湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题.docx

《湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题.docx（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 长郡中学 高一第二学期期中考试数学时量：120分钟 满分：100分得分_一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知平面向量，则A.-2B.-8C.6D.42.复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数的虚部为A.5i.B.5C.-iD.-13.已知，则A.2B.C.1D.4.如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则A.B.C.D.5.设为平面，点，则下列结论正确的是A.过点有且只有一条直线与平行B.过点没有直线与平行C.过点有且只有一个平面与平行D.过点有无数个平面与平行6.在中，.则A.B.C.D.7.若复数在复平面内所对应的点位于

2、第四象限，则实数的取值范围是A.B.C.D.8.如图，在正四棱台中，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积A.B.C.D.二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知复数，则下列结论正确的是A.若，则B.若，则C.D.若，则10.设，为两个平面，则的充分条件可以是A.内的所有直线都与平行B.内有三条直线与平行C.和平行于同一条直线D.和都平行于同一平面11.青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.

3、原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是A.B.2C.D.312.如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，AD的中点，则下列结论正确的是A.B.C.平面D.平面三、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）13.在中，则_.14.长方体的外接球的表面积为，则长方体的体积为_.15.已知平行四边形中，点为边的中点，则的值为_.16.如图，正四面体的体积为，E、F、

4、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则_，多面体的外接球的体积为_.（注：第1空1分，第2空2分）四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分8分）如图，四边形中，为锐角.（1）求；（2）求四边形的面积.18.（本小题满分8分）已知向量，满足，.（1）求与的夹角；（2）若，求的值.19.（本小题满分8分）已知复数，满足.（1）求；（2）求.20.（本小题满分8分）如图，在三棱柱中，点是棱的中点，分别是CP，AC，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.21.（本小题满分8分）（1）如图，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，

5、使得，并且.（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.22.（本小题满分8分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，点B、C、D在底面圆周上，M为线段OD上一点，A为PC的中点.（1）证明：平面POB；（2）求四棱锥的体积.长郡中学20212022学年度高一第二学期期中考试数学参考答案一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案BDBACDDC1.B【解析】依题意，.所以，故选B.2.D【解析】由题设，则，所以的虛部为-1.故选D.3.B【解析】，解得，.故选B.4.A【解析】因为，所以，故选A.5.C【解析

6、】因为点，所以过点有无数条直线与平行，有且只有一个平面与平行，故选C.6.D【解析】在中，由正弦定理：，得，故.故选D.7.D【解析】.由题意得解得.故选D.8.C【解析】如图，作该正棱台的轴截面，其中E，F，M，N分别是AB，CD，的中点，H，K是MN，EF的中点，G是内切球的球心，H，K是内切球和上、下底面的切点，Q是内切球和侧面的切点，内切球的半径为，由题意，易得，且，所以，即，解得，从而可知该球的表面积.故选C.二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）题号9101112答案ABCADBCDA

7、CD9.ABC【解析】对于A，若，则，故，所以A正确；对于B，若，则，所以B正确；对于C，故，所以C正确；对于D，当，时，等式仍然成立，所以D错误.故选ABC.10.AD【解析】对于A，当内的所有直线都与平行时，则，所以A正确；对于B，与相交时，内的和交线平行的直线都与平面平行，所以B不正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，如果和都平行于同一平面，则.所以D正确.故选AD.11.BCD【解析】如图，.根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，所以.故选BCD.12.ACD【解析】连接

8、FE，因为E，F为AB，CD的中点，故FE平行且等于AD.由题意知AD平行且等于，故FE平行且等于，所以为平行四边形，所以.故A正确；显然与为相交直线，故B错误；因为，同时IF在平面内，且不在平面内，故C正确；因为，同时在平面内，且不在平面内，故D正确.故选ACD.三、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）13.【解析】在中，为锐角，由余弦定理，.14.【解析】因为长方体的外接球的表面积为，设球的半径为，由题意，长方体的外接球的一条直径为.因为，所以，则长方体的体积为.15.9【解析】因为平行四边形中，所以四边形为边长为2的菱形，且，如图所示，作于，.16.1，（第一空1分，第2空2分）【

9、解析】如图，将正四面体嵌入到正方体中，则正四面体的体积为正方体体积的，设正方体的边长为，则，所以，是的中位线，所以.设AB的中点为O，连接OE，OF，OG，OH，因为，所以多面体的外接球的球心为，半径为1，外接球的体积为.四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）连接，因为，为锐角，所以，在中，由余弦定理得，所以.（2）在中，因为，所以为直角三角形，的面积为，的面积为，所以四边形的面积.18.【解析】（1），.，与的夹角为.（2），解得.19.【解析】（1）因为复数，又因为，所以，解得所以.（2）.20.【解析】（1）证明：如图，连接AP

10、，在中，R，Q分别是AC，PC的中点，.又平面，平面，（注：表示直线的两个字母都包含在表示平面的几个字母之中，则可以不书写直线在平面内，否则必须书写.但直线不在平面内必须书写，不书写该步骤不给分.）平面.（2）如图，在中，E，P分别是，的中点，.又平面，平面（注：此处“平面”可以不书写），平面.在平行四边形中，分别是，的中点，.又平面，平面，平面.又，平面平面.21.【解析】（1）因为是直线上的动点，所以不妨设（为实数），则，令，则有，并且.所以存在实数，使得，并且.（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点.（注：此处对定理的已知和求证必须说明（符号化），不书写该步骤不给分.）证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，所以，根据（1）的结论得，在中，为实数.在中，为实数.所以 解得所以，即，A、G、D三点共线，所以AD、BE、CF交于一点.22.【解析】（1）如图，由已知得.取BP的中点T，连接OT，TA，由A为PC中点知，.又，故，四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为A为PC的中点，所以A到平面OBCM的距离为.取BC的中点E，连接OE，OC.由得，.由得四边形为梯形，故.所以四棱锥的体积.学科网（北京）股份有限公司