(完整版)多元线性回归模型公式.docx

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1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x , x ,., x的影响，其 n 组观测值为（ y , x , x,., x ），12ka1a2 akaa = 1,2,., n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为：y = b + b xa01 1a+ b x2 2a+ . + b x+ e （3.2.11）k kaa式中：b b ,., b0, 1k为待定参数；e 为随机变量。a如果b , b ,., b分别为b , b ,

2、b ., b的拟合值，则回归方程为01k012k= b + b x + b x + . + b x（3.2.12）式中：01 12 2k kb 为常数；0b , b ,., b 称为偏回归系数。1 2k偏回归系数b （ i = 1,2,., k ）的意义是，当其他自变量xi变化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。（ j i ）都固定时，自变量x 每ji根据最小二乘法原理， b（ i = 0,1,2,., k ）的估计值b （ i = 0,1,2,., k ）应该使iiQ = n y - 2 = n y- (b + b x+ b x+ . + b x)2 miny aa a=1aa=101

3、1a2 2ak ka（3.2.13）有求极值的必要条件得Q = -2n b- y = 0y aa 0a=1（3.2.14） Q = -2n y - = 0( j = 1,2,., k )bj aa=1y xa ja将方程组（3.2.14）式展开整理后得：nb + (n x )b + (n x)b + . + (n x)b = n y01a12a2kakaa=1a=1a=1a=1 (nx )b + (nx2 )b + (nx x )b + . + (nx x )b = n x y1a01a11a 2a21a kak1a ana=1a=1a=1a=1a=1（3.2.15）(x )b2a0+ (nx

4、 x1a 2a)b + (n1x2 )b2a2+ . + (nx x )b2a kak= nx y2a aa=1a=1a=1.a=1a=1 (nx )b + (nx x )b + (nx x )b + . + (nx2 )b = n x ya=1ka01a ka12a ka2kakka a a=1a=1a=1a=1方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵： b 1xx.x 0 y 1121k1 b 1 1xx.x 1 y 1222k 2 b = b,Y = 2 , X = 1xx.x 2 . . y 13.23.k 3. b n k 1x1nx.x 2nkn 111.

5、1 1x11x.21x k1 xxx.x 1xx.x 1112131n 1222k 2 A = X T X = xx2122x.x232n1x13x.23xk 3 .xxnk1k 2. .1x.x k 3kn.xx1n2n. .x knnx1an x2a.n xka a=1a=1a=1 n xn x21a1an x x1a 2a.nx x1a ka= a=1a=1a=1a=1xn2an x x1a 2an x22a.nx x 2a ka a=1. na=1 .na=1.na=1 .nxkax x1a kax x2a ka.x2ka a=1a=1a=1a=1n ya 111.1 y a=11 n

6、 x y xxx.x y 1a a 1112131n 2 a=1B = X TY = x21x22x23.x2n y3 = n . . x y 2a a xxx.x y a=1 .k1k 2k 3knn n a=1x y ka a 则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式求解（3.2.15）式可得：Ab = B （3.2.15）b = A-1B = ( X T X )-1 X TY （3.2.16）如果引入记号：L = Lijji= n (xiaa=1- x )(xija- x )(i, j = 1,2,., k )jLiy则正规方程组也可以写成：= n (xiaa=1- x )(

7、 yia- y)(i = 1,2,., k ) L b + L b + . + L b = L 11 112 21k k1yL b + L b + . + L b = L 21 122 22k k2 y.（3.2.15） L b + L b + . + L b = L k1 1k 2 2kk kky1b = y - b x - b x - . - b x012 2k k（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量 y 的观测值 y , y ,., y12n之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一

8、是由于自变量x , x ,., x12k的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从 y 的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y 的离差平方和 ST 或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和 U 与剩余平方和 Q：S = LTyy= U + Q在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有 k 个自变量对 y 的变差的总影响，它可以按公式U = n( k2y - y) =b L计算，而剩余平方和为aa=1i=1i iyQ = n ( yaa=12- y ) = L -Uayy以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和 Q 就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和 U 的自由度等于自变量的个数 k，而剩余平方和的自由度等于n - k -1 ，所以 F 统计量为：F =U / kQ /(n - k -1)当统计量F 计算出来之后，就可以查F 分布表对模型进行显著性检验。