九年级数学中考专题复习等腰三角形中的分类讨论考前强化提升训练.docx

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1、九年级数学中考复习等腰三角形中的分类讨论考前强化提升训练（附答案）一选择题1已知等腰三角形的一个内角为50，则它的顶角为（）A50B80C65或80D50或802等腰三角形一边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）ABC或D或3等腰三角形的一个底角是40，则它的顶角是（）A100B40或70C70D404已知直线yx+与x轴，y轴分别交于A，B两点，在x轴上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）个A2B3C4D55在ABC中，与A相邻的外角是130，要使ABC为等腰三角形，则B的度数是（）A50B65C50或65D50或65或806等腰三角形的一个角为50，则这

2、个等腰三角形的底角为（）A65B65或80C50或65D407等腰ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x210x+m0的两个实数根，则m的值是（）A24B25C26D24或258ABC中，ABAC，CD为AB上的高，且ADC为等腰三角形，则BCD等于（）A67.5B22.5C45D67.5或22.5二填空题9如图，在ABC中，ACB90，AC9，BC5，点P为ABC内一动点过点P作PDAC于点D，交AB于点E若BCP为等腰三角形，且SPBC，则PD的长为 10已知ABC中，ABAC，A40，BDAC，垂足为D，点E在直线BC上，若CDCE，则BDE的度数为 11已知ABC，按以下步骤

3、作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；作直线MN交直线AB于点D，连接CD若ABC40，ACD20，则BAC的度数为 12如图，已知O的半径为2弦AB的长度为2，点C是O上一动点，若ABC为等腰三角形，则BC2的长为 三解答题13如图，RtABC中，ABC90，AB8，BC6，点M在BC的反向延长线上，BM10，作射线MPCM，点D从B出发，沿射线BM方向以每秒3个单位长变的速度运动，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D，Q两点同时出发，运动时间为t秒（1）当t2时，DMQ是等腰三角形，求a的值（2）求t为何值时，DCA为等腰三

4、角形（3）是否存在a，使得DMQ与ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请兑明理由14如图，ABC中，C90，AB5cm，BC3cm，若动点P从点C开始，按CABC的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒（1）当点P在线段AB上时，BP cm（用含t的代数式表示）（2）若BCP为直角三角形，则t的取值范围是 （3）若BCP为等腰三角形，直接写出t的值（4）另有一动点Q从点C开始，按BACB的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动请直接写出t为何值时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分15如图，方格纸中的每个小方格

5、的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，A（3，4），B（4，1），C（3，0）（1）点D的坐标为 ；（2）在图中作出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；（3）点E是x轴上的一个动点，当OAE为等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的点E的坐标16如图，CD是ABC的高，CD8，AD4，BD3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PEAB于点E，DFDE，FQAB于点F，交AC于点Q，连接QE（1）若点P是BC的中点，则QE ；（2）在点P的运动过程中，EF+FQ的值为 ；当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？当AQE是等腰三角形时，求BE的长17如图

6、，在RtACB中，ACB90，BC6，AC8点P从点A出发以每秒5个单位的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒6个单位的速度向终点C运动，连接PQ，点P绕点Q顺时针旋转90得到点M，以P、Q、M为顶点作正方形PQMN，设点P运动时间为t秒（t0）（1）用含t的代数式表示线段BP的长（2）当PQB为钝角三角形时，求t的取值范围（3）当正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形时，求出此时t的值（4）当AMN是等腰三角形时，直接写出t的值18如图，在RtABC中，ACBRt，AC8，AB10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DFAB交BC所在的直线于点

7、F，连结AF，CD设点D运动时间为t秒（1）BC的长为 ；（2）当t2时，求ADC的面积（3）当ABF是等腰三角形时，求t的值19如图，长方形ABCD中，AB10，AD4，E为CD边上一点，CE7（1）求AE的长；（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE设点P运动的时间为t秒当t为何值时，PAE是等腰三角形；当t 时，PEAE20如图，在ABC中，B90，AB4，AC5点P从点A出发，沿AC向终点C运动，运动速度为1单位长度/秒；同时点Q从点B出发，沿BA以1单位长度/秒的速度向终点A运动，当点Q经过AB中点D处时，停止1秒，然后继续运动连结PQ，以PQ为

