广西梧州市岑溪市2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）.docx

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1、 2022年春季学期高二期中考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合M1，0，1，集合N0，1，2，则MN( )A. 0，1B. 1，0，1C. 0，1，2D. 1，0，1，2【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据集合的并集运算方法计算即可.【详解】M1，0，1，N0，1，2，MN1，0，1，2.故选：D.2. （ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】A【解析】【分析】由复数运算法则直接求解即可.【详解】.故选：A.3. 已知向量，“”是“或”的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C.

2、充分必要D. 既不充分也不必要【3题答案】【答案】B【解析】【分析】分别判断充分性和必要性即可.【详解】由题意，由或可得，由还可得到非零向量，满足故向量是或的必要不充分条件故选：B.4. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据图象平移的规律“左加右减”即可判断【详解】对于A将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，所以A错误对于B所以将的图象向右平移个单位即可得到函数的图象所以B正确对于C将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象所以C错误对于D将的图象向右平移个单位即可得

3、到函数的图象所以D错误故选：B5. 已知等差数列满足，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 2023【5题答案】【答案】B【解析】【分析】先求得公差，由此求得.【详解】设等差数列的公差为，则，所以.故选：B6. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为60，则C的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】由题可得，即可求出离心率.【详解】由已知一条渐近线的倾斜角为60，可得渐近线斜率，故.故选：D.7. 已知函数为R上的奇函数，当时，则等于（ ）A. B. C. 1D. 3【7题答案】【答案】C【解析】分析】根据以及可求出结果.【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，所

4、以而，故选：C8. 如图，在正方体中，为的中点，则过点，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】作出截面，然后可得答案.【详解】如图，过点，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为C.故选：C9. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（）、冰球（）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后

5、括号内为“”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【分析】利用列举法求解，先列出这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况，再找出所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的情况，然后根据古典型的概率公式求解即可【详解】分别为表示冰壶（）、冰球（）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目，则这5个项目随机选择2个比赛项目所有情况有：，共10种，其中所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的有：，共7种，所以所选择的2个观赛项目中最多

6、只有1项当天会决出奖牌的概率为，故选：D10. 设实数x，y满足，则的最小值为（ ）A. B. C. 4D. 2【10题答案】【答案】C【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为直线，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.11. 已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 3【11题答案】【答案】B【解析】【分析】先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径

7、可得解.【详解】依题意，半径为2的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为.故选：B.12. 已知为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【12题答案】【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，再根据为等边三角形可以得到球的半径，即可得到答案.【详解】过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，则以为直径的截面面积为最小值，则 为等边三角形球的半径为则球的表面积为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线的一条切线的方程为，则实数_【13题答案】【答案】9【

8、解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据切点即在在曲线上也在切线上建立方程求解即可.【详解】设切点为，因为，所以，又，所以，即，解得，所以.故答案为：14. 已知等比数列的前项和，则实数_.【14题答案】【答案】【解析】【分析】由等比数列前n项和公式及已知条件，可得且，即可求k值.【详解】由题设，易知等比数列的公比为，根据等比数列前n项和公式，.故答案为：15. 函数的最小正周期为_【15题答案】【答案】【解析】【分析】化简得到，进而求出最小正周期.【详解】，所以最小正周期为，故答案为：16. 已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则_.【

9、16题答案】【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解.【详解】如图所示：由抛物线的定义可得，.又，所以点为线段的中点，又因为点，所以，又点B在抛物线上，所以，解得.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若，的周长为6，求的面积.【17题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可求出；（

10、2）根据周长得到，再根据余弦定理可求出，然后由三角形的面积公式可得结果.【小问1详解】，由正弦定理得：，.【小问2详解】的周长为6，得，由余弦定理得：.可得，即.解得，所以的面积为.19. “冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加.各国运动员在赛场上全力以赴、奋勇争先，为我们带来了一场冰与雪的视觉盛宴.本届奥运会前，为了分析各参赛国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系，某体育爱好者统计了近年相关冰雪运动赛事（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如下茎叶图.（1）计算并比较茎叶图中“欧洲地区”国家和

11、“其它地区”国家获金牌的平均次数（记为）和方差（记为，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由.（2）记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关（假设该样本可以反映总体情况）.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635“冰雪运动强国”非“冰雪运动强国”合计欧洲国家其它国家合计【19题答案】【答案】（1）答案见解析 （2）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）

