丰富的数学原理为该方法的准确性提供了可信的基础 MHP方法还能吸取决策者个人或

22、集 团的阅历、智慧、判断能力。 2.2.2 AHP的基本原理 首先， AHP把复杂的决策问题层次化 .决策者可以根据问题的性质以及所要达到的目 标，把问题分解为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和相互关联程度分组， 形成一个不相交的层次 上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起着支配 作用，从而形成一个自上而下的逐层支配关系。具有递阶层次结构的决策问题，最后可 归结为最低层（评价对象等 ） 相对于最高层（系统目标）的相对重要性的权值或相对优 劣次序的总排序问题。 其次 AHP将引导决策者通过一系列成对比较的评判来得到各个评价对象（方案或措 施等）在某个准则之下的相对重要度的量度。

23、这种评判能转换成数字处理，构成一个所 谓的判断矩阵，然后使用单准则排序计算方法便可获得这些方案或措施在该准则下的优 先度排序。在层次结构中，这些准则本身也可以对更高层次的各个元素的相对重要性赋 权。通过层次的递阶关系，可以继续这个过程直到各个供决策的对象对最高目标的总排 序计算出来为止。这样，决策者就可以进行评价等决 策活动。 2.3 AHP的基本步骤 运用 AHP进行决策时，大体上可分为以下几个步骤： 分析问题，确定系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构模型 ; 构造两两比较的判断矩阵 I 计算各层次相对权重的单排序； 计算各层元素对系统总目标的合成权重，并进行总排序。 下面将各步骤

24、作以下简要介绍。 2.3.1建立问题的递阶层次结构模型 这是 AHP中的关键步骤。首先根据对问题的判断和研究目标的系统分析，确定出影 响研究目标的几大方面因素，然后再找出决定每个方面因素的次一级影响因素，以此类 推逐级分解出相互影响与作用的因素，由此形成一个从上到下的递阶层次关系，如图 2-1 所示： 图 2-1 AHP层次结构模型 “ 在建立目标体系层次结构过程中，各评价因素应充分体现它的科学性、系统性和普 遍适用性。同时在确定各因素时，还应遵循以下原则： 突出主要指标原则。评价指标体系是个复杂的系统，其指标可以是几十个、上百 个，但各指标因素的贡献程度是有差别的。因此在选择指标时，不能随意

25、罗列，混杂无 关紧要的指标会增加评价难度，而且容易冲淡对主要指标的注意力。 相对独立性原则。同一层次各因素间必须相对独立，当因素之间存在明显相关关 系时，应采取保留主要因素的原则，以此减少指标数量，且不丢失必要的信息。 可操作性原则。各因素的建立必须具有可操作性，易于理解、易于量化，保证各 指标在应用过程中方便。 2.3.2分层次构造判断矩阵 所谓判断矩阵 1是指用来分析第 K+1层问题对与其对应的第 K层问题相对重要性 而建立的矩阵表达式。它是层次分析法的出发点，用来表示针对上一层某元素之间的相 对重要性。 在建立递阶层次结构以后，上下层次之间各因素的隶属关系就被确定。假定以顶 层因素 0为

26、准则，所支配的下一层次 (B)的因素为 B,馬 , ，凡，我们要通过两两相对比较 的方法求出它们对于准则 0的相对重要性相应的权重 wnw2， ，。为此，决策者或专家 要反复进行如下判断：针对准则 ,B层中的两个因素 S,， 哪一个更重要，重要多少 ?若 =1表示第 f个因素对第 j个因素的相对重要性估值，则 n个元素两两相对比较 Wj C2 次所得的结果就确定了判断矩阵 A。 2 显然，判断矩阵 A具有以下性质 ： 对 /， _/丨 1， 2， .“， ，有 0， =丄从 =1.因此，判断矩阵八为正互反矩阵。 aji 对 W, y， A 1 ， 2, ，冰有 = %，判断矩阵 A为完全一致性

27、矩阵。 显然，当比较结果是由精确的测量而不是由人的判断给出时，判断矩阵即为一致 性的。 实际中，我们需要依靠主观判断而不是精确的测量得到每一个 /这样必然在 某种程度上偏离理想的比率 y。为此， T. L. Saaty及其同事们采用如表 2-1所示的 1-9 标度方法进行相对重要程度赋值，记为判断矩阵 A中元素。 表 2-1 1 9标度方法表 标度 含义 说明 1 以上一层次某因素为准则，本层次因素 两个活动对一个目标贡 3 与因素 j相比，具有同样的重要性 以上一层次某因素为准则，本层次因素 献相同 二者之间判断差异轻微 5 t“ 与因素 j相比，丨比 j稍微重要 以上一层次某因素为准则，本

28、层次因素 二者之间判断差异明显 7 与因素 j相比， _比明显重要 以上一层次某因素为准则，本层次因素 二者之间判断差异强烈 9 f与因素 j相比， /比 j强烈重要 以上一层次某因素为准则，本层次因素 二者之间的差异达到可 2， 4， 6， 8 f与因素 j相比， /比 j极端重要 上述各值的中间标度 能范围内的最大限度 二者之间的判断需要达 上述各值的 倒数 若因素 f与因素 j比较其相对重要性以 上述之 _值进行标度 ,则因素 j与因素 比较以该值的倒数标度 成一定妥协的场合 Saaty选择 19标度作为定性等级的量化值，因为通过分析他们发现，同其它方 法相比， 19标度具有简明、自然、

29、灵活的优点，用 19之间的整数及其倒数作为量化 标度符合人们进行判断时的心理习惯。许多实验心理学研究也表明，普通人在对一组事 物的某种属性同时作比较，并使判断保持满意的一致性时，所能正确辨别属性的等级或 事物的个数在59个之间。同时 Saaty从以下四个方面指出了标度上限 9的合理性 : 第一方面，被比较的对象关于所比较的性质在量值上应该同属一个数量级或是相当接 近。这样定性的差异才有实际意义，比较也才能保证一定的准确性。第二方面，通过五 个比较判断等级能够较好地反映人的定性区别能力。五个等级为：相同、微弱差异、明 显差异、强烈差异、极端差异。如果需要较高的精确度，还可以在不同的等级间使用中 间值，这样总共就有 9个值点。第三方面，在实际生活中，人对于某种刺激作出的反应 一般有拒绝、不反对和接受三种情况，进一步还可以将每种情况细分为低、中、 高三个 等级。这代表了人所能有效区分的 9个等级，有人曾得出结论：人对于不同程度刺激的