误差理论与数据处理答案.docx

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1、误差理论与数据处理第一章 绪论1 -1研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。答： 研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下， 得到理想的结果。误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。1-2试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测

2、量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。1-3试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定15 测得某三角块的三个角度之和为180o0002”,试

3、求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：180o0002 -180o = 2 相对误差等于： 2 2 2 = 0.00000308641 0.000031%180o180 60 60 648000 1-6在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1m，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差测得值真值，即： LLL0已知：L50，L1m0.001mm，测件的真实长度 LL500.00149.999（mm）01-7用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定

4、中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的误差测得值实际值，即：100.2100.50.3（ Pa）1-8 在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20 m m ，试求其最大相对误差。相对误差max = 绝对误差max 100%测得值= 20 10-6 100% 2.31= 8.66 10-4%1-9 、解：由4p 2 (h + h ) ，得g =12T 24p 2 1.04230g = 9.81053m/s2 2.0480对 g = 4p 2 (h + h ) 进行全微分，令h = h + h ，并令 g ， h ， T 代替dg ， dh

5、， dT 得12g =4p 2 h8p 2 h T-T 2T 3T 212从而 g = h - 2 T 的最大相对误差为：ghTgmax =max - 2maxhTghT= 0.00005 - 2 -0.0005 1.042302.0480=5.3625 10-4%4p 2h g由 g = 4p 2 (h + h ) ，得T =，所以12T 24 3.1415921.04220T = 2.047909.81053g由max =max - 2Tmax，有 T= maxABShghTmax2hg2hg1-10 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V

6、刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？最大引用误差= 某量程最大示值误差100%测量范围上限= 2 100% = 2% I12所以L =80mm 方法测量精度高。2113 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为： 0.110000 = 0.00001 = 0.001%50m = 50m1cm0.01m= 0.0002 = 0.02%射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm

7、，其测量误差分别为11m m 和 9m m ； 而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为12m m ，试比较三种测量方法精度的高低。相对误差I = 111m m = 0.01% 110mmI = 29m m110mm= 0.0082%I = 312m m = 0.008% 150mmI I I 第三种方法的测量精度最高321第二章 误差的基本性质与处理2-1试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度；2-2试述单次测量

8、的标准差 和算术平均值的标准差 ，两者物理意义及实际用途有何不同。2-3 试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率2-4测量某物体重量共 8 次，测的数据(单位为 g)为 236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。x = 236.4 + 0.05 + (-0.03) + 0.11+ (-0.06) + (-0.01) + 0.08 + 0.07 + 08= 236.43n vi2i =1n -1o = 0.0599nxo = s= 0.02122-5 用別捷尔斯法、极差法和最大误差

9、法计算2-4，并比较2-6 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。x = 168.41+168.54 +168.59 +168.40 +168.505= 168.488(mA)5 v 2ii=15 -1o = 0.082(mA)no = sx= 0.082 = 0.037(mA)5或然误差： R = 0.6745sx= 0.6745 0.037 = 0.025(mA)平均误差：T = 0.7979sx= 0.7979 0.037 = 0.030(mA)2-7 在立式

10、测长仪上测量某校对量具，重量测量5 次，测得数据（单位为mm）为 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。 x = 20.0015 + 20.0016 + 20.0018 + 20.0015 + 20.00115= 20.0015(mm)5 v 2ii=15 -1o = 0.00025正态分布p=99%时， t = 2.58dlim x= tsx5= 2.58 0.00025= 0.0003(mm)测量结果： X = x +dlim x= (20.0015 0.0003)mm27 在立式测长仪上测量

11、某校对量具，重复测量5 次，测得数据(单位为mm)为 200015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99的置信概率确定测量结果。x = i=1= 20.0015mmn linn v2o =i=1=26 10= 2.5510 mm-8in -1-44解：求算术平均值求单次测量的标准差求算术平均值的标准差o =sn=2.55105-41.14 10 mm-4x确定测量的极限误差因 n5 较小，算术平均值的极限误差应按t 分布处理。现自由度为：n14；10.990.01，dx = t s = 4.60 1.14 10-4 = 5.24 10

12、-4 mmlima x查 t 分布表有：ta4.60 极限误差为写出最后测量结果L = x + dx = (20.0015 5.24 10-4 )mmlim2-9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差s = 0.004mm ，若要求n测量结果的置信限为 0.005mm ，当置信概率为 99%时，试求必要的测量次数。正态分布p=99%时， t = 2.58dlim xn= t s= 2.58 0.004 = 2.064 0.005n = 4.26取n = 5210 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差0.001mm，若要求测量的允许极限误差为0.0015mm，而置信概率P

