正弦定理和余弦定理讲义--高三数学一轮复习.docx

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1、高三数学第一轮复习专题 正弦定理和余弦定理一、正弦定理：1正弦定理：（研究边角之间的数量关系） 如图，在中，由锐角三角函数定义得： 因，故。当为锐角三角形时，则：，。故：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：（2R为外接圆直径） 由右图可知：在直角2正弦定理的应用：利用正弦定理实现边角互化： （）例。例2。在中，判断的形状。解：由正弦定理得：，即：为等腰三角形或直角三角形。规律：若遇到有边有角的等式，常先用正弦定理进行边角互化，实现化简和求值的目的。利用正弦定理解三角形：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫

2、做解三角形。用正弦定理可解两类三角形：（1）已知两角和任一边；（2）已知两边和其中一边的对角。（一般用余弦定理来解。可有两解、一解或无解）例1。解三角形：（1） （已知两角和任一边）（2） （已知两角和任一边）解：（1） （2） 例2。在中，求。解： 当， 当， 因此，已知两边和其中一边的对角，可能出现两解。“已知两边和其中一边的对角”解三角形时解的情况分析：在中，已知。 （1）当为锐角时：（2）当为直角或钝角时，时只有一解，即只有一个。判断方法： （）1。首先考虑“大边对大角”；2。若有可能出现两解情况，先求，再与比较。例：在中，已知两边和其中一边的对角，判断解的情况。（1）中，（2）中，（

3、3）中，（4）中，分析：（1） ，故有可能出现两解；求出，因，故本题有两解，即有两个角。（2） ，故有可能出现两解；求出，因，故本题有一解，即。（3） ，故有可能出现两解；求出，因，故本题无解，即构不成三角形。（4） ，故根据“大边对大角”， 只能是锐角，故只有一解。练习：“已知两边和其中一边的对角”判断解的情况：（1）在中，（2）在中，（3）在中，（4）在中，（5）在中，（6）在中，答案：（1）1解（2）1解（3）1解（4）2解（5）1解（6)2解二、余弦定理：1余弦定理：如图，设则同理： （已知两边和夹角的余弦，求第三边）（已知三边，求三角）由可知：当，此即为勾股定理，为直角三角形。当，为

4、锐角三角形。当，为钝角三角形。故余弦定理可看作勾股定理的推广，利用三边可以判断三角形的形状。例三角形三边为4、5、6，因，故三角形为锐角三角形。 三角形三边为4、5、7，因，故三角形为钝角三角形。2.用余弦定理解三角形：（1）已知两边和它们的夹角；（2）已知三边，求三角；（3）已知两边和其中一边的对角。 例1。在中：（1）已知。（2）已知。解：（1）（2） 例2.在中，求。解（一）用正弦定理。 又故本题有两解。 当； 当。解（二）用余弦定理。 当时，； 当时， 。一般来说，解“已知两边和其中一边对角”类的三角形，用余弦定理较为简单一些。 三、三角形中常用结论与常见题型：1. 2. 3.规律：若

5、遇到有边有角的等式，常先用正弦定理进行边角互化，实现化简和求值的目的。 注意：等式中边的次数或角的正弦的次数要相同。 例1。中，角满足,则角的大小为（ ） A B C D 解：由正弦定理，可化为：。由余弦定理得： 。4.若遇到含有“边的平方或角的正弦值的平方”的等式，常用余弦定理解决。 例1。在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则ABC是( )A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 解：由得：。由余弦定理得：故是钝角三角形。例2。在ABC中，则A的取值范围是()A. B. C. D.解：由正弦定理，可化为：。由余弦定理得： 。11学科网（北京）股份有限公司