8、边作正方形PQMN设正方形PQMN的面积为S，点P的运动时间为t秒（1）当PQAC时，求PQ的长（2）当APQ为等腰三角形时，求t的值（3）求S与t之间的函数关系式（4）直接写出线段PQ在整个运动过程中的最小值参考答案一选择题1解：如图所示，ABC中，ABAC有两种情况：顶角A50；当底角是50时，ABAC，BC50，A+B+C180，A180505080，这个等腰三角形的顶角为50和80故选：D2解：如图等腰ABC，ABAC，过点A作ADBC垂足为D，则BDBC当底BC10cm时，等腰三角形周长为36cm，ABAC13cm，BD5cmcosBcosC；当腰BACA10cm时，等腰三角形周长为

9、36cm，BC16cm，BD8cmcosBcosC故选：C3解：因为其底角为40，所以其顶角180402100故选：A4解：当x0时，yx+，点B的坐标为（0，），OB；当y0时，x+0，解得：x1，点A的坐标为（1，0），OA1在RtOAB中，OB，OA1，AOB90，AB2，sinBAO，BAO60当BPBA时，OPOA，点P1的坐标为（1，0）；当APAB时，AP2，点A的坐标为（1，0），点P2的坐标为（3，0），点P3的坐标为（1，0）；当PBPA时，BAO60，ABP为等边三角形，APAB2，点P4的坐标为（1，0）综上所述：符合条件的点P有2个故选：A5解：A18013050当A

10、BAC时，BC（18050）65；当BCBA时，AC50，则B180505080；当CACB时，AB50B的度数为50或65或80，故选：D6解：当50是等腰三角形的顶角时，则底角为（18050）65；当50是底角时亦可故选：C7解：方程x210x+m0的有两个实数根，则1004m0，得m25，当底边长为4时，另两边相等时，x1+x210，另两边的长都是为5，则mx1x225；当腰长为4时，另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x210x+m0的根，代入得：1640+m0解得m24m的值为24或25故选：D8解：如右图所示，CD在ABC内部，ABAC，CD为AB上的高，BACB，CDB90，又

11、ADC是等腰三角形，DACDCA45，BACB（18045）67.5，BCDACBACD67.54522.5；如右图所示，CD在ABC外部，ABAC，CD为AB上的高，BACB，CDB90，又ADC是等腰三角形，DACDCA45，BACB4522.5，BCDACB+ACD22.5+4567.5；故答案是22.5或67.5故选：D二填空题9解：S，CD3，ADACCD6，ACB90，PDAC，DEBC，ADEACB，DE，过点P作PFBC于点F，当PBBC时，如图，PFCD3，PBBC5，在RtPBF中，BF4，DPCFBCBF1，DPDE，点P在线段DE上，符合题意；当PCPB时，如图，DPC

12、F，DPDE，点P在线段DE上，符合题意；当PCBC时，如图，PFCD3，PCBC5，在RtCDP中，DP4，DPDE，点P不在线段DE上，舍去，综上，PD的长为1或，故答案为：1或10解：如图，当E在C点左侧时，ABAC，A40，CABC70，CDCE，CDECED55，BDAC，BDEBDCCDE905535；当E在C点右侧时，如图，ABAC，A40，CABC70，CDCE，CDECED35，BDAC，BDEBDC+CDE90+35125，故答案为：35或12511解：由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线，BDCD，BCDB40，ACD30，如图1，ACB40+2060，BAC1806

13、04080；如图2，ACB402020，BAC1802040120，综上所述，BAC的度数为80或120，故答案为：80或12012解：当ABC为等腰三角形时，分以下两种情况：如图1，以AB为底边时，ACBC，连接C1C2，AO，则C1C2过圆心O，C1C2AB，ADAB1，OA2，OD，C1D2+，C2D2，BC128+4，BC2284；如图2，以AB为腰时，ABAC3BC42，连接OC3，AO，AO交BC3于E，则BEC3E，BC424，OC3AOAC32，AC3O是等边三角形，EOC360，OC3E30，C3E，BC32，BC32（2）212，综上，BC28或12或4故答案为：8或12或