13、为 0.95 时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有 tsx= t s 0.0015n根据题目给定得已知条件，有nt 0.0015 = 1.5 0.001查教材附录表 3 有若 n5，v4，0.05，有 t2.78，n5t= 2.78 = 2.78 = 1.242.236若 n4，v3，0.05，有 t3.18，n4t= 3.18 = 3.18 = 1.592即要达题意要求，必须至少测量 5 次。2-12 某时某地由气压表得到的读数（单位为 Pa）为 102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69

14、，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。8 p x=i ixi=18p= 102028.34(Pa)ii=18p v 2i xi(8 -1)8 pi=1i=1io= 86.95(Pa)x122-13 测量某角度共两次，测得值为 a = 24o1336 ， a= 24o1324 ，其标准差分别为12o = 3.1,s = 13.8 ，试求加权算术平均值及其标准差。p : p12= 1 : 1o 2 s 212= 19044 : 961x = 24 o1320+ 19044 16+961 4 = 24o133519044 + 961o = sx=

15、 3.1 3.0pxi2i=1ipi1904419044 + 9612-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角a 各重复测量 5 次，测得值如下：a: 7o 220 ,7o 30 ,7o 235 ,7o 220 ,7o 215 ;甲a: 7o 225 ,7o 225 ,7o 220 ,7o 250 ,7o 245 ;乙试求其测量结果。20+ 60+ 35+ 20+15甲： x= 7 2 +甲5= 7 230（-10）2 +（30）2 + 52 +（-10）2 +（-15）245 v 2ii=15 -1o =甲= 18.4s5o=甲 =乙x甲18.45= 8.23乙： x= 7 2 +25+

16、25+ 20+ 50+ 455= 7 233（-8）2 +（-8）2 +（-13）2 +（17）2 +（12）245 v 2ii=15 -1o=乙s乙5= 13.5s=x乙= 13.5 = 6.04p : p甲乙=1:1o2 s2=1:8.232156.042= 3648: 6773x甲p x + p xx乙2323648 30+ 6773 33x =甲 甲乙p + p36483648 + 6773甲乙乙 =+ 7 2 = 73648 + 6773pp + p甲乙甲x甲o = sx= 8.23 = 4.87 X = x 3sx= 7o 232152-15试证明n 个相等精度测得值的平均值的权为

17、n 乘以任一个测量值的权。证明：解：因为n 个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差：sn-n 个测量值算术平均值的标准偏差为： s =x已知权与方差成反比，设单次测量的权为P1，算术平均值的权为P2，则P : P= 1 : 1 = 1: n -12s 2s 2xP = nP212-16 重力加速度的 20 次测量具有平均值为9.811m / s 2 、标准差为0.014m / s 2 。另外 30 次测量具有平均值为9.802m / s 2 ，标准差为0.022m / s 2 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此 50 次测量的平均值和标准差。p : p12= 1 : 1 =o 2

18、s 2x 2x 2121: 0.014 2201 0.022 230= 242 :147242 9.811+147 9.802x =242242 +1470.014242 +147 9.808(m / s 2)20o= 0.002（5xm/s2）2-17 对某量进行 10 次测量，测得数据为 14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 x = 14.96按贝塞尔公式 s = 0.26331按别捷尔斯法s2s= 1.253s10 v 10(10 -1)i=1i 0.26422由 s = 1 + u得 u

19、= s2 -1 = 0.003411n -12u T+-+序号12345第一组第二组50.7550.7850.7850.8150.82序号678910第一组第二组50.8250.8350.8550.8750.89T=5.5+7+9+10=31.5查表T = 14T = 30所以两组间存在系差2-19 对某量进行 10 次测量，测得数据为 14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 x = 14.96按贝塞尔公式 s1= 0.2633按别捷尔斯法s2s= 1.25310(10 -1)i=1s10 vi 0

20、.26422由 s = 1 + u得 u = s2 -1 = 0.0034112n -1u = 0.67所以测量列中无系差存在。2-20对某量进行 12 次测量，测的数据为 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。解：(1)残余误差校核法x = 20.125= (-0.065 - 0.055 - 0.065 - 0.045 - 0.025 - 0.005) - (-0.015 + 0.015 + 0.055 + 0.055 + 0.085 + 0.