12、由茎叶图及平均值定义计算，再由方差的定义计算，据此作出结论，说明理由即可；（2）根据所给数据列出22列联表，计算，与所给参考数据比较得出结论.【小问1详解】由茎叶图中数据，得由此可见（开放式问题，能够做出判断并自圆其说即可）：（例）.可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其他国家”，因为，这足以说明欧洲国家的实力更强劲、发挥更稳定；.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为条件不足，无法判定这个样本是否足以反映整体的情况，利用平均值和方差进行分析未必客观；.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为样本中欧洲国家的数量少于其他国家的数量，就可能存在图中的数据

13、本就来自于实力较强的欧洲国家的情况.【小问2详解】由题意得22列联表如下：冰雪运动强国非冰雪运动强国合计欧洲国家8311其它国家41014合计121325由独立性检验，的观测值，所以没有97.5%把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关.21. 如图所示的四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【21题答案】【答案】（1）证明见详解 （2）【解析】【分析】(1)根据给定条件证得及即可推理作答.(2)由给定条件可得点到平面的距离是点到平面的距离的，再借助三棱锥等体积法转化求解

14、即得.【小问1详解】在中，为的中点，则，又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，则，又底面是正方形，分别是，的中点，即，因，平面，所以平面.【小问2详解】因为的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的，如图，因此，所以三棱锥的体积为.23. 已知椭圆的离心率为，点为椭圆C上一点.（1）求椭圆C的方程；（2）过且斜率存在的直线AB交椭圆C于A、B两点，记，若t的最大值和最小值分别为、，求的值.【23题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合离心率和可求出，即可得解；（2）设直线AB的方程为，设点，联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得到，利用，求出，再根

15、据判别式法求出和，再相加即可得解.【小问1详解】椭圆的离心率，又，.椭圆经过点，所以，解得，椭圆C的方程为.【小问2详解】设直线AB的方程为，设点，由消去并整理得.因为点在椭圆内部，则，由韦达定理可得：，（*），则，整理得：，即，若，可得，此时；若，即当时，则，整理可得，解得，所以，所以.25. 已知函数（为常数）的图象与y轴交于点，曲线在点处切线斜率为.（1）求的值及函数的极值；（2）当时，证明恒成立.【25题答案】【答案】（1），极小值为，无极大值 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出的值，再利用导数可求出函数的极值；（2）构造函数，求导，再构造函数，利用导数得到的

16、单调性，得到恒成立，从而可证不等式恒成立.【小问1详解】因函数（为常数）的图象与轴交于点，则，求导得，依题意，则，即，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取极小值，无极大值.【小问2详解】设函数，因此，令，则，则当时，当时，于是得在上单调递增，在上单调递减，所以对，所以，当时，所以，函数在上单调递增，则有，即当时，不等式恒成立（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.27. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的极坐标方程为，直角坐标系中曲线N的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线M的

17、直角坐标方程；（2）设曲线M与直角坐标系xOy的x轴和y轴分别交于点A和点B（A、B都异于原点O），点C为曲线N上的动点.求面积的最大值.【27题答案】【答案】（1） （2）3【解析】【分析】（1）利用公式代入可得结果；（2）求出的坐标，直线的方程，设，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，并利用两角和的余弦公式求出最大值，可得面积的最大值.【小问1详解】曲线M的极坐标方程，即，把代入化简得，所以曲线M的直角坐标方程是：.【小问2详解】由（1）及已知，得，直线AB方程为：，即，依题意，设，点C到直线AB的距离d，而，因此，当时，即时，所以面积的最大值是.29. 已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若正数m，n，p满足，判断是否存，使得，若存在，请给出一组m，n的值，若不存在，请说明理由.【29题答案】【答案】（1）6 （2）不存在，理由见解析【解析】分析】（1）分类讨论取绝对值，利用单调性求出最小值，即可得解；（2）由（1）问知，利用基本不等式并结合得到，从而可得，故不存在符合条件的.【小问1详解】因为，故在上为减函数，在为增函数，故，故.【小问2详解】由（1）问知，则，故，而，故.当且仅当时等号成立，故不存在m，使得.学科网（北京）股份有限公司