14、4三解答题13解：（1）当t2时，DB6，BM10，DM4，DMQ是等腰三角形，DMQ90，DMMQ，即42a，解得，a2；（2）当ACAD时，DCA为等腰三角形，ABCD，BDBC6，t2；由勾股定理得，AC10，当ACCD10时，DCA为等腰三角形，BC6，BD4，t；当ADCD6+3t时，DCA为等腰三角形，ABD90，AB2+BD2AD2，即82+（3t）2（6+3t）2，解得，t，综上所述：t2或或时，DCA为等腰三角形；（3）当DMQ与ABC全等，DMQABC，MQBC6，DMAB8，BM10，BD2或BD18，t或t6，a9或a1；DMQCBA，DMBC6，MQAB8，BD4或1

15、6，t或，a6或，综上所述：当DMQ与ABC全等时，a9或1或6或14解：（1）C90，AB5cm，BC3cm，AC4cm，动点P从点C开始，按CBAC的路径运动，速度为每秒1cm，当点P在线段AB上时，BP4+5t（9t）（cm）故答案为：（9t）；（2）AC4，动点P从点C开始，按CABC的路径运动，且速度为每秒1cm，P在AC上运动时BCP为直角三角形，0t4，当P在AB上时，CPAB时，BCP为直角三角形（如图1中），ABCPACBC，5CP34，解得：CP（cm），AP（cm），AC+AP（cm），速度为每秒1cm，t，综上所述：当0t4或t，BCP为直角三角形；故答案为：0t4或t

16、；（3）如图2，当CPCB时，BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则t3如图3，当BPBC3时，BCP为等腰三角形，APABBP2，t（4+2）16如图4，若点P在AB上，CPCB3，作CDAB于D，则根据面积法求得CD，在RtBCD中，由勾股定理得，BD，PB2BD，CA+AP4+55.4，此时t5.415.4如图5，当PCPB时，BCP为等腰三角形，作PDBC于D，则BDCD，PD为ABC的中位线，APBPAB，t（4+）1综上所述，t为3或5.4或6或时，BCP为等腰三角形；（4）当P点在AC上，Q在AB上，则PCt，BQ2t3，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分，t+2t33，t2

17、当P点在AB上，Q在AC上，则ACt4，AQ2t8，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分，t4+2t86，t6，当t2或6时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分15解：（1）D（1，2）故答案为：（1，2）；（2）如图，四边形A1B1C1D1即为所求；（3）A（3，4），OA5，当OAOE时，E（5，0）或（5，0）当AOAE时，E（6，0）当EAEO时，设E（m，0），则有m，解得m，E（，0），综上所述，满足条件的点E的坐标为（5，0）或（5，0）或（6，0）或（，0）16解：（1）如图1，设DGa，CDAB，PEAB，QFAB，QFCDEF，DEDF，EGQG，DG是EFQ的中位线

18、，QF2a，tanBAC，即，AFa，DFDE4a，BD3，BE3（4a）a1，PECD，BPPC，BEED，a14a，a，FQ2a5，EF2（4a）82a853，EQ；故答案为：；（2）如图2，过点Q作QHCD于H，FQAB，CDAB，QFDFDHQHD90，四边形FDHQ为矩形，DFQHDE，FQDH，tanACD，CH2QHEF，EF+FQDH+CH8：故答案为：8；由得：EF+FQ8，设EFx，则FQ8x，EQ，当x4时，EQ取最小值为4，此时，DEDF2，BE321，PECD，RtBDC中，由勾股定理得：BC，PB，当PB时，线段QE最小，最小值是4；设DEm，BE3m，DFm（0m