21、065)= -0.54因为 显著不为 0，存在系统误差。（2）残余误差观察法残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系统误差。（3） s112 v 2厂i=i =111i12 Iv I= 0.05o = 1.2532si =1尸n(n -1)= 0.06s2 = 1+ u1su = s2 -1 = 0.191u 211厂n -1= 0.603所以不存在系统误差。2-22”,.,.4以则：li15 一 l j5 = 1 f 一 F 云=众以 Oln故 翡 它 现 羚 再 根 ， 一”个心斯准贝小, = 28,5 4 删 cr = 0.O_3 ,ml苍酌序怍心

22、 一飞L兮 艾 现在打 2 个尸. -. 习，l= 28.504 - 28.40 = 0. 1” 5 04 - 0 025卜 n,:l第三章 误差的合成与分配3-1 相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基1234l = 40mml = 12mml = 1.25mml = 1.005mm本尺寸为，。经测量，它们的尺寸1偏差及其测量极限误差分别为Dl= -0.7m mDl,2= +0.5m mDl = -0.3m m,3,Dl = +0.1mm,dl = 0.35mm,dl = 0.25mm,dl = 0.20mm, dl = 0.20mm4lim 1l

23、im 2lim 3lim 4。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。修正值= - (Dl + Dl + Dl + Dl )1234= - (-0.7 + 0.5 - 0.3 + 0.1)=0.4 (m m)测量误差:d = d 2llim l+ d 2lim l+ d 2lim l+ d 2lim l1234= (0.35) 2 + (0.25) 2 + (0.20) 2 + (0.20) 2= 0.51(m m)3-2为 求 长 方 体 体 积 V ， 直 接 测 量 其 各 边 长 为 a = 161.6mm ，b = 44.5mm , c = 11.2mm , 已

24、知测量的系统误差为 Da = 1.2mm ， Db = -0.8mm ，Dc = 0.5mmd= 0.8mm，测量的极限误差为 a，d = 0.5mmd = 0.5mmb， c， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。V = abcV = f (a, b, c)V = abc = 161.6 44.5 11.20= 80541.44(mm3 )体积V 系统误差DV 为：DV = bcDa + acDb + abDc= 2745.744(mm 3 ) 2745.74(mm 3 )立方体体积实际大小为：V = V0- DV = 77795.70(mm3 )2= ( f )2 d 2 + ( f )2

25、 d 2 + ( f )2 dlimVaabbccd(bc) 2 d 2 + (ac) 2 d 2 + (ab) 2 d 2abc= = 3729.11(mm 3 )测量体积最后结果表示为:V = V0- DV + dlim V= (77795.70 3729.11)mm 333 长方体的边长分别为 ， , 测量时：标准差均为；标准差各为 、 、12312o 。试求体积的标准差。3解：长方体的体积计算公式为：V = a a a123( V )2 s 2 + ( V )2 s 2 + ( V )2 s 2a11a2a323体积的标准差应为：s=VV现可求出： a = a21V1 a3 ； a =

26、 a2V1 a3 ； a = a a23若 ：s = s12= s = s3则有：( V )2 s 2 + ( V )2 s 2 + ( V )2 s 2a11a2a323( V )2 + ( V )2 + ( V )2a1aa23o= sV(a a )2 + (a a )2 + (a a )22 31 31 2= s若 ：s s s123(a a )2 s 2 + (a a )2 s 2 + (a a )2 s 2 2 311 321 23则有：s=VI3-4测量某电路的电流I = 22.5mA ，电压U = 12.6V ，测量的标准差分别为s= 0.5mA ，U，求所耗功率及其标准差。o=

27、 0.1VP = UIsP = UI = 12.6 22.5 = 283.5(mw)PP = f (U , I )U、I 成线性关系 r= 1UI( f ) 2 s 2 + ( f ) 2 s 2 + 2( f )( f )s sUUIIUIu Io=P= f sUU+ f sII= IsU+ UsI= 22.5 0.1 + 12.6 0.5= 8.55(mw)3-9测量某电路电阻R 两端的电压U，按式I=U/R 计算出电路电流，若需保证电流的误差为 0.04A，试求电阻R 和电压U 的测量误差为多少？解：在 I=U/R 式中，电流 I 与电压 U 是线性关系，若需要保证电流误差不大于0.04

28、A，则要保证电压的误差也不大于 0.04R。312按公式 V=r2h 求圆柱体体积，若已知r 约为 2cm，h 约为 20cm，要使体积的相对误差等于 1，试问r 和h 测量时误差应为多少?解：若不考虑测量误差，圆柱体积为V = p r 2 h = 3.14 22 20 = 251.2cm3根据题意，体积测量的相对误差为 1，即测定体积的相对误差为：即s = V 1% = 251.2 1% = 2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出测定 r 的误差应为：o = 1%V2 V / ro = s1r= 2.5111.41 2phr= 0.007cm测定 h 的误差应为：2 V / ho = s

29、1h= 2.5111.41 p r 2= 0.142cm极限误差g3-14 对某一质量进行 4 次重复测量，测得数据(单位 g)为 428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差D = -2.6g, 测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。序号随机误差未定系统误差误差传递系数12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81428.6 + 429.2 + 426.5 + 430.8x =4= 428.775(g) 428.8(g)最可信赖值 x = x - D =

30、 428.8 + 2.6 = 431.4(g)5 ( f )2 ex2+1 3()f2 d 2i4xii=1ii=1id = x 4.9(g)测量结果表示为: x = x - D + d = (431.4 4.9)gx第四章 测量不确定度41某圆球的半径为r，若重复10 次测量得rr=(3.1320.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99。解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为： D = 2p r D 2 r s 2r(2p )2 s 24 3.141592 0.0052其标准不确定度应为： u =r0.0314cm确

31、定包含因子。查t 分布表t（9）3.25，及K3.250.01故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：UKu3.250.03140.102求圆球的体积的测量不确定度圆球体积为：V = 4 p r 33其标准不确定度应为： V 2 r s 2r(4 p r 2 )2 s 216 3.141592 3.1324 0.0052u =r= 0.616确定包含因子。查t 分布表t0.0（1 9）3.25，及K3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为UKu3.250.6162.0024-2望远镜的放大率D=f1/f2，已测得物镜主焦距f11=（19.80.10）cm， 目镜的主焦距 f22=（0.80

32、00.005）cm，求放大率测量中由 f1、f2 引起的不确定度分量和放大率 D 的标准不确定度。4-3测量某电路电阻 R 两端的电压 U，由公式I=U/R 计算出电路电流 I，若测得Uu=（16.500.05）V，RR=（4.260.02）、相关系数UR=-0.36,试求电流 I 的标准不确定度。4-4 某 校准 证书 说明 ， 标 称 值 10 W 的 标 准电阻 器的 电 阻 R 在 20 C 时 为10.000742W 129mW （P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。由校准证书说明给定属于B 类评定的不确定度R 在10.000742 W -129

33、mW ，10.000742 W +129 mW 范围内概率为 99%，不为 100%不属于均匀分布，属于正态分布a = 129 当 p=99%时， K = 2.58p U = aRKp= 1292.58= 50(mW)4-5 在光学计上用 52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是： l= 40mm1，l = 10mm2l = 2.5mm，3，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过 0.45mm 、 0.30mm 、0.25mm （取置信概率 P=99.73%的正态分布 ）， 求该量块组引起的测量不确定度。L = 52.5mml1= 40m

34、ml = 10mml23= 2.5mm L = l + l + l123p = 99.73% K = 3pkU = al1pkU = al3pU + U + UlllU =L= 0.45 = 0.15(m m)U3l2= 0.25 = 0.08(m m)30.152 + 0.102 + 0.082= a = 0.30 = 0.10(m m)k3p123= 0.20(m m)第五章 线性参数的最小二乘法处理3x + y = 2.95-1 测量方程为x - 2 y = 0.9 试求 x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为2x - 3y = 1.9v = 2.9 - (3x + y)1v

35、= 0.9 - (x - 2 y) 2v = 1.9 - (2 x - 3y)3na ai1 i1x +na ai1 i 2y =na li1 i列正规方程 i=1i=1i=1代入数据得n a a x +n a a y =n a li 2 i1i 2 i 2i 2 i i=1i=1i=114x - 5 y = 13.4x = 0.962解得-5x +14 y = -4.6 y = 0.015v 1将 x、y 代入误差方程式v= 2.9 - (3 0.962 + 0.015) = -0.001= 0.9 - (0.962 - 2 0.015) = -0.032 2v = 1.9 - (2 0.962 - 3 0.015) = 0.0213 v2i3 - 2i=13n v2ii=1n - t测量数据的标准差为s = 0.03814d - 5d= 1