19、3），AE4+m，AF4m，FQ82m，AC4，AQ（4m），当AEQ为等腰三角形时，存在以下三种情况：i）AQAE，则4+m（4m），解得：m62，BE3（62）23；ii）AQQE，QFAE，AFEF，4m2m，m，BE3；iii）AEEQ，则4+m，7m240m+480，解得：m14（舍），m2，BE3；综上所述，BE的长为23或或17解：（1）由题意得：AP5t，在RtABC中，AB10BPABAP105t（2）当点Q未到达点C时，PQB90时，由题意得：BQ6t，PQBACB90，BB，BPQBAC解得：t当0t时，PQB为钝角三角形；当点Q到达C点，CPB90时，ACB90，CPA

20、B，CBPBAC解得：t当t2时，PQB为钝角三角形综上，当0t时或当t2时，PQB为钝角三角形（3）当点Q未到达点C，PQBC时，四边形PQMN为正方形，MPQ90ACB90，四边形PQCE为矩形，正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形由（2）知：t当t时，正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形当点Q到达点C，点N在点A的上方时，设PN交AC于点E，若CP平分ACB，则ACP45，四边形PQMN为正方形，NPQ90，CPE为等腰直角三角形，正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形CP平分ACB，解得：t当t时，正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形当点Q到达点C

21、，点N在点A的上方时，如图，设MN交AC于点D，交AB于点E，当APAC时，则ACPAPC四边形PQMN为正方形，MNCP即DECP四边形DEPC为等腰梯形此时正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形APAC，5t8，t当t时，正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形综上，当t为或或时，正方形PQMN与ABC重叠部分图形为轴对称图形（4）当点N在点A上方时，过点N作NEAB于点E，过点Q作QDAB于点D，如图，ANM90，只有当ANMN时，AMN是等腰三角形四边形PQMN为正方形，NPQ90，MNNPPQANNPAEEPAPtEPN+ENP90，EPN+QPD90，ENPQPD在E

22、PN和DQP中，EPNDQP（ASA）EPDQtBDQC90，BB，BDQBCA解得：t0（不合题意，舍去）当点N在点A上方时，此时点Q已经到达点C，过点M作MDAC于点D，过点P作PEBC于点E，如图，当AMMN时，四边形PQMN为正方形，MNMQPQ，AMMQMDAC，ADDQAC4MQD+DQP90，DQP+PQE90，MQDPQE在MQD和PQE中，MQDPQE（AAS）DQEQ4BE2PEBACB90，BB，BPEBAC解得：t当AMAN时，则AMNANM四边形PQMN为正方形，MNMQPN，NMQMNP90AMQANP在AMQ和ANP中，AMQANP（SAS）APAQ85t8，解得

23、：t当NMAN时，过点N作NDAB于点D，过点Q作QEAB于点E，如图，四边形PQMN为正方形，MNPQPN，NMQMNP90ANNPNDAB，ADDPAPtNPD+DPQ90，NPD+DNP90，DNPDPQ在DNP和EPQ中，DNPEPQ（AAS）DPECtACB90，CEABCEBACB解得：t综上，当t或或时AMN是等腰三角形18解：（1）在RtABC中，ACB90，AC8，AB10，由勾股定理得：BC6，故答案为：6；（2）如图1，过点C作CHAB于H，SABCACBCABCH，则8610CH，解得：CH，当t2时，AD224，则SADC4；（3）当FAFB时，DFAB，ADAB10

24、5，t52；当AFAB10时，ACB90，则BF2BC12，ABDFBFAC，即10DF128，解得：DF，由勾股定理得：AD，t2；当BFAB10时，BF10，BC6，CFBFBC1064，由勾股定理得：AF4，BFBA，FDAB，ACBF，DFAC8，AD4，t422；综上所述，ABF是等腰三角形时，t的值为或或219解：（1）四边形ABCD是平行四边形，DBAD90，ABCD10，CE7，DECDCE1073，AD4，由勾股定理可得AE5，AE的长为5；（2）由题知，BP2t，AP102t，若PAE是等腰三角形，分一下三种情况：（）当APAE时，即102t5，解得t，（）当EPEA5时，

25、过点E作EFAB于点F，PFAFAP（102t）5t，由题知四边形ADEF是矩形，EDAF，即5t3，解得t2，（）当PEPA102t时，过点E作EFAB于H，四边形ADEH是矩形，EHAD4，AHED3，PHPAAH102t372t，在RtPHE中，由勾股定理得PH2+EH2PE2，即（72t）2+42（102t）2，解得t，综上，t的值为或2或时，PAE是等腰三角形；若PEAE时，则PEA是直角三角形，过点E作EFAB于M，四边形ADEM是矩形，由知，PMPAAM102t372t，EMAD4，由勾股定理得PE2EM2+PM242+（72t）2，PA102t，AE5，由勾股定理得PE2+AE

26、2PA2，即42+（72t）2+52（102t）2，解得t，故答案为：20解：（1）点P到达点C所需的时间为5（秒），点Q到达中点D所需的时间为2（秒），点Q到达点A所需的时间为+14+15（秒），运动时间t的取值范围为0t5，在RtABC中，BC3，PQAC，APQ90，分以下三种情况：如图，当点Q在线段BD上，即：0t2时，APBQt，AQABBQ4t，在APQ和ABC中，APQABC，即：，解得：t（符合题意），此时，PQt，当点Q与点D重合时，即：2t3时，APt，BQBDAB2，AQABBQ2，同理可得：，即：，解得：t2（不符合题意，舍去），当点Q在线段AD上时，即：3t5时，AP

27、t，BQt1，AQABBQ4（t1）5t，同理可得：，即：，解得：t3（不符合题意，舍去），综上，PQ的长为（2）根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：如图，当APPQ时，APQ为等腰三角形，过点P作PEAB于点E，PEBC，由等腰三角形的三线合一，得：AE，当点Q在线段BD上，即：0t2时，APBQt，AQABBQ4t，AE，PEBC，AEPABC，即：，解得：t（符合题意），当点Q与点D重合时，即：2t3时，APt，BQBDAB2，AQABBQ2，AE1，同理可得：，即：，解得：t2（不符合题意，舍去），当点Q在线段AD上时，即：3t5时，APt，BQt1，AQABBQ4（t1）5t，AE

28、，同理可得：，即：，解得：t3（不符合题意，舍去），故此时t；如图，当APAQ时，APQ为等腰三角形，当点Q在线段BD上，即：0t2时，APBQt，AQABBQ4t，t4t，解得：t2（符合题意），当点Q与点D重合时，即：2t3时，APt，BQBDAB2，AQABBQ2，t2（不符合题意，舍去），当点Q在线段AD上时，即：3t5时，APt，BQt1，AQABBQ4（t1）5t，t5t，解得：t3（不符合题意，舍去），故此时t2；如图，当AQPQ时，APQ为等腰三角形，过点Q作QEAC于点E，由等腰三角形的三线合一，得：AE，当点Q在线段BD上，即：0t2时，APBQt，AQABBQ4t，AE，

29、在AEQ和ABC中，AEQABC，解得：t2（不符合题意，舍去），当点Q与点D重合时，即：2t3时，APt，BQBDAB2，AQABBQ2，AE，同理可得：，解得：t3（不符合题意，舍去），当点Q在线段AD上时，即：3t5时，APt，BQt1，AQABBQ4（t1）5t，AE，同理可得：，解得：t（符合题意），故此时t，综上，t的值为或2或（3）如图，当0t2时，在RtABC中，BC3，PEBC，APBQt，AEPABC，AEt，PEt，EQABAEBQ4tt4t，如图，当2t3时，APt，BQBDAQ2，过点P作PEAB于点E，则AEt，PEt，EQDEADAE2t，SPQ2EQ2+PE2（2t）2+（t）2t2t+4，如图，当3t5时，过点P作PEAB于点E，则APt，BQt1，AEt，PEt，AQ5t，EQAEAQt（5t）t5，SPQ2EQ2+PE2（t5）2+（t）2t218t+25，综上所述，S与t之间的函数关系式为S（4）由（3）知：当0t2时，PQ2t2t+16（t2）2+，0，当t2时，PQ2取得最小值，PQ的最小值为；当2t3时，PQ2t2t+4（t）2+，当t2时，PQ2取得最小值，但2t3，故此时不存在最小值；当3t5时，PQ2t218t+25（t）2+，此时不存在最小值综上所述，PQ的最小值为学科网（北京）股份有限公司